在2012年8月30日的某個早晨，望月新一悄悄地在他的網站上釋出了四篇論文。
這些論文篇幅巨大——總共超過500頁——密密麻麻地堆滿了符號，是十多年潛心研究的結晶。它們也可能成為學術界的重磅炸彈。在這些論文中，望月聲稱解決了 abc 猜想，這是一個在數論領域存在了27年的難題，沒有其他數學家甚至接近解決它。如果他的證明是正確的，那將是本世紀數學領域最驚人的成就之一，並將徹底革新整數方程的研究。
然而，望月並沒有大張旗鼓地宣傳他的證明。這位受人尊敬的數學家在日本京都大學數理解析研究所（RIMS）工作，他甚至沒有向世界各地的同行宣佈他的工作。他只是釋出了論文，然後等待世界發現。
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可能第一個注意到這些論文的人是望月在RIMS的同事玉川安騎男。像其他研究人員一樣，他知道望月多年來一直在研究這個猜想，並且一直在最終完成他的工作。同一天，玉川將這個訊息透過電子郵件傳送給他的合作者之一，英國諾丁漢大學的數論學家伊萬·費森科。費森科立即下載了論文並開始閱讀。但他很快就“感到困惑”，他說。“根本無法理解它們。”
費森科透過電子郵件聯絡瞭望月算術幾何領域的頂尖專家，關於證明的訊息迅速傳播開來。幾天之內，數學部落格和線上論壇上就開始了激烈的討論（參見《自然》 http://doi.org/725; 2012）。但對於許多研究人員來說，最初對證明的欣喜很快就變成了懷疑。每個人——即使是那些專業領域最接近望月的人——也像費森科一樣被這些論文弄糊塗了。為了完成證明，望月發明了他所在學科的一個新分支，即使按照純數學的標準，這個分支也抽象得驚人。“看著它，你感覺有點像在閱讀來自未來或外太空的論文，”威斯康星大學麥迪遜分校的數論學家喬丹·艾倫伯格在論文發表幾天後在他的部落格上寫道。
三年過去了，望月的證明仍然處於數學的懸而未決狀態——既沒有被駁倒，也沒有被更廣泛的社群接受。望月估計，算術幾何領域的專家需要大約500小時才能理解他的工作，而數學專業的 graduate student 則需要大約十年。到目前為止，只有四位數學家表示他們已經能夠通讀整個證明。
更增添謎團的是望月本人。到目前為止，他只在日本用日語講授過他的工作，儘管英語流利，但他拒絕了在其他地方談論它的邀請。他不與記者交談；對本文的多次採訪請求均未得到回應。望月回覆了其他數學家的電子郵件，並對拜訪他的同事坦誠相待，但他唯一的公開回應只是在他網站上零星釋出的帖子。2014年12月，他寫道，為了理解他的工作，“研究人員需要停用他們大腦中已安裝並視為理所當然的思維模式”。對於比利時安特衛普大學的數學家列文·勒布魯因來說，望月的態度聽起來像是挑釁。“只是我個人感覺嗎，”他在今年早些時候的部落格中寫道，“還是望月真的在向數學界豎中指”。
現在，數學界正試圖理清局面。今年12月，首次在亞洲以外舉行的關於該證明的研討會將在英國牛津舉行。望月不會親自到場，但他表示願意透過Skype回答研討會的問題。組織者希望這次討論將激勵更多的數學家投入時間來熟悉他的想法——並有可能推動事態朝著對望月有利的方向發展。
在最新的驗證報告中，望月寫道，他的理論在算術幾何方面的地位“構成了純粹數學在人類社會地位的一種忠實的微縮模型”。他在向自己的學科傳達他的抽象工作時遇到的困難，反映了數學家作為一個整體在向更廣泛的世界傳達他們的技藝時經常面臨的挑戰。
