數學之美：菲爾茲獎得主邁克爾·阿蒂亞訪談

來自量子雜誌 (在此處查詢原文)。

儘管邁克爾·阿蒂亞擁有諸多榮譽——他是數學領域的菲爾茲獎和阿貝爾獎的雙料得主；曾任世界最古老的科學學會倫敦皇家學會主席（也曾任愛丁堡皇家學會主席）；曾任劍橋大學三一學院院長；被授予爵士和功績勳章；並且基本上是英國的數學教皇——但他最恰當的描述或許是一位媒人。他具有安排恰當的智力聯絡的直覺，通常包括他自己和他的想法，並且在他超過半個世紀的職業生涯中，他彌合了數學領域內看似不同的想法之間以及數學和物理學之間的差距。

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例如，在2013年春天的一個日子裡，當他坐在白金漢宮的女王畫廊等待與伊麗莎白二世共進一年一度的功績勳章午餐時，邁克爾爵士為他一生的朋友和同事，偉大的數學物理學家羅傑·彭羅斯爵士牽線搭橋。

彭羅斯一直在努力發展他的“扭量”理論，這是一種通向量子引力的途徑，已經進行了近 50 年。“我有一種方法可以做到這一點，這意味著要走向無窮大，”彭羅斯說，“並試圖解決那裡的一個問題，然後再回來。”他認為肯定有更簡單的方法。就在那時，阿蒂亞指出了這一點，建議彭羅斯使用一種“非交換代數”。

“我當時想，‘我的天哪’，”彭羅斯說。“因為我知道在扭量理論中一直存在這種非交換代數。但我沒有想到以這種特殊的方式使用它。有些人可能會說，‘這行不通。’ 但邁克爾可以立即看到，你可以讓它工作，而且這正是應該做的。考慮到阿蒂亞提出建議的地點，彭羅斯將他改進後的想法稱為“宮廷扭量理論”。

這就是阿蒂亞的力量。粗略地說，他職業生涯的前半部分都在將數學與數學聯絡起來，後半部分則將數學與物理學聯絡起來。

阿蒂亞最出名的是 1963 年與麻省理工學院的伊薩多·辛格共同提出的“指標定理”（恰當的名稱是阿蒂亞-辛格指標定理），該定理連線了分析學和拓撲學——這一基本聯絡被證明在數學領域以及後來的物理學領域中都很重要。阿蒂亞主要因這項工作獲得了1966 年的菲爾茲獎和2004 年的阿貝爾獎（與辛格共同獲得）。

在 20 世紀 80 年代，從指標定理中收集的方法意外地在弦理論的發展中發揮了作用——這是一種試圖調和廣義相對論和引力的大尺度領域與量子力學的小尺度領域的方法——特別是與新澤西州普林斯頓高等研究院的弦理論家愛德華·威滕的工作有關。威滕和阿蒂亞開始了一項長期合作，並在 1990 年威滕獲得了菲爾茲獎，他是唯一一位獲得該獎項的物理學家，阿蒂亞是他的支持者。

現在，86 歲的阿蒂亞幾乎沒有降低標準。他仍在解決重大問題，仍在嘗試協調量子力與引力之間的統一。在這一方面，各種想法層出不窮，但正如阿蒂亞自己所描述的那樣，它們仍然是直觀的、富有想象力的、模糊的和笨拙的商品。

儘管如此，他仍然很享受這種自由流動的創造力狀態，並因他滿滿的日程而充滿活力。為了追求這些當前的調查和思考方向，去年 12 月，他在愛丁堡大學同一天背靠背地做了兩次講座，自 1997 年以來他一直是該大學的名譽教授。他渴望分享他的新想法，並且希望吸引支持者。為此，他在 11 月在愛丁堡皇家學會舉辦了一場關於“美的科學”的會議。量子雜誌 在皇家學會的聚會上以及之後，每當他慢下來足以接受提問時，都會與阿蒂亞坐下來。以下是這些隨意進行的對話的編輯版本。

