在 20 世紀 50 年代，貝爾實驗室的物理學家菲利普·安德森發現了一種奇怪的現象。在某些情況下，波似乎應該自由傳播，但它們卻停止了——就像海嘯在海洋中央停止一樣。
安德森因發現現在被稱為安德森局域化的現象而榮獲 1977 年諾貝爾物理學獎，該術語指的是停留在某些“區域性”區域而不是像預期那樣傳播的波。他研究了電子在不純材料中運動時的這種現象（電子的行為既像粒子又像波），但在某些情況下，其他型別的波也可能發生這種情況。
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即使在安德森發現之後，關於局域化的許多方面仍然很神秘。儘管研究人員能夠證明局域化確實會發生，但他們預測局域化何時何地發生的能力非常有限。這就像你站在房間的一側，期望聲波到達你的耳朵，但它從未到達。即使在安德森之後，你知道它沒有到達的原因是它在其路徑上的某個地方發生了局域化，你仍然想弄清楚它到底去了哪裡。幾十年來，這正是數學家和物理學家努力解釋的問題。
這就是 斯維特拉娜·邁博羅達 的用武之地。邁博羅達現年 36 歲，是明尼蘇達大學的數學家。五年前，她開始解開長期存在的局域化難題。她提出了一個稱為“景觀函式”的數學公式，可以準確預測波將在哪裡局域化以及局域化時將採取何種形式。
“你想知道如何找到這些局域化區域，”邁博羅達說。“樸素的方法很困難。景觀函式神奇地提供了一種方法。”
她的工作始於純數學領域，但與大多數數學進展不同，大多數數學進展可能在幾十年甚至更久之後才能找到實際用途，她的工作已經被物理學家應用。特別是，LED 燈——或發光二極體——依賴於局域化現象。當半導體材料中的電子從較高能量的位置開始，被捕獲（或“局域化”）在較低能量的位置並以光子的形式發射能量差時，它們就會發光。LED 仍然是一項正在進行的工作：如果這些裝置要成為人造照明的未來（正如許多人所期望的那樣），工程師需要製造出更有效地將電子轉換為光的 LED。如果物理學家能夠更好地理解局域化的數學原理，工程師就可以製造出更好的 LED——在邁博羅達的數學幫助下，這項工作已經在進行中。
異常波
局域化不是一個直觀的概念。想象一下，你站在房間的一側，看著別人搖鈴，但聲音從未傳到你的耳朵。現在想象一下，它沒有到達的原因是聲音掉入了一個建築陷阱，就像海螺中瓶裝的海浪聲一樣。
當然，在普通的房間裡，這種情況永遠不會發生：聲波會自由傳播，直到它們撞擊你的耳膜，或被牆壁吸收，或在與空氣中分子的碰撞中消散。但安德森意識到，當波在高度複雜或無序的空間中移動時，例如牆壁非常不規則的房間，波可以將自己困在原地。
安德森研究了電子在材料中運動時的局域化現象。他意識到，如果材料排列有序，如晶體，原子均勻分佈，則電子作為波自由運動。但如果材料的原子結構更加隨機——有些原子在這裡，一大堆原子在那裡，就像許多工業製造的合金中的情況一樣——那麼電子波會以高度複雜的方式散射和反射，這可能導致波完全消失。
“在這些材料的製造方式中，無序是不可避免的，無法逃避，”巴黎綜合理工學院的物理學家馬塞爾·菲洛切說，他是邁博羅達的密切合作者。“唯一可以希望的是你可以玩弄它，控制它。”
物理學家長期以來一直理解，局域化與波的干涉有關。如果一個波的波峰與另一個波的波谷對齊，你就會得到相消干涉，並且這兩個波會相互抵消。
