改編自《不可能原理：為什麼巧合、奇蹟和罕見事件每天都在發生》，作者：David J. Hand，經與 大眾科學/Farrar, Straus and Giroux, LLC (北美), Transworld (英國), Ambo|Anthos (荷蘭), C.H. Beck (德國), Companhia das Letras (巴西), Grupa Wydawnicza Foksal (波蘭), Locus Publishing Co. (臺灣), AST (俄羅斯) 安排出版。版權 © 2014 David J. Hand。
我稱之為不可能原理的一套數學定律告訴我們，我們不應該對巧合感到驚訝。事實上，我們應該期望巧合發生。該原理的關鍵要素之一是大數定律。這條定律指出，給定足夠的機會，我們應該期望一個特定的事件發生，無論它在每次機會中多麼不可能發生。然而，有時，當機會真的很多時，看起來好像只有相對較少的機會。這種誤解導致我們嚴重低估事件的機率：我們認為某件事極其不可能發生，但實際上它非常可能發生，甚至幾乎是必然的。
在人們沒有意識到存在大量機會的情況下，大量機會是如何發生的？組合定律，不可能原理的相關要素，指明瞭方向。它指出：相互作用的元素的組合數量隨元素數量呈指數增長。“生日悖論”就是一個眾所周知的例子。
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生日悖論提出了以下問題：一個房間裡必須有多少人才能使其中兩人擁有相同生日的可能性大於不可能？
答案是僅僅 23 人。如果房間裡有 23 人或更多人，那麼很可能其中兩人將擁有相同的生日。
現在，如果您以前沒有遇到過生日悖論，這可能會讓您感到驚訝。二十三可能聽起來太小了。也許您是這樣推理的：任何其他特定的人與我生日相同的機率只有 365 分之一。因此，任何特定的人與我生日不同的機率是 364/365。如果房間裡有 n 個人，其他 n − 1 個人每個人與我生日不同的機率為 364/365，那麼所有 n − 1 個人與我生日不同的機率為 364/365 × 364/365 × 364/365 × 364/365 … × 364/365，其中 364/365 相乘 n − 1 次。如果 n 是 23，則結果為 0.94。
因為這是他們中沒有人與我生日相同的機率，所以至少其中一人與我生日相同的機率僅僅是 1 − 0.94。（這可以透過推理得出，要麼有人與我生日相同，要麼沒有人與我生日相同，因此這兩個事件的機率之和必須為 1。）現在，1 − 0.94 = 0.06。這非常小。
然而，這是要考慮的錯誤計算，因為該機率——有人與您生日相同的機率——不是問題所問的內容。問題詢問的是，同一個房間裡的任何兩個人彼此生日相同的機率。這包括其他人之一與您生日相同的機率，這是我上面計算的，但也包括其他兩個人或更多人擁有相同的生日，但與您的生日不同的機率。
這就是組合發揮作用的地方。雖然可能與您生日相同的人只有 n − 1 人，但房間裡總共有 n × (n − 1)/2 對人。當 n 變大時，這個人數對的數量迅速增長。當 n 等於 23 時，它是 253，比 n − 1 = 22 大 10 倍以上。也就是說，如果房間裡有 23 人，則可能有 253 對人，但只有 22 對人包括您。
因此，讓我們看一下房間裡的 23 個人中沒有人擁有相同生日的機率。對於兩個人，第二個人與第一個人沒有相同生日的機率是 364/365。然後，這兩個人不同並且第三個人與他們中的任何一個都沒有相同生日的機率是 364/365 × 363/365。同樣，這三個人擁有不同生日並且第四個人與前三個人中的任何一個都沒有相同生日的機率是 364/365 × 363/365 × 362/365。像這樣繼續下去，23 個人中沒有人擁有相同生日的機率是 364/365 × 363/365 × 362/365 × 361/365 … × 343/365。
這等於 0.49。因為 23 個人中沒有人擁有相同生日的機率是 0.49，所以他們中的一些人擁有相同生日的機率僅僅是 1 − 0.49，即 0.51，這大於一半。
彩票中獎
為了說明一個看似不可能的事件實際上相當可能的另一個例子，讓我們看看彩票。在 2009 年 9 月 6 日，保加利亞彩票隨機選擇了 4、15、23、24、35、42 作為中獎號碼。這些號碼沒有什麼令人驚訝的。組成這些號碼的數字都是低值——1、2、3、4 或 5——但這並非不尋常。此外，還有一個連續的數值對，23 和 24，儘管這種情況發生的頻率遠高於通常的認識（例如，如果您要求人們從 1 到 49 中隨機選擇六個數字，他們選擇連續對的頻率低於純粹的偶然性）。
