來自量子雜誌 (在此處查詢原始故事)。
1978年，數學家約翰·麥凱注意到一個看似奇怪的巧合。他一直在研究表示一個被稱為“魔群”的神秘實體的不同方法，這是一個龐大的代數物件，數學家認為它捕捉了一種新的對稱性。數學家們不確定魔群是否真的存在，但他們知道，如果它確實存在，它會在特定維度中以特殊的方式發揮作用，其中前兩個維度是1和196,883。
蒙特利爾康考迪亞大學的麥凱碰巧拿起了一篇來自完全不同領域的數學論文，其中涉及一種叫做j-函式的東西，它是數論中最基本的物件之一。奇怪的是，這個函式的第一個重要係數是196,884，麥凱立即意識到這是魔群的前兩個特殊維度的總和。
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大多數數學家認為這個發現是一個偶然的巧合，因為沒有理由認為魔群和j-函式之間存在任何關聯。然而，這個聯絡引起了約翰·湯普森的注意，他是佛羅里達大學蓋恩斯維爾分校的一位菲爾茲獎得主，他做出了一個額外的發現。j-函式的第二個係數 21,493,760 是魔群的前三個特殊維度的總和：1 + 196,883 + 21,296,876。似乎j-函式以某種方式控制著難以捉摸的魔群的結構。
很快，另外兩位數學家證明了如此多的數值關係，以至於它們不再可能只是巧合。在1979年一篇名為“魔群月光”的論文中，這對組合——普林斯頓大學的約翰·康威和西蒙·諾頓——推測這些關係一定源於魔群和j-函式之間的某種深刻聯絡。“他們稱之為月光，因為它看起來太牽強了，”德國波恩馬克斯·普朗克數學研究所的主任唐·扎吉爾說。“這些想法太瘋狂了，以至於想象有人能證明它們似乎是異想天開。”
數學家們花了幾年時間才成功地構造出魔群，但他們有一個很好的理由：魔群有超過 1053 個元素，比一千個地球上的原子數量還多。1992年，密歇根大學的羅伯特·格里斯構建魔群十年後，加州大學伯克利分校的理查德·博切茲馴服了魔群月光的狂野想法，最終因此項工作獲得了菲爾茲獎。博切茲證明了魔群和j-函式所在的兩個遙遠數學領域之間存在一座橋樑：即弦理論，這是一個違反直覺的想法，認為宇宙有微小的隱藏維度，小到無法測量，其中的弦振動產生我們在宏觀尺度上體驗到的物理效應。
博切茲的發現引發了純數學的革命，導致了一個稱為廣義卡茨-穆迪代數的新領域。但從弦理論的角度來看，這有點像死水。將j-函式和魔群聯絡起來的 24 維弦理論模型與弦理論家最感興趣的模型相去甚遠。“這似乎只是理論中一個深奧的角落，沒有太多物理意義，儘管數學結果令人震驚，”斯坦福大學的弦理論家沙米特·卡丘魯說。
但現在，月光正在經歷復興，這最終可能會對弦理論產生深遠的影響。在過去的五年裡，從類似於麥凱的發現開始，數學家和物理學家已經意識到，魔群月光只是故事的開始。
上週，研究人員在arxiv.org上發表了一篇論文，提出了所謂暗影月光猜想（2012年提出）的數值證明，該猜想提出，除了魔群月光之外，還有23種其他的月光：一方面是關於一個對稱群的維度的神秘對應關係，另一方面是關於一個特殊函式的係數的神秘對應關係。這些新月光中的函式起源於一位數學天才的預言信，這封信寫於月光甚至在數學家的腦海中閃現之前半個多世紀。
23 個新的月光似乎與弦理論中一些最重要的結構交織在一起，即被稱為 K3 曲面的四維物體。阿姆斯特丹大學和法國國家科學研究中心的程美蘭說，與暗影月光的聯絡暗示了這些表面中隱藏的對稱性，她與克利夫蘭俄亥俄州凱斯西儲大學的約翰·鄧肯和芝加哥大學的傑弗裡·哈維一起提出了暗影月光猜想。“這很重要，我們需要理解它，”她說。
新的證明有力地表明，在這 23 種情況中的每一種情況中，都必須有一個弦理論模型，該模型是理解這些原本令人費解的數值對應關係的關鍵。但是該證明並沒有深入到實際構建相關的弦理論模型，這讓物理學家面臨一個誘人的問題。“最終，當我們理解月光是什麼時，它將以物理學的形式呈現，”鄧肯說。
