編者注：本文發表於 1957 年，摘自馬丁·加德納的傳奇《大眾科學》專欄“數學遊戲”。在我們的特別數字刊樂趣與遊戲中閱讀更多內容。
薩默塞特·毛姆的短篇小說《萬事通先生》包含以下對話
“你喜歡紙牌戲法嗎？”
“不，我討厭紙牌戲法。”
“好吧，我只想給你展示這一個。”
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在第三個戲法之後，受害者會找藉口離開房間。他的反應是可以理解的。大多數紙牌魔術都非常枯燥，除非是由技術嫻熟的專業人士表演。然而，有一些“自動完成”的紙牌戲法從數學的角度來看非常有趣。
考慮以下戲法。魔術師坐在桌子旁，正對著觀眾，首先將牌組中任意位置的 20 張牌反轉。也就是說，他將它們在牌組中面朝上。觀眾徹底洗牌，使這些反轉的牌隨機分佈。然後他將牌組放在桌子下面，所有人看不見的地方，從頂部數出 20 張牌。這包 20 張牌在桌子下面遞給魔術師。
魔術師接過牌包，但繼續將其放在桌子下面，因此他看不到牌。 “你和我，”他說，“都不知道你遞給我的這 20 張牌中有多少張是反轉的。但是，這個數字很可能少於你手中 32 張牌中的反轉牌數量。在不看牌的情況下，我將再翻轉幾張面朝下的牌，並嘗試使我的牌包中的反轉牌數量與你手中的反轉牌數量完全相同。”
魔術師擺弄他的牌片刻，假裝他可以透過感覺來區分牌的正面和背面。然後他將牌包拿到視野中，並在桌子上攤開。面朝上的牌被數了數。它們的數量被證明與觀眾持有的 32 張牌中面朝上的牌的數量相同！
這個非凡的戲法最好透過參考最古老的數學腦筋急轉彎之一來解釋。想象一下，您面前有兩個燒杯，一個裝有一升水；另一個，一升酒。將一立方厘米的水轉移到酒的燒杯中，並將酒和水充分混合。然後將一立方厘米的混合物轉移回水中。現在酒中的水是否比水中的酒多？還是反之亦然？
答案是酒中的水和水中的酒一樣多。關於這個問題有趣的是，其中涉及了大量的無關資訊。沒有必要知道每個燒杯中有多少液體，轉移了多少，或者進行了多少次轉移。混合物是否充分攪拌都無關緊要。甚至兩個容器在開始時是否裝有等量的液體也無關緊要！唯一重要的條件是，最終每個燒杯必須裝有與其開始時完全相同的液體量。當這種情況發生時，顯然，如果酒杯中缺少x量的酒，那麼先前被這種酒佔據的空間現在必須充滿x量的水。
如果讀者對這個推理感到困擾，他可以用一副紙牌快速澄清它。將 26 張牌面朝下放在桌子上，代表酒。在它們旁邊放 26 張牌面朝上，代表水。現在您可以隨意地從一堆的任何部分轉移牌到另一堆的任何部分，只要您最終在每堆中都剩下 26 張牌。然後您會發現，任何一堆中面朝下的牌的數量將與另一堆中面朝上的牌的數量相匹配。
現在嘗試一個類似的測試，從 32 張面朝下的牌和 20 張面朝上的牌開始。隨意進行多次轉移，最終在較小的堆中剩下 20 張牌。大堆中面朝上的牌的數量必然與 20 張牌中面朝下的牌的數量完全相等。現在翻轉小堆。這會自動將其面朝下的牌翻轉為面朝上，並將其面朝上的牌翻轉為面朝下。因此，兩組中面朝上的牌的數量將相同。
這個戲法的運作現在應該很清楚了。一開始，魔術師正好反轉了 20 張牌。稍後，當他從觀眾那裡拿到 20 張牌的牌包時，它將包含與牌組中剩餘的面朝上的牌數量相同的面朝下的牌數量。然後他假裝反轉了一些額外的牌，但實際上他所做的只是將牌包翻過來。然後它將包含與觀眾持有的 32 張牌組中反轉牌數量相同的反轉牌數量。這個戲法對於數學家來說尤其令人困惑，他們傾向於考慮各種複雜的解釋。