令人驚訝的是四天後發生的事情：9 月 10 日，保加利亞彩票隨機選擇了 4、15、23、24、35、42 作為中獎號碼——與前一週的號碼完全相同。該事件在當時引起了一場媒體風暴。“這是彩票 52 年曆史上首次發生。我們對看到如此罕見的巧合感到非常震驚，但這確實發生了，”路透社 9 月 18 日的一篇文章援引一位女發言人的話說。保加利亞當時的體育部長斯維倫·內科夫下令進行調查。是否有可能發生了大規模欺詐？之前的號碼是否被以某種方式複製了？
事實上，這個相當驚人的巧合只是不可能原理的另一個例子，以大數定律的形式，並透過組合定律放大。首先，世界各地進行了許多彩票。其次，它們年復一年地一次又一次發生。這迅速累積了大量彩票號碼重複的機會。第三，組合定律開始生效：每次開出彩票結果時，它都可能包含與任何先前開獎中產生的號碼相同的號碼。一般來說，與生日情況一樣，如果您執行彩票 n 次，則可能有 n × (n − 1)/2 對彩票開獎具有匹配的字串號碼。
2009 年號碼重複的保加利亞彩票是六選 49 的彩票，因此任何特定六個號碼組合出現的機率是 13,983,816 分之一。這意味著任何兩個特定開獎匹配的機率是 13,983,816 分之一。但是，在三次開獎中某些兩次開獎匹配的機率是多少？或者在 50 次開獎中某些兩次開獎匹配的機率是多少？
三次開獎中可能有三對，但在 50 次開獎中可能有 1,225 對。組合定律正在發揮作用。如果我們進一步考慮，在 1,000 次開獎中，可能有 499,500 對。換句話說，如果我們將開獎次數乘以 20，從 50 次增加到 1,000 次，則對對數的影響要大得多，將其乘以近 408 倍，並從 1,225 對增加到 499,500 對。我們正在進入真正大數的領域。
需要多少次開獎才能使兩次開出相同六個號碼的機率大於二分之一——從而使該事件更有可能發生？使用我們在生日問題中使用的相同方法，得出的答案是 4,404。
如果每週進行兩次開獎，一年進行 104 次，則此開獎次數將花費不到 43 年。這意味著在 43 年後，彩票機開出的一些六個號碼組合很有可能完全匹配。這給保加利亞女發言人關於這是一個罕見巧合的評論賦予了相當不同的含義！
而這僅僅適用於一個彩票。當我們考慮到世界各地彩票的數量時，我們就會明白，如果開獎結果偶爾不重複，那才令人驚訝。因此，您不會驚訝地得知，在以色列的 Mifal HaPayis 國家彩票中，2010 年 10 月 16 日開出的號碼——13、14、26、32、33、36——與幾周前的 9 月 21 日開出的號碼完全相同。您不會驚訝地得知這一點，但大批民眾湧入以色列的談話電臺節目，抱怨彩票被操縱了。
保加利亞彩票結果不同尋常之處在於重複的號碼組合出現在連續的開獎中。但是，大數定律，加上世界各地定期開出號碼的彩票數量眾多這一事實，意味著我們不應過於驚訝——因此，我們不應驚訝地聽到這種情況以前發生過。例如，北卡羅來納州 Cash 5 彩票在 2007 年 7 月 9 日和 11 日開出了相同的中獎號碼。
組合定律可能產生彩票匹配的另一種相當令人沮喪的方式由 1980 年莫琳·威爾科克斯的遭遇來說明。她購買了馬薩諸塞州彩票和羅德島彩票的中獎號碼的彩票。然而，對她來說不幸的是，她為馬薩諸塞州彩票購買的彩票持有羅德島彩票的中獎號碼，反之亦然。如果您購買 10 張彩票的彩票，您有 10 次中獎機會。但 10 張彩票意味著 45 對彩票，因此 10 張彩票中的一張與 10 次彩票開獎中的一次匹配的機會是您中獎機會的四倍多。由於顯而易見的原因，這不是獲得鉅額財富的秘訣，因為將一張彩票與另一張彩票的開獎結果匹配並不能讓您贏得任何東西——除了懷疑宇宙在嘲笑您。
當有許多相互作用的人或物體時，組合定律適用。例如，假設我們有一個 30 名學生的班級。他們可以透過各種方式互動。他們可以作為個人工作：他們有 30 個人；他們可以兩人一組工作——有 435 種不同的兩人組合；他們可以三人一組工作——有 4,060 種可能不同的三人組合；等等，一直到，當然，他們所有人一起工作——有一組所有 30 名學生一起工作。
總共有 1,073,741,823 種可能形成的不同學生組。超過十億，全部來自 30 名學生。一般來說，如果一個集合有 n 個元素，則可以形成 2n − 1 個可能的子集。如果 n = 100，則結果為 2100 − 1，大約等於 1030，對於任何人來說都是一個真正龐大的數字。
但是，如果即使 1030 對您來說還不夠大，請考慮全球資訊網的含義，它擁有大約 25 億使用者，他們中的任何一個都可以與任何其他人互動。這產生了 3 × 1018 對，以及 10750,000,000 個可能的互動成員組。如果給事件那麼多發生的機會，即使機率非常小的事件也幾乎變得肯定。
下次您遇到看似奇怪的巧合時，請想想不可能原理。
*編者注（2/10/14）：本文已重新發布。最初的釋出由於技術錯誤導致上標格式丟失，因此包含不正確的資訊。