魔群月光
任何給定形狀的對稱性都有一種自然的算術。例如，將一個正方形旋轉 90 度然後再水平翻轉，與沿對角線翻轉相同——換句話說，“旋轉 90 度 + 水平翻轉 = 對角線翻轉”。19 世紀，數學家們意識到他們可以將這種型別的算術提煉成一種稱為群的代數實體。同一個抽象群可以表示許多不同形狀的對稱性，這為數學家提供了一種簡潔的方式來理解不同形狀中的共性。
在 20 世紀的大部分時間裡，數學家們致力於對所有可能的群進行分類，他們逐漸發現了一些奇怪的事情：雖然大多數簡單的有限群都屬於自然類別，但有 26 個不屬於任何類別的怪異群。其中，最大和最後一個被發現的是魔群。
在麥凱近四十年前的意外發現之前，沒有理由認為魔群與j-函式（魔群-月光故事的第二主角）有任何關係。j-函式屬於一類特殊的函式，其圖形具有重複的模式，類似於 M. C. 埃舍爾用天使和魔鬼對圓盤進行的鑲嵌，它們在接近外部邊界時會不斷縮小。這些“模”函式是數論的英雄，例如，在安德魯·懷爾斯 1994 年的費馬大定理的證明中發揮了至關重要的作用。“任何時候你聽到數論中令人震驚的結果，它都很有可能真的是關於模形式的陳述，”卡丘魯說。
與聲波一樣，j-函式的重複模式可以分解為一系列純音，係數表示每個音的“響度”。麥凱正是在這些係數中找到了與魔群的聯絡。
在 20 世紀 90 年代初，基於耶魯大學的伊戈爾·弗倫克爾、羅格斯大學的詹姆斯·萊波夫斯基和瑞典隆德大學的阿恩·梅爾曼的研究成果，博切茲透過展示存在一個特定的弦理論模型，其中j-函式和魔群都發揮作用，從而理解了麥凱的發現。j-函式的係數計算了弦在每個能量級別可以振動的方式。而魔群則捕獲了這些能量級別上的模型對稱性。
該發現為數學家提供了一種使用j-函式研究令人難以置信的龐大魔群的方法，j-函式的係數很容易計算。“數學的全部意義在於建立橋樑，橋樑的一側比另一側看得更清楚，”鄧肯說。“但是這座橋樑是如此出乎意料地強大，以至於在看到證明之前，它有點瘋狂。”
新的月光
當數學家們探索魔群月光的含義時，弦理論家們專注於一個看似不同的問題：弄清楚弦被假設存在的微小維度的幾何結構。不同的幾何結構允許弦以不同的方式振動，就像擰緊鼓的張力會改變其音高一樣。幾十年來，物理學家們一直在努力尋找一種能夠產生我們在現實世界中看到的物理效應的幾何結構。
在一些最有希望的幾何候選結構中，一個重要的組成部分是被稱為 K3 曲面的一系列四維形狀。卡丘魯說，與博切茲的弦理論模型相比，K3 曲面充滿了弦理論教科書。
關於 K3 曲面的幾何結構，我們瞭解得還不夠多，無法計算出弦在每個能量級別可以振動的方式，但物理學家可以寫出一個更有限的函式，計算所有 K3 曲面中出現的某些物理狀態。2010 年，三位弦理論家——日本京都大學的江口徹、加利福尼亞理工學院帕薩迪納分校的大栗博司和日本東京大學的立川裕二——注意到，如果他們以特定的方式編寫這個函式，就會彈出與另一個怪異群（稱為 Mathieu 24 (M24) 群，該群有近 2.5 億個元素）的一些特殊維度相同的係數。這三位物理學家發現了一種新的月光。
這一次，物理學家和數學家都參與了這一發現。“我參加了幾個會議，所有的討論都圍繞著這種新的馬蒂厄月光，”扎吉爾說。
扎吉爾在 2011 年 7 月參加了在蘇黎世舉行的一次會議，鄧肯在電子郵件中寫道，在那裡，扎吉爾向他展示了“一張紙，上面有很多數字”——這些是扎吉爾正在研究的一些名為“仿模”形式的函式的係數，這些函式與模函式相關。“唐（扎吉爾）指著一行特定的數字，並開玩笑地問我——我想是開玩笑——是否有任何有限群與它們相關，”鄧肯寫道。
鄧肯不確定，但他認出了另一行上的數字：它們屬於一個名為 M12 的群的特殊維數。鄧肯攔住了米蘭達·程，兩人仔細研究了扎吉爾的剩餘論文。他們與傑弗裡·哈維一起，逐漸意識到新的月光現象不僅僅是 M24 的例子。他們發現，完整月光圖景的線索在於一位數學傳奇人物近一個世紀前的著作。