原始的重要性
abc 猜想指的是 a + b = c 型別的數值表示式。該陳述有幾個略有不同的版本，它涉及分別除 a、 b 和 c 的數量的質數。每個整數或整數都可以用基本上獨特的方式表示為質數的乘積——那些不能進一步分解為更小的整數的數：例如，15 = 3 × 5 或 84 = 2 × 2 × 3 × 7。原則上， a 和 b 的質因數與其和 c 的質因數沒有關聯。但是 abc 猜想將它們聯絡在一起。它大致假設，如果許多小質數除 a 和 b，那麼只有少數幾個大質數除 c。
這種可能性最早在1985年被提及，當時法國數學家約瑟夫·奧斯特萊在德國的一次演講中，就某一類特定方程隨口說了一句。坐在聽眾席上的大衛·馬塞爾是一位數論學家，現在在瑞士巴塞爾大學工作，他意識到了該猜想的潛在重要性，後來以更一般的形式將其公之於眾。現在它被認為是兩人的功勞，通常被稱為奧斯特萊-馬塞爾猜想。
幾年後，馬薩諸塞州劍橋市哈佛大學的數學家諾姆·埃爾基斯意識到，如果 abc 猜想為真，將對整數方程的研究產生深遠的影響——整數方程也稱為丟番圖方程，以最早研究它們的古希臘數學家丟番圖命名。
埃爾基斯發現， abc 猜想的證明將一舉解決大量著名且尚未解決的丟番圖方程。這是因為它將對解的大小設定明確的界限。例如， abc 可能表明一個方程的所有解都必須小於 100。要找到這些解，只需代入從 0 到 99 的每個數字，然後計算哪些數字有效即可。相比之下，如果沒有 abc，則會有無限多的數字需要代入。
埃爾基斯的工作意味著 abc 猜想可能會取代丟番圖方程歷史上最重要的突破：美國數學家路易斯·莫德爾在 1922 年提出的猜想的證實，該猜想稱，絕大多數丟番圖方程要麼沒有解，要麼只有有限數量的解。德國數學家格爾德·法爾廷斯在 1983 年證明了該猜想，當時他 28 歲，並在三年內憑藉這項工作贏得了菲爾茲獎，這是數學界最令人垂涎的獎項。但如果 abc 為真，法爾廷斯說，你不僅知道有多少個解，而且“你可以列出所有解”。
在法爾廷斯解決莫德爾猜想後不久，他開始在新澤西州普林斯頓大學任教——不久之後，他的道路與望月新一的道路交叉了。
望月新一於 1969 年出生於東京，他的成長歲月是在美國度過的，他的家人在他小時候搬到了美國。他就讀於新罕布什爾州的一所精英高中，他早熟的天賦為他贏得了普林斯頓大學數學系的本科生名額，當時他才 16 歲。他很快就以其獨到的思維而聞名，並直接攻讀了博士學位。
認識望月的人將他描述為一個生活習慣固定，並且擁有近乎超自然專注能力的人。“自從他還是學生以來，他就只是起床工作，”英國牛津大學的數學家金敏炯說，他從普林斯頓時代就認識望月。在參加研討會或座談會後，研究人員和學生通常會一起出去喝啤酒——但望月不會，金敏炯回憶道。“他天性並不內向，但他太專注於他的數學了。”
法爾廷斯是望月的高階論文和博士論文的導師，他可以看出望月與眾不同。“很明顯，他是更聰明的人之一，”他說。但是成為法爾廷斯的學生絕非易事。“法爾廷斯站在恐嚇階梯的頂端，”金敏炯回憶道。他會抓住錯誤不放，與他交談時，即使是傑出的數學家也經常可以聽到他們緊張地清嗓子。