當波在除了少數孤立位置之外的所有地方相互抵消時，就會發生局域化。為了發生如此接近完全抵消的情況，你需要波在複雜的空間中移動，這種空間會將波分解成各種尺寸。然後，這些波以令人眼花繚亂的方式相互干涉。而且，正如你可以將每種顏色組合起來得到黑色一樣，當你組合如此複雜的聲波混合時，你會得到寂靜。
原理很簡單。計算卻不然。理解局域化始終需要模擬無限多種波的尺寸，並探索這些波可能相互干涉的每一種可能方式。對於物理學家實際想要理解的三維材料，這是一項壓倒性的計算，可能需要研究人員花費數月才能完成。對於某些材料，這根本不可能。
除非你有景觀函式。
景觀的佈局
2009 年，邁博羅達前往法國，展示了她一直在研究的關於薄板數學的研究。她解釋說，當板具有複雜的形狀，並且你從一側施加一些壓力時，板可能會以非常不規則的方式彎曲——在意外的位置凸起，而在其他位置幾乎保持平坦。
菲洛切當時在聽眾席中。他花了十多年時間研究振動的局域化，他的研究導致了一種 原型降噪屏障 的構建，稱為“分形牆”，用於高速公路沿線。在邁博羅達的演講之後，兩人開始推測邁博羅達板中不規則的凸起模式是否可能與菲洛切的振動在某些地方局域化而在其他地方消失的方式有關。
在接下來的三年裡，他們發現這兩種現象確實相關。在一篇 2012 年的論文中，菲洛切和邁博羅達介紹了一種以數學方式感知地形的方法，就像波看到的那樣。由此產生的“景觀”函式解釋了關於波正在穿過的幾何形狀和材料的資訊，並使用它來繪製局域化的邊界。先前確定局域波的努力失敗是由於考慮所有可能波的複雜性，但邁博羅達和菲洛切找到了一種將問題簡化為單個數學表示式的方法。
要了解景觀函式是如何工作的，請考慮一個具有複雜外邊界的薄板。想象一下用杆敲擊它。它可能在某些地方保持沉默，而在其他地方發出響聲。你怎麼知道會發生什麼以及在哪裡發生？
景觀函式考慮了板在均勻壓力下的彎曲方式。當板受到壓力時，它凸起的位置是不可見的，但振動會感知到這些凸起，景觀函式也會感知到：凸起是板會發出響聲的地方，而凸起周圍的線正是函式繪製的局域化線。
“想象一塊板，讓它承受一側的氣壓，推動它，然後測量點凸起程度的非均勻性。這就是景觀函式，就是這樣，” 大衛·傑里森說，他是麻省理工學院的數學家，也是景觀函式工作的合作者。
在他們 2012 年的論文之後，邁博羅達和菲洛切尋找將景觀函式從機械振動擴充套件到電子波量子世界的方法。
電子在波狀現象中是獨一無二的。不要將它們想象成波，而是將它們想象成根據它們在材料原子結構中的位置而具有或多或少的能量。對於給定的材料，有一張圖，稱為勢（如“勢能”），它告訴你能量。對於具有有序原子結構的導體等材料，勢相對容易繪製，但在原子結構高度不規則的材料中，勢非常難以計算。這些無序材料正是電子波將發生局域化的材料。
“材料的隨機性使得勢圖的預測非常困難，”菲洛切在一封電子郵件中解釋道。“此外，這種勢圖還取決於運動電子的位置，而電子的運動又反過來取決於勢。”
繪製無序材料勢的另一個挑戰是，當波在一個區域局域化時，它們實際上並沒有完全侷限於該區域，並且隨著它們遠離局域化區域，它們會逐漸消失。在機械系統中，例如振動板，這些波的遙遠痕跡可以安全地忽略。但在充滿高度敏感電子的量子系統中，這些痕跡很重要。
“如果你在這裡有一個電子，在那裡有另一個電子，並且它們局域化在不同的地方，它們相互作用的唯一方式將是透過它們指數衰減的尾部。對於相互作用的量子系統，你絕對需要[能夠描述]這一點，”菲洛切說。