在魔術行業中被稱為“拼寫器”的許多紙牌效果都基於基本的數學原理。這是一個最好的例子。背對著觀眾，請某人從牌組中取出 1 到 12 張牌，並將它們藏在口袋裡，不要告訴您數量。然後您告訴他看牌組剩餘部分頂部第那個數字的牌，並記住它。
轉過身來，詢問任何在世或已故人士的名字。例如，有人建議瑪麗蓮·夢露（順便說一句，這個名字必須超過 12 個字母）。拿起牌組，您對將牌放入口袋的人說：“我希望您將牌一次一張地發到桌子上，拼寫瑪麗蓮·夢露的名字，就像這樣。” 為了演示，從牌組頂部發牌，在桌子上形成一個面朝下的牌堆，每拼寫一個字母取一張牌，直到您大聲拼出名字為止。拿起小堆牌，將其放回牌組頂部。
“但是，在您執行此操作之前，”您繼續說，“我希望您將口袋裡的牌新增到牌組的頂部。” 強調一個事實，這是真的，您無法知道這將是多少張牌。然而，儘管添加了未知數量的牌，但在觀眾完成拼寫瑪麗蓮·夢露之後，下一張牌（即牌組頂部的牌）將總是變成他選擇的牌！
這個戲法的運作很容易進行分析。設x為觀眾口袋中牌的數量，也為所選牌在牌組頂部的位置。設y為所選名稱中的字母數。您演示如何拼寫名稱會自動反轉y張牌的順序，將所選牌帶到從頂部算起的位置，即y減x。因此，在牌組中新增x張牌會在所選牌上方放置y減x加x張牌。x相互抵消，留下正好y張牌在到達所需的牌之前被拼寫出來。
在以下效果中涉及了更微妙的補償原理。要求觀眾選擇任意三張牌，並將它們面朝下放在桌子上，不要讓魔術師看到它們。剩下的牌被洗牌並遞給魔術師。
“我不會改變任何一張牌的位置，”魔術師解釋說。“我所要做的就是取出一張牌，它的點數和花色將與您稍後選擇的牌相匹配。” 然後他從牌組中取出一張牌，並將其面朝下放在桌子的一側。
現在要求觀眾拿起剩下的牌，並將他先前放在桌子上的三張牌翻過來面朝上。假設它們是一張九、一張皇后和一張 A。魔術師要求他開始在九點上發麵朝下的牌，同時大聲數數，從 10 開始數，一直數到 15。換句話說，觀眾在九點上發了六張面朝下的牌。對其他兩張牌也遵循相同的程式。皇后，其點數為 12（J 是 11，K 是 13），將需要三張牌才能將計數從 12 提高到 15。A (1) 將需要 14 張牌。
魔術師現在讓觀眾將最初三張面朝上的牌的點數相加，並注意牌組剩餘部分頂部該位置的牌。在本例中，總數是 22（9 加 12 加 1），因此他檢視第 22 張牌。魔術師翻過他的“預測牌”。這兩張牌的點數和花色相匹配！
它是如何完成的？當魔術師瀏覽牌組以找到“預測牌”時，他注意到從底部數起的第四張牌，然後取出另一張點數和花色與之匹配的牌。戲法的其餘部分自動完成。我把推匯出為什麼這個戲法不會失敗的代數證明這個簡單的任務留給讀者。
紙牌易於洗牌，這使得它們特別適合演示各種機率定理，其中許多定理都令人驚訝，足以被稱為戲法。例如，讓我們想象一下，兩個人每個人都拿著一副洗過的 52 張牌。一個人從 1 數到 52；每次計數時，兩人都將一張牌面朝上發到桌子上。在發牌過程中的某個時刻，同時發出兩張相同的牌的機率是多少？
大多數人會認為機率很低，但實際上它比 1/2 更好！沒有巧合的機率是超越數e分之一。（這並非完全正確，但誤差小於 1/1069。讀者可以查閱 W. Rouse Ball 的Mathematical Recreations and Essays當前版的第 47 頁，瞭解得出此數字的方法。）由於e是 2.718...，因此巧合的機率大約是 17/27 或幾乎是 2/3。如果您能找到願意與您對賭不會發生巧合的人，您很有可能賺到一些額外的零錢。