“感覺整個宇宙都在一個可能只有幾米半徑的球體裡，”俄克拉荷馬州立大學斯蒂爾沃特的拓撲學家亨利·塞格曼說道。他描述的不是一次迷幻藥之旅，而是在一個彎曲的宇宙中探索的體驗，在這個宇宙中，普通的幾何規則不再適用。
塞格曼和他的合作者釋出了一款軟體，允許任何擁有虛擬現實 (VR) 頭顯的人在這個扭曲的世界中漫步。他們在上個月在 arXiv.org 預印本伺服器上發表了兩篇論文中預覽了這個世界1, 2。
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為了探索替代幾何的數學可能性，數學家們想象出這樣的“非歐幾里得”空間，其中平行線可以相交或分離。現在，藉助 相對便宜的 VR 裝置，研究人員正在使彎曲空間——一個與愛因斯坦的引力理論和地震學相關的反直覺概念——更容易被理解。他們甚至可能在此過程中發現新的數學知識。
“你可以思考它，但除非你真正體驗它，否則你不會對它有非常切身的感受，”亞特蘭大佐治亞理工學院的物理學家 Elisabetta Matsumoto 說。
傳統的歐幾里得幾何建立在平行線永遠保持彼此相同距離，既不接觸也不分離的假設之上。在非歐幾里得幾何中，這個“平行公設”被放棄。然後出現兩種主要可能性：一種是球面幾何，其中平行線最終可以接觸，就像地球的經線在兩極相交一樣；另一種是雙曲幾何，其中平行線發散。
Matsumoto 和 Segerman 都是 Hyperbolic VR 合作專案的一部分，該專案正在將雙曲空間帶給大眾。他們的團隊，包括舊金山的一個名為 eleVR 的數學家藝術家團體，將在今年夏天的藝術和數學會議上展示他們的成果。
在 20 世紀 80 年代，數學家比爾·瑟斯頓透過想象自己在 3D 幾何中漫步，徹底改變了 3D 幾何的研究。此後，數學家們開發了動畫，甚至飛行模擬器，展示了非歐幾里得空間的內部檢視。
但是，與在計算機螢幕上顯示的那些視覺化效果相比，VR 的優勢在於它可以重現光線照射到每隻眼睛的方式。在歐幾里得空間中，盯著無窮遠處的點意味著兩隻眼睛的視線會追蹤平行線。但是，在雙曲世界中，這兩條路徑會分開，Segerman 說，這會迫使觀看者做出不同的反應。“在這裡，如果你看一個無窮遠的點，你必須稍微鬥一下眼睛。” 對於我們“歐幾里得的大腦”來說，這讓一切感覺都很近，他說。
但是這種渺小是具有欺騙性的。關於雙曲空間最奇怪的事實之一是它的巨大。在歐幾里得空間中，給定半徑內的表面積的增長速度與半徑的平方一樣快，體積的增長速度與半徑的立方一樣快，而在雙曲空間中，面積和體積相對於半徑的增長速度要快得多（呈指數級增長）。一個後果是，使用者在雙曲世界中漫遊一個星球時，會發現步行距離內有更多可以參觀的地方。
到目前為止，在 eleVR 世界中除了探索由諸如五邊形和十二面體之類的幾何形狀製成的瓷磚外，沒有太多事情可做。但是，該團隊計劃建造雙曲房屋和街道，以及諸如玩非歐幾里得版本的籃球之類的互動體驗。研究人員希望他們的開源軟體能夠受到科學博物館和越來越多的消費者 VR 愛好者的歡迎。
其他人也在將雙曲空間帶入 VR。伊利諾伊大學厄巴納-香檳分校的數學家 Daan Michiels 在 2014 年以學生專案的形式開發了一個虛擬雙曲宇宙。伊利諾伊大學芝加哥分校的拓撲學家 David Dumas 和他的學生在一個虛擬雙曲空間中建立了一個壁球遊戲，其中朝任何方向傳送的球最終都會回到起點。
虛擬現實可能很快就會加入視覺化和實驗工具的悠久傳統，這些工具幫助數學家們取得了發現。例如，分形的視覺化導致了關於基礎數學的發現。“弄清楚如何將[虛擬現實]用作研究工具現在才剛剛開始，”Dumas 說。
Matsumoto 說，該團隊還希望為更奇特的幾何圖形建立 VR 體驗。在某些這樣的空間中，如果平行線沿一個方向移動，它們可能會保持彼此恆定的距離，但在另一個方向上會收斂或發散。繞圈行走可能會導致相對於起點來說是向上或向下，就像走上或走下螺旋樓梯一樣。
她說，視覺化這些幾何圖形可能作為數學工具特別有用，因為“很少有人想到視覺化它們”。
本文經許可轉載，並於2017年3月21日首次釋出。