在接下來的五年裡，菲洛切和邁博羅達引入了更多的合作者，並提高了景觀函式的預測能力。他們與傑里森、明尼蘇達大學的 道格拉斯·阿諾德 和巴黎第十一大學的蓋伊·大衛一起，目前正在完成一篇論文，該論文描述了景觀函式的新版本——簡而言之，它是原始版本的倒數——它準確地預測了電子將在哪裡局域化以及在什麼能量水平局域化。
“景觀函式的力量在於讓你控制波，讓你設計你可以實際控制局域化的系統，[而不是讓]它由上帝決定，”邁博羅達說。
事實證明，這正是你製造更好的 LED 所需要的。
秩序與光明
LED 通常被譽為照明的未來。它們比傳統燈泡更有效地將能量轉化為光。但 LED 仍然有點像一種被發現的資源：我們有了這個東西，我們知道它很有用，但我們並不完全理解如何使其變得更好。
“在這種情況下，你缺乏控制。你不知道為什麼你表現良好，你也不知道該怎麼做才能更進一步，”菲洛切說。
我們所知道的是，LED 透過局域化工作。LED 包含由電極界定的半導體材料薄層。這些電極施加電壓，使電子運動。電子透過從一個原子跳到另一個原子來移動，在這樣做時，它們在“勢”能圖中佔據新的位置。當電子移動時，它們會留下帶正電的“空穴”，這些空穴以重要的方式與電子相互作用。至於電子本身，當它們從較高能量的位置移動到較低能量的位置時，在適當的情況下，它們會以光子的形式發射能量差。集中足夠多的這些光子，你就可以驅散黑暗。
當然，電子並不總是按照你希望的方向移動。現代 LED 由半導體合金氮化鎵晶片製成，這些晶片圍繞著更薄的相關合金氮化銦鎵層。這些薄的內層被形象地稱為“量子阱”——當電子落入時，它們會在較低的能量水平上局域化。如果它們在空穴存在的情況下局域化，則能量差以光子的形式發射出來；如果它們在沒有空穴的情況下局域化，則能量差以聲子的形式發射熱量，並且所有的努力都白費了。
這就是設定：你希望電子在量子阱中在空穴存在的情況下局域化以發光。由於多種原因，氮化鎵是製造這種情況的良好材料，但它也有缺點——由於其製造方式，你最終得到的材料在原子水平上非常不規則。
“你會發現空間中有些區域的銦原子較多，而另一些區域的銦原子較少。這種成分的隨機變化意味著不同區域電子的能量是不同的，” 克勞德·韋斯布赫說，他是加州大學聖巴巴拉分校半導體物理學領域的領軍人物，也是美國能源部資助（與同樣來自 UCSB 的 詹姆斯·斯佩克共同獲得）使用景觀函式開發更好綠色 LED 的專案的共同接受者。
景觀函式繪製了用於製造 LED 的混亂材料中的勢能圖。它告訴你電子波將在哪裡干涉以相互抵消，以及電子將在哪裡局域化，以及在什麼能量下局域化。對於試圖製造這些裝置的工程師來說，這就像在黑暗的房間裡開啟一盞明燈。
“多虧了景觀理論，我們第一次可以對 LED 進行真正的量子模擬，”韋斯布赫說。
邁博羅達在五年前完成了景觀函式的第一個版本。從那時起，它已經擴充套件到許多不同的研究領域：在麻省理工學院，傑里森正在探索該函式更廣泛的數學意義；在法國，菲洛切正在使用掃描隧道顯微鏡來實驗性地評估該函式的預測，而另一個研究團隊（由蘭格文研究所的帕特里克·塞巴領導）正在直接測量振動板中的局域化；在加利福尼亞州，韋斯布赫正在設計新的 LED。總而言之，這是一個驚人的應用速度。
“在幾年內發生的事情讓我感到驚訝，”邁博羅達說。“我自己都不敢相信。”
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