五十多年前，波蘭裔美國數學家馬克·卡茨在他 1966 年的論文“人們能聽出鼓的形狀嗎？”中普及了一個古怪但數學上深刻的問題。換句話說，如果你聽到有人敲鼓，並且你知道它發出的聲音訊率，你能否反向推匯出產生這些聲音的鼓的形狀？或者，是否可以有不止一種鼓的形狀產生完全相同的一組頻率？
卡茨並不是第一個提出這個問題或相關問題的人，但他為這個主題贏得了相當大的關注。1968 年，他憑藉 1966 年的論文獲得了美國數學協會的肖維內獎，該獎項專注於數學闡述。“它寫得非常好，而且非常容易理解，”瑞典查爾姆斯理工大學的數學家朱莉·羅列特說。
卡茨的工作將這些問題進一步推向了公眾視野，這些問題屬於一個名為等譜幾何的數學領域，啟發研究人員針對不同的形狀和表面提出類似的問題。他們的工作點燃了一個至今仍然活躍且不斷發展的研究領域。
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聆聽鼓聲
在卡茨的論文發表 20 多年後，三位數學家證明，你實際上無法聽出鼓的形狀。該團隊能夠產生多個例子，證明幾何形狀不同的鼓可以產生相同的聲音訊率。
當其中一位數學家——卡羅琳·戈登，現為達特茅斯學院榮譽退休教授——在歐洲進行短期訪問時，研究人員的發現開始以新的方式具體化。她前往德國的奧伯沃爾法赫數學研究所，該研究所坐落在黑森林中。儘管身處“一個遠離塵囂的田園詩般的地方”有諸多好處，戈登說，她在奧伯沃爾法赫的時光“恰好是團隊關於聽形狀的研究逐漸成型的那一週”。
多年來，她一直在研究相關問題。戈登的博士論文涉及研究如何辨別“以某種抽象方式呈現的兩個形狀”是否相同，她說。透過這個其他的研究問題，她“滑入”了鼓問題的研究。
但該研究所的設施不利於訪客輕鬆與外界聯絡。“晚上在特定時間可以使用電話，但你必須排隊，”戈登說。“連線起來很有挑戰性，但那是一個激動人心的時刻。”戈登與她的丈夫大衛·韋伯（現為達特茅斯學院的數學家）以及斯科特·沃爾珀特（現為馬里蘭大學榮譽退休教授）一起從事該專案。韋伯也分享了對那段時光的類似回憶。“我們正試圖儘快且高效地解決這個問題，因為這個問題已經開放了很長時間，我們渴望將成果寫成文字發表，”韋伯說。
當研究人員意識到戈登之前認為行不通的一個例子正是他們需要用來展示兩個形狀不同但聲音相同的鼓時，出現了轉折點。“我們獲得了關於其他更復雜鼓對的想法。我們正在製作這些巨大的紙質結構”來代表不同形狀的鼓，然後“試圖粉碎它們，”她說。在製作了那些紙質“怪物”之後，正如韋伯所稱，數學家們發現它們行不通。“然後我們回到最初的那對鼓，意識到它沒問題，”戈登說。
實際上，他們的工作回答了一個早期研究人員認為棘手的問題。1882 年，德裔英國物理學家阿瑟·舒斯特寫道：“找出振動系統發出的不同音調是一個問題，在某些特殊情況下可能可以解決，但要解決逆問題，並透過鈴鐺發出的聲音找出鈴鐺的形狀，即使是最熟練的數學家也會感到困惑。”
這項發現是重要一步，但仍然留下許多未解答的問題。
規律還是例外
在過去的幾十年裡，研究人員解決了一系列關於“聽”形狀聲音的問題。
事實證明，你可以聽出三角形的形狀，這一結果最早在凱瑟琳·杜爾索在麻省理工學院的1988 年博士論文中得到證明。根據羅列特和加州大學爾灣分校的數學家陸志勤在 2015 年發表的一篇論文，你也可以聽出平行四邊形和銳角梯形的形狀。這兩種形狀都會產生獨特的聲音。羅列特解釋說，該論文還產生了其他有趣的發現。
“假設你在製作四邊形鼓，也就是有四條直邊的鼓，”她說。“你將能夠聽出一個正方形的鼓。它的聲音會很特別。三角形鼓也是如此：一個等邊三角形鼓的聲音會很特別，與其他任何鼓都不同。”此外，對於任何正多邊形鼓——一個邊長相等且內角相等的形狀——“你總是能夠在其他鼓中聽出它。我喜歡認為它的聲音會特別好聽，”羅列特說。