量子雜誌：您是從哪裡開始對美和科學感興趣的？
邁克爾·阿蒂亞：我出生於 86 年前。那時我就開始對此感興趣了。我是在佛羅倫薩構想的。我父母打算給我取名為米開朗基羅，但有人說，“這個名字對於一個小男孩來說太大了。” 這將是一場災難。我不會畫畫。我沒有任何天賦。

您提到在羅傑·彭羅斯關於“藝術在數學中的作用”的講座中，某些東西“點選”了一下，而且您現在有一個合作撰寫論文的想法。這種點選，這個過程或狀態——您能描述一下嗎？
一旦你看到它，真相或真實性就會映入你的眼簾。真相正在回望著你。你不需要尋找它。它在頁面上閃耀著光芒。

您的想法通常是如何產生的？
這是一個壯觀的版本。數學中最瘋狂的部分是當一個想法出現在你的腦海中時。通常是在你睡覺的時候，因為那時你的抑制最少。這個想法不知道從哪裡飄進來。它在天空中飄蕩；你看著它，欣賞它的色彩。它就在那裡。然後在某個階段，當你試圖凍結它，將它放入一個堅固的框架中，或使其面對現實時，它就會消失，它就消失了。但它已被一個結構所取代，該結構捕捉到了某些方面，但它是一個笨拙的解釋。

您一直都有數學方面的夢想嗎？
我想是的。夢想發生在白天，也發生在晚上。你可以稱它們為願景或直覺。但基本上它們是一種心境——沒有文字、圖片、公式或陳述。它“先於”這一切。它先於柏拉圖。這是一種非常原始的感覺。而且，如果你試圖抓住它，它總是會消亡。所以當你早上醒來時，一些模糊的殘留物會徘徊，這是一個想法的幽靈。你試圖記住它是什麼，而你只能得到一半的正確答案，也許這是你所能做的最好的。

想象力是其中的一部分嗎？
當然。想象中的時間旅行是廉價而容易的——你甚至不需要買票。人們會回到過去，想象自己是宇宙大爆炸的一部分，然後他們會問在之前發生了什麼。

是什麼引導著想象力——美嗎？
這不是你可以指出的那種美——它是一種更加抽象意義上的美。

不久前，您與倫敦大學學院的神經生物學家塞米爾·澤基和其他合作者發表了一項關於數學之美體驗及其神經相關性的研究。
那是我寫過的閱讀量最多的文章！長期以來，人們都知道，當你聽好聽的音樂、讀好聽的詩歌或看好看的圖片時，大腦的某些部分會亮起來——所有這些反應都發生在同一個地方[“情緒大腦”，特別是內側眶額皮層]。問題是：對數學之美的欣賞是相同的還是不同的？結論是，它是相同的。大腦中欣賞音樂、藝術和詩歌之美的同一部分也參與了對數學之美的欣賞。這是一個重大發現。

您透過在功能性核磁共振儀記錄其反應的同時向數學家展示各種方程式來得出此結論。哪個方程式被認為是美麗的？
啊，最著名的那個，尤拉方程

e^iπ + 1 = 0

它涉及 π；數學常數 e [尤拉數，2.71828 …]；i，虛數單位；1；和 0 — 它在一個公式中結合了數學中最重要的一切，而這個公式確實非常深刻。所以每個人都同意這是最美的方程。我過去常說它是數學上相當於哈姆雷特的短語“生存還是毀滅”——非常短，非常簡潔，但同時又非常深刻。尤拉方程只使用了五個符號，但它也精美地概括了深刻的思想，簡潔是美的重要組成部分。

您尤其以兩部極其精美的作品而聞名，不僅包括指標定理，還包括與德國拓撲學家弗里德里希·希策布魯赫共同開發的K-理論。請談談K-理論。
指標定理和K-理論實際上是同一枚硬幣的兩面。它們最初是不同的，但過了一段時間，它們融合得如此緊密，以至於你無法將它們分開。它們都與物理學有關，但方式不同。

K-理論是對平坦空間以及平坦空間運動的研究。例如，讓我們以一個球體，地球為例，然後拿一本大書放在地球上並移動它。這是一個在彎曲幾何體上移動的平坦幾何體。K-理論研究這種情況的所有方面——拓撲和幾何。它的根源在於我們對地球的導航。

