編者注：本文發表於 1957 年，摘自馬丁·加德納的傳奇《大眾科學》專欄“數學遊戲”。在我們的特別數字刊物《樂趣與遊戲》中閱讀更多內容。
悖論是一種真理，它與常識如此強烈地背道而馳，以至於即使你面對證據也難以置信。這種難以置信的特性在機率悖論中尤為突出——機率數學領域尤其富含悖論。
考慮生日悖論。你估計在任何 24 人的群體中，至少有兩人出生在同一天同一個月的機率是多少？ 乍一看，你會說機率非常低。 事實上，機率是 27/50，或超過二分之一！ 換句話說，如果你對在 24 人的隨機集合中至少存在一個生日巧合下平注，從長遠來看，你獲勝的機會將大於一半。
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這些機率是如此出乎意料，以至於你可以在 24 人或更多人的聚會上或其他聚會上進行一場有趣且有利可圖的遊戲。 讓每個人將自己的生日寫在紙條上。 通常情況下，至少有兩個生日會相同——有時會讓相關方感到驚訝，儘管他們可能已經認識多年了。
你不需要 24 人的聚會來玩這個遊戲：你只需從《名人錄》或其他傳記詞典中隨機抽取 24 個名字即可。 我查閱了美國 33 位總統的生日，並很高興地報告說他們遵守了平均律。 兩位總統的生日相同：詹姆斯·波爾克和沃倫·哈丁都出生於 11 月 2 日。
從機率原理計算這些機率非常簡單，但相當繁瑣。 喬治·伽莫夫在他的著作《從一到無窮大》中給出了一種計算方法。 兩個人生日不一致的機率是 364/365，因為在 365 天中，他們生日不同的可能性有 364 種。 第三個人生日與前兩個人不同的機率是 363/365； 對於第四個人，生日仍然不同的機率是 362/365，依此類推，直到第 24 個人的 342/365。 要計算所有 24 個人生日都不同的機率，你需要將所有這些機率相乘，結果是一個分數，化簡後為 23/50。 這意味著在 24 人一組的生日巧合中，你每下注 50 次會贏 27 次。
更令人驚訝的是第二張 A 的悖論。 假設一位橋牌玩家看了看剛發到手的牌，並宣佈：“我有一張 A。” 他還有第二張 A 的機率是多少？ 這可以精確計算出來，結果略低於 1/3。 但是，假設他宣佈他有一張特定的 A，例如黑桃 A，這是在發牌前預先約定的。 那麼，持有黑桃 A 的玩家還有另一張 A 的機率將是 11,686/20,825，或略高於 1/2！ 為什麼說出 A 的名字會影響賠率？
為了簡化計算工作，我們可以用一個更基本的遊戲來說明這種情況，該遊戲僅使用四張牌——黑桃 A、紅心 A、梅花 2 和方塊 J。 如果給兩位玩家每人發兩張牌，則玩家可能持有的組合只有六種：(1) 黑桃 A 和紅心 A，(2) 黑桃 A 和方塊 J，(3) 黑桃 A 和梅花 2，(4) 紅心 A 和方塊 J，(5) 紅心 A 和梅花 2，(6) 方塊 J 和梅花 2。 現在，在這六種兩張牌的手牌中，有五種允許玩家說“我有一張 A”，而在五種情況中的一種情況下，他有第二張 A。 因此，在這個遊戲中，第二張 A 的機率是 1/5。 但是請注意，如果玩家能夠宣告他持有黑桃 A，則他手中持有第二張 A 的機率會上升到 1/3，因為只有三種包含黑桃 A 的組合，其中一種包含第二張 A。
所有機率悖論中最著名的是聖彼得堡悖論，最早由著名數學家丹尼爾·伯努利在聖彼得堡科學院的一篇論文中提出。 假設我拋一枚便士，並同意如果正面朝上，就給你一美元。 如果反面朝上，我再次拋擲，這次如果正面朝上，我給你兩美元。 如果再次反面朝上，我第三次拋擲，如果正面朝上，我給你四美元。 簡而言之，我提出每次拋擲都將賠率翻倍，並且我一直持續到我必須賠付為止。 你應該為玩這個單方面遊戲的特權支付多少錢給我？
