一位數學家在2013年因破解了一個關於質數的百年難題而從默默無聞到聲名鵲起，現在聲稱又解決了一個難題。這個問題類似於但不同於黎曼猜想，黎曼猜想被認為是數學中最重要的難題之一。
數論學家張益唐，他在加州大學聖塔芭芭拉分校工作，於11月4日在arXiv預印本伺服器上釋出了他提出的解決方案——一份111頁的預印本。該方案尚未得到同行驗證。但如果驗證透過，它將在一定程度上馴服質數的隨機性，質數是隻能被自身或1整除的整數。
Landau-Siegel零點猜想與黎曼猜想類似，並且一些人懷疑，它比黎曼猜想更容易解決。黎曼猜想是關於質數隨機性的另一個問題，也是數學中最大的未解之謎之一。儘管數千年來人們都知道質數有無窮多個，但無法預測給定數字是否為質數；只能根據其大小預測其為質數的機率。解決黎曼問題或Landau-Siegel問題中的任何一個都意味著質數的分佈不會有巨大的統計波動。
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加拿大蒙特利爾大學的數論學家安德魯·格蘭維爾說：“對我這個領域的人來說，這個結果將是巨大的。” 但他警告說，包括張在內的其他人之前也曾提出過後來被證明是錯誤的解決方案，研究人員需要一段時間才能仔細研究張的論證，看看它是否正確。“目前，我們還遠未確定。”
張沒有回覆《自然》雜誌的置評請求。但他確實在中國網站知乎上寫了他的最新工作。“至於Landau-Siegel零點猜想，我沒想過放棄，”他寫道。他補充說：“至於我對未來的規劃，我不會放棄這些數學問題。我想我可能要一輩子做數學了。我不知道不做數學該做什麼。人們問過關於我退休的問題。我說過，如果我離開數學，我真的不知道該如何生活。”（他的評論由網站Pandaily翻譯成英文。）
對質數的熱情
自10月中旬以來，一直有傳言稱張在Landau-Siegel問題上取得了突破，數學界肯定會關注。張只有一個重要的成果，但這是一個劃時代的成果。1991年獲得博士學位後的幾年裡，他與論文導師疏遠，靠打零工維持生計。然後，他在新罕布什爾大學達勒姆分校擔任教職，在那裡他默默地潛心研究他的熱情所在——質數的統計特性。他於2007年釋出了關於Landau-Siegel猜想的預印本，但數學家發現了問題，該預印本從未在同行評審期刊上發表。
張的第一個重大突破發生在2013年，當時他證明，儘管後續質數之間的間隔平均而言越來越大，但仍有無數對質數之間的距離保持在一定的有限範圍內。這是解決數論中的一個重大問題——是否存在無數對相差僅2個單位的質數（例如質數5和7或11和13）——的第一大步。（英國牛津大學的數論學家詹姆斯·梅納德因改進了張的成果以及其他成就，於7月獲得了菲爾茲獎。）
張現在聲稱已經解決的問題可以追溯到二十世紀初，當時數學家們正在探索馴服質數隨機性的方法。計數質數的一種方法是根據一個質數除以另一個質數（用p表示）得到的餘數，將它們劃分為有限數量的“籃子”。例如，當除以p = 5時，質數可以給出餘數1、2、3或4。十九世紀早期的一項結果表明，一旦考慮足夠大的統計樣本，這些可能性“最終”應該以相同的機率出現。但格蘭維爾解釋說，最大的問題是統計樣本應該有多大，才能顯示出均勻分佈的模式：“‘最終’是什麼意思？它們什麼時候開始變得均勻分佈？”
當時已知的方法表明，樣本應該非常大，並且隨著p的大小呈指數增長。但一位名叫卡爾·路德維希·西格爾的德國數學家發現了一個相對簡單的公式，該公式與這個“籃子”問題相關聯，並可能使樣本小得多。他表明，如果在某些情況下，該公式不產生0，則相當於證明了該猜想。格蘭維爾說：“他清除了所有無關緊要的東西，只留下了一棵巨大的橡樹需要砍伐。” 這個問題也由另一位德國數學家埃德蒙·朗道獨立提出，後來被稱為Landau-Siegel零點猜想。張現在聲稱已經證明的是該猜想的較弱版本，但該版本在質數分佈方面具有類似的意義。
未解之謎
該猜想是黎曼猜想的“表親”，黎曼猜想是德國數學家伯恩哈德·黎曼在1859年設計的一種預測某個範圍內的數字為質數的機率的方法。
黎曼猜想可能在未來幾年仍將位居數學家願望清單的首位。儘管它很重要，但迄今為止，還沒有任何嘗試取得重大進展。只有最勇敢的數學家——通常是那些已經取得重大成就和獎項的數學家——才會公開承認嘗試解決它。新澤西州皮斯卡塔韋羅格斯大學的數論學家亞歷克斯·康託羅維奇說：“這是那種事——你不應該談論黎曼。” “人們都在秘密地研究它。”
他補充說，儘管解決黎曼猜想的進展停滯不前，但Landau-Siegel問題提供了類似的見解。“解決這些問題中的任何一個都將是我們理解質數分佈的重大進步。”
本文經授權轉載，並於2022年11月11日首次發表。