我們過去用來探索地球的地圖，也可以用來探索大型宇宙，用火箭進入太空，以及研究原子和分子的小型宇宙。我現在正在做的是試圖統一所有這些，而K-理論是實現這一點的自然方式。我們已經進行了數百年的這種對映，而且我們可能會再進行數千年。

您是否驚訝於K-理論和指標定理最終在物理學中變得如此重要？
哦，是的。我做所有這些幾何研究時，並沒有意識到它會與物理學聯絡起來。當人們說：“嗯，你正在做的事情與物理學有關”時，我感到非常驚訝。因此，我透過與優秀的物理學家交談來了解發生了什麼，從而快速學習了物理學。

您與威滕的合作是如何開始的？
1977年，我在波士頓認識了他，當時我對物理學和數學之間的聯絡產生了興趣。我參加了一個會議，在那裡看到了這個年輕人和一些年紀較大的人。我們開始交談，幾分鐘後我意識到這個年輕人比那些年紀較大的人聰明得多。他理解我所談論的所有數學，所以我開始關注他。那就是威滕。從那以後，我一直與他保持聯絡。

與他共事是什麼感覺？
2001年，他邀請我到加州理工學院，當時他是那裡的訪問教授。我感覺自己又像個研究生了。每天早上我都會走進系裡，去找威滕，我們會談大約一個小時。他會給我佈置作業。然後我會離開，花接下來的 23 個小時試圖趕上。與此同時，他會去做其他六七件事。我們的合作非常深入。那是一次難以置信的經歷，就像與一位傑出的導師一起工作。我的意思是，他在我得到答案之前就知道所有的答案。如果我們爭論，他總是對的，而我總是錯的。這太令人尷尬了！

您之前說過，數學和物理之間偶爾出現的意想不到的相互聯絡最吸引您——您喜歡發現自己涉足不熟悉的領域。
是的；你看，很多數學是可預測的。有人教你如何解決一個問題，然後你又做同樣的事情。你每向前邁出一步，都是在追隨前人的腳步。時不時地，有人會帶著全新的想法出現，並讓所有人震驚。剛開始，人們不相信它，然後當他們相信它時，它會導致一個全新的方向。數學的發展時斷時續。它有持續發展，然後也有不連續的跳躍，當突然有人有了新的想法時。這些才是真正重要的想法。當你得到它們時，它們會產生重大影響。我們應該要迎來另一個這樣的想法了。愛因斯坦在100年前有一個好主意，我們需要另一個來推動我們前進。

但是，這種方法必須更具探索性，而不是指導性。如果你試圖指導科學，你只會讓人們按照你告訴他們的方向前進。所有科學都來自人們注意到有趣的岔路。你必須對探索採取非常靈活的方法，並允許不同的人嘗試不同的事情。這很難，因為除非你加入潮流，否則你找不到工作。

當你擔心你的未來時，你必須保持一致。這是現代科學最糟糕的事情。幸運的是，當你到了我這個年紀，你就不需要為此煩惱了。我可以暢所欲言。

現在，您正在嘗試一些新想法，希望能打破物理學中的僵局？
你看，有原子物理學——電子、質子和中子，所有構成原子的物質。在這些非常非常小的尺度上，物理定律基本相同，但你也會忽略一種力，那就是引力。引力無處不在，因為它來自整個宇宙的質量。它不會自行抵消，它沒有正值或負值，它會全部疊加。所以無論黑洞和星系有多遠，它們都會在宇宙的每個地方施加非常小的力，即使是在電子或質子中。但是物理學家說：“啊，是的，但它太小了，你可以忽略它；我們不會測量那麼小的東西，沒有它我們也能做得很好。”我的出發點是這是一個錯誤。如果你糾正這個錯誤，你就會得到一個更好的理論。

我現在正在重新審視大約100年前出現的一些想法，當時這些想法被拋棄了，因為人們不明白這些想法想表達什麼。物質如何與引力相互作用？愛因斯坦的理論是，如果你放入一點物質，它就會改變空間的曲率。當空間的曲率發生變化時，它就會作用於物質。這是一個非常複雜的反饋機制。