月光的陰影
1913 年，英國數學家 G.H.哈代收到了一封來自印度馬德拉斯的一位會計職員的信，信中描述了他發現的一些數學公式。其中許多公式已經過時，有些完全是錯誤的，但在最後一頁上，有三個公式讓哈代大吃一驚。“它們一定是真的，”哈代寫道，他立即邀請這位職員斯里尼瓦薩·拉馬努金前往英國，“因為如果它們不是真的，沒有人會有想象力去發明它們。”
拉馬努金因似乎憑空提取數學關係而聞名，他將自己的許多發現歸功於女神納瑪吉里，他說女神在幻象中向他顯現。他的數學生涯非常短暫，1920 年，當他 32 歲在印度去世時，他給哈代寫了另一封信，說他發現了所謂的“仿 theta”函式，這些函式“完美地”進入了數學領域。拉馬努金列出了這些函式的 17 個例子，但沒有解釋它們的共同點。這個問題懸而未決了 80 多年，直到桑德·茲維格斯（當時是扎吉爾的研究生，現在是德國科隆大學的教授）在 2002 年發現它們都是後來被稱為仿模形式的例子。
在蘇黎世月光會議之後，程、鄧肯和哈維逐漸意識到，M24 月光是 23 種不同的月光現象之一，每種月光現象都在群的特殊維度和仿模形式的係數之間建立了聯絡——正如巨大的月光現象在怪物群和j-函式之間建立了聯絡一樣。研究人員推測，對於每一種月光現象，都存在一個類似於巨大月光現象中的弦理論，其中仿模形式計算弦狀態，而群則捕捉模型的對稱性。仿模形式總有一個相關的模函式，稱為它的“陰影”，所以他們將他們的假設命名為影月光猜想——umbra在拉丁語中是“陰影”的意思。猜想中出現的許多仿模形式都是拉馬努金在他富有預見性的信中列出的 17 個特殊例子之一。
奇怪的是，博切茲早期對巨大月光現象的證明也建立在拉馬努金的工作之上：證明核心的代數物件是由弗蘭克爾、萊波夫斯基和莫爾曼在分析拉馬努金第一封信中讓哈代如此震驚的三個公式時發現的。“令人驚訝的是，這兩封信構成了我們所知關於月光現象的基石，”亞特蘭大埃默裡大學的肯·小野說。“沒有這兩封信中的任何一封，我們都寫不出這個故事。”
尋找野獸
在 arxiv.org 上釋出的新論文中，鄧肯、小野和小野的研究生邁克爾·格里芬提出了影月光猜想的數值證明（其中一個案例——M24 案例——已經被加拿大埃德蒙頓阿爾伯塔大學的特里·甘農證明了）。新的分析只提供了物理學家應該在哪裡尋找將群和仿模形式統一起來的弦理論的暗示。儘管如此，哈維說，這個證明證實了猜想的方向是正確的。“我們擁有所有這些結構，它是如此複雜和引人入勝，很難不認為它有一些道理，”他說。“擁有數學證明使它成為一個可靠的工作，人們可以認真思考。”
程說，影月光現象背後的弦理論很可能“不僅僅是任何物理理論，而是一個特別重要的理論”。“這表明在 K3 曲面的物理理論上存在一個特殊的對稱性。”她說，研究 K3 曲面的研究人員還看不到這種對稱性，這表明“可能有一種更好的方法來看待我們尚未發現的理論。”
物理學家對月光現象和量子引力之間高度推測性的聯絡也感到興奮，量子引力是尚未被發現的理論，它將統一廣義相對論和量子力學。2007 年，普林斯頓高等研究院的物理學家愛德華·威滕推測，巨大月光現象中的弦理論應該提供一種構建三維量子引力模型的方法，其中怪物群中的 194 個自然元素類別對應於 194 類黑洞。影月光現象可能會引導物理學家得出類似的猜想，給出在哪裡尋找量子引力理論的暗示。“這是該領域的一個巨大希望，”鄧肯說。
影月光猜想的新數值證明“就像在火星上尋找動物並看到它的足跡，所以我們知道它在那裡，”扎吉爾說。現在，研究人員必須找到這種動物——即闡明所有這些深刻聯絡的弦理論。“我們真的很想得到它，”扎吉爾說。
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