令人難以置信的答案是，你可以為每場比賽支付我任何金額，比如一百萬美元，並且仍然會勝出。 在任何一場遊戲中，你都有 1/2 的機率贏得一美元，1/4 的機率贏得兩美元，1/8 的機率贏得四美元，依此類推。 因此，你可能期望贏得的總額是 (1 x 1/2) + (2 x 1/4) + (4 x 1/8).... 這個無限級數的總和是無限的。 因此，無論你預先為每場比賽支付給我多少有限的總和，如果我們玩足夠多的比賽，你最終都會獲勝。 你會在每場比賽中獲得一些報酬，並且每次比賽都有機會贏得一筆天文數字的金額，儘管機會很小。 這個悖論與每個“加倍”賭博系統有關。 對它的全面分析導致了各種錯綜複雜的分支。
卡爾·C·亨普爾是“邏輯實證主義”學派的領軍人物，現在是普林斯頓大學的哲學教授，他發現了另一個令人震驚的機率悖論。 自從他於 1937 年在瑞典期刊《Theoria》上首次解釋它以來，“亨普爾悖論”一直是科學哲學家之間愉快而博學的爭論的主題，因為它觸及了科學方法的核心。
亨普爾開始假設，一位科學家希望研究“所有烏鴉都是黑色的”這一假設。 他的研究包括儘可能多地檢查烏鴉。 他發現的黑烏鴉越多，假設就越有可能成立。 因此，每隻黑烏鴉都可以被視為該假設的“證實例項”。 亨普爾斷言，一塊棕色的石頭的存在也是該假設的“證實例項”！ 他用鐵一般的邏輯證明了他的悖論。
“所有烏鴉都是黑色的”這句話可以轉化為邏輯上等價的陳述，“所有非黑色物體都不是烏鴉”。 第二個陳述與原始陳述的含義相同。 因此，任何“證實”第二個陳述的物體的發現也必須證實第一個陳述。
那麼，假設這位科學家在尋找非黑色物體時，偶然發現了一塊棕色的石頭。 這個物體是“所有非黑色物體都不是烏鴉”的證實例項。 因此，它必須增加等價假設“所有烏鴉都是黑色的”的可能真理。 這同樣適用於白象、紅鯡魚或科學家的綠色領帶。 正如一位哲學家最近評論的那樣，在雨天，研究黑烏鴉假設的鳥類學家可以在不弄溼腳的情況下進行研究。 他只需要探索他的房間並注意不是黑色物體且不是烏鴉的例項！
亨普爾說，我們發現很難接受這個悖論的有效性，因為存在“誤導性的直覺”。 但是，當我們考慮一個更簡單的問題時，它開始變得有道理。 假設我們希望檢驗所有在某家大公司工作的紅髮打字員都已婚的假設。 我們可以透過直接找出每位紅髮打字員並詢問她是否已婚來進行調查。 但還有另一種測試，實際上可能更有效率。 我們可以從人事部門獲取公司中所有未婚打字員的名單，然後調查這份名單上的女孩是否有紅頭髮。 如果結果證明沒有未婚打字員是紅頭髮，我們就完全證實了我們關於所有紅髮打字員都已婚的假設。 並且每個非已婚且非紅頭髮的打字員都有效地充當了該假設的證實例項。 如果未婚打字員少於已婚打字員，我們可以透過這種方法節省時間。
紅髮打字員的問題和黑烏鴉的問題之間唯一真正的區別在於類的大小相對而言。 世界上有如此多的非黑色物體，以至於檢查它們將是一種極其低效的方法來檢驗所有烏鴉都是黑色的假設。 儘管如此，大多數邏輯學家都同意亨普爾的邏輯是無懈可擊的。 儘管我們可能會想用微笑和聳聳肩來駁斥亨普爾的悖論，但我們必須記住，許多長期以來被視為純粹智力練習的邏輯悖論被證明在符號邏輯的發展中非常有用。 對亨普爾悖論的分析已經為歸納邏輯的模糊本質提供了寶貴的見解，歸納邏輯是獲得所有科學知識的工具。