你也可以聽出截頭圓錐體的形狀——也就是說，一個尖端被切掉的圓錐體，研究人員在 2021 年 12 月的《物理評論 E》雜誌上報道。同樣在 2021 年，羅列特和她的同事表明，如果梯形不是鈍角梯形，你就可以從聲音中辨別出梯形的形狀。
然而，在所有關於聽形狀的個別結果中，一個不同的研究團隊指出一個明顯的未解決的想法：從聲音中是否普遍可以辨別出給定型別形狀或表面的輪廓，仍有待觀察。
關於形狀及其相關頻率集之間關係的問題“遠未結束，無論從理論上還是實踐角度來看，”研究人員在 2018 年 IEEE/CVF 計算機視覺與模式識別會議上發表的一篇論文中寫道。“具體而言，目前尚不確定反例”，例如鼓的例子，“是規律還是例外。到目前為止，一切都指向後者。”
一些關於“聽”形狀的問題已將研究人員帶到甚至難以想象的地方：更高的維度。
訪問奇幻維度
羅列特最近的一篇預印本論文與數學家約翰·米爾諾（現任石溪大學教授）早在 1964 年解決的一個問題有關。它涉及超越熟悉的三維空間，進入難以想象的 16 維數學領域。
“我們正在考慮[平坦]環面，”羅列特說。在一維中，環面“只是一個圓圈”，她指出。在三維中，數學家通常將環面描述為具有甜甜圈的形狀，儘管他們通常僅指甜甜圈的表面，而不是其麵糰狀的內部。
但米爾諾考慮了當人們聆聽更神秘和抽象的表面形狀時會發生什麼：16 維環面。他基本上發現，人們無法聽出 16 維環面的形狀。
跳到 16 維似乎很奇怪，但這樣做有令人驚訝的實際原因。“維度越多，幾何上不同的方式就越多，”羅列特說。因此，這種情況實際上是“一個簡單的例子，很容易看到”這些差異，她指出。
米爾諾的論文只有一頁長，“在很大程度上啟發了卡茨。因此，這是推動該領域發展的根本性貢獻，”羅列特說。但米爾諾的工作留下了一個懸而未決的問題，即人們是否可以聽出較低維度平坦環面的形狀。“15 維——或者 14 維呢？”羅列特問道。
羅列特最近的預印本論文是她與當時的兩名學生合著的，其動機是她希望發現“臨界點”，即何時可以以及何時不能聽出平坦環面的形狀。“三是神奇的數字，”這意味著人們無法聽出四維或更高維度環面的形狀，她說。
但要得到這個答案，羅列特的團隊需要走一條迂迴的道路。令人驚訝的是，她當時的兩位學生埃裡克·尼爾森和菲利克斯·裡德爾發現，這個問題早已得到解答。但這個問題的解決方案埋藏在數學家亞歷山大·希曼在 20 世紀 90 年代的工作中。
希曼的工作與羅列特正在思考的問題之間的聯絡被數學差異所掩蓋，以至於它一直沒有得到更廣泛的認可。這主要是因為這個問題的答案“完全使用數論語言發表，”她說。諸如“等譜”之類的關鍵詞沒有被提及。“證明這一點的論文甚至從未提及‘環面’這個詞，”她指出。
因此，在他們尚未發表的論文中，羅列特、尼爾森和裡德爾從分析、幾何和數論三個數學角度提供了對希曼研究問題的三種數學視角，架起了橋樑，將理解他的結果的技術方面從這三個數學觀點聯絡起來。
“對這些型別問題感興趣的人也可以使用來自不同領域的工具，”羅列特說。她說，也許現在，當另一個團隊需要提取相關結果時，他們不必挖得那麼深才能找到它。
放大數學
在 19 世紀後期，當舒斯特思考透過鈴鐺發出的聲音來確定鈴鐺形狀的巨大挑戰時，麥克風還是一項新技術。130 多年後，一個研究團隊以一種可能會讓舒斯特震驚的方式使用了麥克風。他們使用麥克風來證明，在某種意義上，你可以聽出房間的形狀——具體來說是凸多面體房間。
研究人員的計算機演算法使用幾個以任意方式佈置的麥克風，“從單次聲音發射中重建房間的完整 3D 幾何形狀，”他們在 2013 年發表的一篇論文中寫道。科學家指出，他們的發現可以應用於建築聲學、虛擬現實、音訊取證等領域的問題。
自舒斯特時代以來，圍繞聽不同形狀和表面的研究領域發生了巨大變化。隨著來自不同領域的數學思想的不斷碰撞以及技術的不斷進步，誰知道在未來幾十年裡，數學家們會探索哪些新的聲音和形狀。