法爾廷斯的研究對美國東海岸各大學的許多年輕數論學家產生了巨大的影響。他的專業領域是代數幾何，自 1950 年代以來，亞歷山大·格羅滕迪克已將其轉變為高度抽象和理論化的領域——通常被描述為二十世紀最偉大的數學家。“與格羅滕迪克相比，”金敏炯說，“法爾廷斯對哲學思考沒有那麼多的耐心。”他的數學風格需要“大量的抽象背景知識——但也傾向於將非常具體的問題作為目標。望月關於 abc 的工作正是如此”。
一心一意
獲得博士學位後，望月在哈佛大學工作了兩年，然後在 1994 年回到他的祖國日本，25 歲時在 RIMS 獲得職位。金敏炯說，雖然他曾在美國生活多年，“但在某些方面，他對美國文化感到不自在”。他補充說，在不同的國家長大可能會加劇數學天才兒童的孤獨感。“我認為他確實受了一些苦。”
望月在 RIMS 蓬勃發展，RIMS 不要求其教職員工教授本科課程。“他能夠在沒有太多外部干擾的情況下獨自工作 20 年，”費森科說。1996 年，當他解決了格羅滕迪克提出的一個猜想時，他提升了自己的國際聲譽；1998 年，他在柏林舉行的國際數學家大會上發表了邀請演講——這相當於在這個社群中入選名人堂。
但即使望月贏得了尊重，他也在逐漸遠離主流。他的工作達到了更高的抽象水平，他撰寫的論文對於他的同行來說也越來越難以理解。在 2000 年代初期，他停止參加國際會議，同事們說他現在很少離開京都府。“需要一種特殊的奉獻精神，才能在多年時間裡專注於研究，而沒有合作者，”加利福尼亞州斯坦福大學的數論學家布萊恩·康拉德說。
望月確實與數論學界的同仁保持聯絡，他們知道他的最終目標是 abc 猜想。他幾乎沒有競爭對手：大多數其他數學家都避開了這個問題，認為它難以解決。到 2012 年初，有傳言稱望月即將完成證明。然後就傳來了 8 月份的訊息：他已在網上釋出了他的論文。
下個月，費森科成為日本境外第一個與望月談論他悄然公佈的工作的人。費森科原本就要拜訪玉川，所以他也去拜訪瞭望月。兩人在一個星期六在望月的辦公室會面，那是一個寬敞的房間，可以欣賞到附近的大文字山的美景，書籍和檔案擺放得井井有條。費森科說，這是“我一生中見過的任何數學家最整潔的辦公室”。當兩位數學家坐在皮革扶手椅上時，費森科就他的工作以及接下來可能發生的事情向望月提出了一連串問題。
費森科說，他警告望月不要向媒體談論他的證明。他想到了另一位數學家的經歷：俄羅斯拓撲學家格里戈裡·佩雷爾曼，他在 2003 年解決了百年難題龐加萊猜想後一舉成名（參見《自然》427, 388; 2004）並隨後退隱，與朋友、同事和外界日益疏遠。費森科認識佩雷爾曼，並認為他的行為是媒體過度關注的結果。但費森科很快意識到，這兩位數學家的性格再也不同不過了。佩雷爾曼以其笨拙的社交技巧（以及任由指甲瘋長）而聞名，而望月則被普遍認為口齒伶俐且友善——如果他對工作之外的生活極其保密的話。
通常，在宣佈一項重大證明後，數學家們會閱讀這項工作——通常只有幾頁長——並且可以理解總體策略。有時，證明會更長更復雜，然後可能需要數年時間才能讓主要的專家完全審查它並達成共識，認為它是正確的。佩雷爾曼關於龐加萊猜想的工作就是這樣被接受的。即使在格羅滕迪克的高度抽象的工作中，專家們也能夠將他的大部分新思想與他們熟悉的數學物件聯絡起來。只有在塵埃落定後，期刊通常才會發表證明。
但幾乎所有著手研究望月證明的人都感到震驚。有些人對望月描述他的一些新理論指令時所用的氣勢磅礴——幾乎是救世主般的——語言感到困惑：他甚至將他建立的領域稱為“宇宙際幾何”。“一般來說，數學家們都很謙虛，不會聲稱他們正在做的事情是對整個宇宙的革命，”巴黎皮埃爾和瑪麗·居里大學的奧斯特萊說，他在檢查證明方面進展甚微。