我正在回到愛因斯坦和[保羅]·狄拉克，並以新的眼光再次審視他們，我認為我看到了人們錯過的東西。我正在填補歷史的漏洞，考慮到新的發現。考古學家會挖掘出東西，或者歷史學家會發現一份新的手稿，這會帶來全新的視角。所以我一直在做的事情就是這樣。不是去圖書館，而是坐在家裡的房間裡思考。如果你思考的時間足夠長，你就會有一個好主意。

所以您是說引力不能被忽略？
我認為物理學家遇到的所有困難都來自於忽略了這一點。你不應該忽略它。關鍵是，我相信如果你把它輸入進去，數學就會被簡化。如果你忽略它，你會給自己製造更多困難。

大多數人會說，當你觀察原子物理學時，你不需要擔心引力。尺度太小了，對於我們所做的計算，它可以被忽略。在某種意義上，如果你只是想要答案，那是正確的。但是如果你想要理解，那麼你在這個選擇中犯了一個錯誤。

如果我錯了，好吧，我犯了一個錯誤。但我不這麼認為。因為一旦你接受了這個想法，就會產生各種美好的結果。數學相互吻合。物理學相互吻合。哲學相互吻合。

威滕如何看待您提出的新想法？
嗯，這是一個挑戰。因為過去當我與他談論我的一些想法時，他認為它們毫無希望，他給了我10個不同的理由說明它們為何毫無希望。現在我認為我可以捍衛我的立場了。我花了很多時間思考，從不同的角度看待它，然後又回到它。我希望我能說服他，我的新方法是有價值的。

您正在冒著聲譽風險，但您認為這是值得的。
我作為數學家的聲譽已經確立。如果我現在把它搞砸了，人們會說：“好吧，他是一個優秀的數學家，但在他生命的盡頭，他失去了理智。”

我的一個朋友，約翰·波爾金霍恩，在我進入物理學領域時離開了，他加入了教會，成為了一名神學家。在我 80 歲生日時，我們進行了一次討論，他對我說：“你沒有什麼可失去的；你只要繼續思考你所想的。”這就是我一直在做的事情。我已經擁有我需要的所有獎牌了。我還能失去什麼？這就是為什麼我準備冒一個年輕研究人員不願冒的風險。

您是否驚訝於在您職業生涯的這個階段，您對新想法仍然如此充滿熱情？
我的一個兒子對我說：“不可能，爸爸。數學家在 40 歲之前就完成了他們最好的工作。而你已經 80 多歲了。你現在不可能有什麼好主意。”

如果你在 80 多歲時仍然保持清醒和警覺，你就會擁有活了很長時間並且見過很多東西的優勢，並且你獲得了視角。我現在 86 歲了，這些想法是我在過去幾年裡才產生的。新的想法會不時出現，你會在這裡或那裡撿起一些碎片，現在時機已經成熟，而在五到十年前可能還不成熟。

是否有一個大問題始終在指導著您？
我總是想嘗試理解事物為什麼會這樣運作。我對獲得一個不知道它意味著什麼的公式不感興趣。我總是試圖挖掘幕後，所以如果我有一個公式，我就要理解它為什麼在那裡。理解是一個非常困難的概念。

人們認為數學始於你寫下一個定理，然後是證明。那不是開始，那是結束。對我來說，數學的創造性場所是在你開始在紙上寫下東西之前，在你嘗試寫下一個公式之前。你會想象各種各樣的事情，你會在腦海中翻轉它們。你試圖創造，就像音樂家試圖創造音樂或詩人一樣。沒有固定的規則。你必須按照自己的方式去做。但在最後，就像作曲家必須把它們寫在紙上一樣，你必須把它們寫下來。但最重要的階段是理解。證明本身並不能給你理解。你可以有一個很長的證明，但在最後也不知道它為什麼會起作用。但是要理解它為什麼起作用，你必須對它有一種本能的反應。你必須感覺到它。

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