數學解釋了為什麼你的朋友比你更受歡迎

你是否曾經覺得你的朋友比你擁有更多的朋友？ 儘管你的媽媽可能會堅持認為你和他們一樣受歡迎，但數學的檢驗悖論解釋了為什麼你可能是對的。它還揭示了為什麼你經常覺得等待火車或公共汽車的時間太長，為什麼呼叫中心總是顯得呼叫量高於平均水平，以及其他日常挫折。

考慮一下像Facebook這樣的社交網路，普通使用者擁有數百位朋友。 擁有10,000位朋友的人會出現在其他10,000位使用者的朋友列表中，這使得許多（普通）人相比之下感到不受歡迎。 另一方面，只有五位朋友的人只出現在他們五位朋友的列表中，最多隻讓五個人感到受歡迎。 這就是關鍵思想：一個人在其他使用者的朋友圈中的代表性與他們自己的受歡迎程度成正比。 你更有可能擁有非常受歡迎的朋友，正是因為他們受歡迎。 別告訴你媽媽。

只需考慮下面這個簡單的社交網路

關於支援科學新聞業

如果您喜歡這篇文章，請考慮透過以下方式支援我們屢獲殊榮的新聞業 訂閱。 透過購買訂閱，您正在幫助確保未來能夠繼續講述關於塑造我們當今世界的發現和想法的重要故事。

錢德勒有三個朋友，莫妮卡和菲比各有兩位朋友，而珍妮絲有一位朋友，總共有八位。 然後我們將這八位朋友除以網路中的四個人，得到平均兩位朋友。 然而，請注意，莫妮卡的朋友平均有 2.5 位朋友（錢德勒的三位加上菲比的兩位，全部除以二）。 莫妮卡的朋友平均擁有的朋友比她多（2.5 > 2），這可能會讓她感到相對不受歡迎，即使她實際上非常普通。 她對她直接朋友圈的區域性視角講述了一個與她在整個網路中地位的全域性視角不同的故事。

菲比和珍妮絲也遇到了同樣的情況，她們的朋友平均分別有 2.5 位和 3 位朋友。 只有錢德勒的朋友圈相對不受歡迎，平均朋友數約為 1.67 位。 這個群體中的大多數人都不如他們的朋友受歡迎。 量化這種情況的另一種方法是檢視一個人的朋友在這個網路中擁有的平均朋友數量，大約為 (2.5 + 2.5 + 3 + 1.67)/4 = 2.42。 這個數字大於普通人的朋友數（兩位）。

令人驚訝的是，這種情況總是會發生在每個網路中（除非每個人都擁有相同數量的朋友，在這種情況下，數量將相等）。 平均而言，人們的合著者擁有的合著者比他們自己多，並且他們的性伴侶擁有的性伴侶比他們自己多。 儘管這種網路動態有時被稱為友誼悖論，但它們屬於一種更普遍的現象，稱為檢驗悖論。

檢驗悖論根本不是悖論，因為兩種觀點可以同時有效。 當個人認為平均值大於全域性視角所暗示的平均值時，表面上的矛盾就會出現，因為他們更有可能遇到大型例項。 在我們假設的網路中，莫妮卡的朋友比她更受歡迎，而且她也擁有普通數量的朋友。

感到困惑？ 這裡有另一個例子。 詢問大學生他們的平均班級規模是多少，答案總是比學校管理部門官方報告的平均班級規模要大。 這些學生是在誇大其詞嗎？ 學校管理部門是否在縮減數字以使其師生比例看起來更理想？ 不——兩種觀點都是正確的。 大型講座課程的學生自然會報告更大的班級規模平均值，而只參加小型研討會的學生會報告更小的班級規模平均值，但兩者都給出了準確的報告。 前者群體的人數遠多於後者，因為講座廳容納的人數多於小型研討會。 調查學生時，高註冊人數的課程被計算的次數多於低註冊人數的課程，而當大學統計平均班級規模時，大型講座和小型研討會都只計算一次。

平均而言，人們的朋友比他們擁有的朋友多，他們的性伴侶比他們擁有的性伴侶多。

檢驗悖論在一些最平凡的地方也發揮著作用。 假設一個交通管理局承諾其地鐵列車平均每八分鐘透過一個車站。 如果您在列車之間隨機到達車站（忽略高峰時段），那麼有時您會坐七分五十秒，有時您會在剛穿過旋轉門時聽到迎面而來的鳴笛聲。 您可能期望這些情況會隨著時間的推移平均為大約四分鐘的等待時間。

那麼為什麼總是感覺比這更長呢？ 當然，列車平均每八分鐘到達並不意味著每隔八分鐘準時到達。 時刻表通常是錯開的。 但為什麼你的壞運氣總是讓你陷入漫長的間隔中呢？ 這不是壞運氣； 這只是機率。 您更有可能在長時間間隔內到達，僅僅是因為它們更長。

下面的示例時間軸描述了列車之間的六個間隔——其中一半持續 12 分鐘，另一半持續 4 分鐘。 交通管理局可以宣傳列車之間的平均間隔為八分鐘，但個體通勤者在長時間間隔內出現的可能性是其三倍，並會經歷令人沮喪的等待。

科學家需要對檢驗悖論及其可能引起的偏差保持警惕。 例如，要進行一項關於大學平均班級規模的研究，必須明確說明要測量的內容，並相應地調整抽樣方法。

但一些聰明的研究人員也利用這種現象來改進他們的隨機抽樣。 一個特別有趣的例子來自一項關於流感傳播的研究。 在爆發期間，社交聯絡良好的人由於其高社交接觸而往往更早感染疾病。 為了快速檢測疫情，流行病學家可以優先監測這些人，如果他們事先知道這些人是誰的話。 檢查人群中隨機成員的流感狀況的樸素方法沒有優先考慮社交聯絡良好的人，而繪製社交網路的結構將花費太多時間。 相反，研究人員嘗試隨機挑選人員並監測他們的朋友。 這種輕微的調整大大提高了社交聯絡良好的人出現在樣本中的機會，正如我們所見，人們的朋友往往比他們更受歡迎。 這種技術使研究人員能夠比傳統的隨機抽樣提前兩週檢測到流感爆發。

即使對於我們這些不從事研究工作的人來說，檢驗悖論也可以幫助解釋我們的日常觀察。 為什麼呼叫中心總是顯得呼叫量高於正常水平？ 也許他們只是那樣說來為人員不足找藉口，或者也許我們都傾向於在同一時間打電話，例如在午休時間。 但也許我們更有可能屬於更大的同步呼叫者群體，正是因為它更大。 如果航空公司抱怨買票的人不夠多，他們被迫飛行幾乎空無一人的飛機，為什麼你如此難得地享受無人爭搶的扶手的奢侈？ 因為總的來說，很少有人這樣做。 有時，當您感到運氣不佳時，更廣闊的視角確實可以提供幫助。 至少在你等待下一班火車時，這可以讓你思考。