原因是望月的工作與以前的任何工作都相去甚遠。他試圖從頭開始改革數學，從集合論的基礎開始（許多人熟悉維恩圖）。而且，大多數數學家一直不願投入必要的時間來理解這項工作，因為他們看不到明確的回報：望月發明的理論機制如何用於計算尚不清楚。“我嘗試閱讀其中的一些內容，然後在某個階段，我放棄了。我不明白他在做什麼，”法爾廷斯說。
費森科在過去一年中詳細研究瞭望月的工作，在 2014 年秋天再次拜訪了 RIMS 的他，並表示他現在已經驗證了該證明。（其他三位表示他們已經證實了該證明的數學家也在日本與望月一起工作了相當長的時間。）正如費森科所描述的那樣，宇宙際幾何的總體主題是，必須以不同的視角看待整數——拋開加法，並將乘法結構視為可塑和可變形的東西。那麼，標準乘法將只是一系列結構中的一個特例，就像圓是橢圓的一個特例一樣。費森科說，望月將自己比作數學巨匠格羅滕迪克——這絕非不謙虛的說法。“在望月的工作之前，我們有數學——現在我們在望月的工作之後有了數學，”費森科說。
但到目前為止，少數理解這項工作的人一直在努力向其他人解釋它。“據我所知，每個接近這些東西的人都很理性，但之後他們就變得無法溝通，”一位不願透露姓名的數學家說。他說，這種情況讓他想起了
法爾廷斯說，這是一個問題。“僅僅有一個好主意是不夠的：你還必須能夠向他人解釋它。”法爾廷斯說，如果望月希望他的工作被接受，那麼他應該多與外界溝通。“人們有權儘可能地古怪，”他說。“如果他不想旅行，他沒有義務。如果他想要認可，他就必須妥協。”
理性邊緣
對於望月來說，事情可能會在今年晚些時候開始好轉，屆時克萊數學研究所將在牛津舉辦期待已久的研討會。該領域的領軍人物預計將出席，包括法爾廷斯。金敏炯是組織者之一，他和費森科一起表示，幾天的講座不足以展示整個理論。但是，他說，“希望在研討會結束時，會有足夠多的人被說服，投入更多的精力來閱讀證明”。
大多數數學家預計，還需要很多年才能找到一些解決方案。（望月曾表示，他已將論文提交給一家期刊，據推測這些論文仍在審閱中。）最終，研究人員希望，有人不僅願意理解這項工作，而且還願意使其他人也能理解它——問題是，很少有人願意成為那個人。
展望未來，研究人員認為，未來開放性問題不太可能像現在這樣複雜和難以解決。艾倫伯格指出，定理通常在新數學領域中很容易陳述，並且證明也很簡短。
現在的問題是，望月的證明是會像佩雷爾曼那樣逐漸被接受，還是會走向不同的命運。一些研究人員從路易斯·德布朗熱的例子中看到了一個警示故事，德布朗熱是印第安納州西拉斐特普渡大學一位知名的數學家。2004 年，德布朗熱釋出了一個據稱是黎曼猜想的解決方案，許多人認為黎曼猜想是數學中最重要的開放性問題。但數學家們一直對這一說法持懷疑態度；許多人說，他們對他的非傳統理論和他的古怪寫作風格感到厭煩，並且該證明已經被人遺忘。
對於望月的工作，“這不是非黑即白的事情，”艾倫伯格說。即使 abc 猜想的證明不起作用，他的方法和思想仍然可以慢慢滲透到數學界，研究人員可能會發現它們對其他目的有用。“我確實認為，根據我對望月的瞭解，這些檔案中存在有趣或重要的數學的可能性非常高，”艾倫伯格說。
但他補充說，仍然存在另一種風險。“我認為如果我們 просто 忘記它，那就太糟糕了。那將是可悲的。”
本文經許可轉載，並於 2015年10月7日首次發表。