2017年11月16日

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大都會藝術博物館的數學

在這座博物館兩百萬件藝術品中，隱藏著無數的數學奇觀

The Metropolitan Museum of Art in New York City — 紐約市大都會藝術博物館。

Getty Images

紐約市的大都會藝術博物館——世界聞名，以下簡稱“大都會”——是美國最大的藝術博物館，也是世界十大博物館之一。它成立於1870年，收藏了兩百萬件藝術品，從古代到今天，來自世界各地。

我們在此提出一次大都會隱藏數學的導覽。大都會的藏品包括具有令人驚訝的數學內容的藝術作品。這些作品跨越全球，人類歷史以及大都會的各個策展部門。它們包括數字，形狀，透視，天文學，時間以及遊戲。（在仍在計劃中的第二次導覽中，我們希望向您展示圖案，對稱性和各種數學活動。）

我們的導覽靈感來自已故的大衛·米寧伯格博士，他的精彩導覽“大都會的醫學”揭示了古埃及，拜占庭，古代近東和海洋洲的罐子，碗和其他文物（在大都會展出以展示其藝術價值）的醫學用途。我們將這篇文章獻給他的記憶，感謝他的鼓勵。

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注意：我們按主題組織了這次導覽，而不是按策展部門或畫廊或任何其他方案，以方便您的腳步。如果您透過閱讀（印刷版或線上版）來參加這次導覽，那麼您就準備就緒了。如果您親自參加導覽，則需要規劃路線。如需幫助，請參閱我們的“如果您去”和“在哪裡找到它”註釋（在這些頁面中）。

數字

儘管這是一次關於隱藏數學的導覽，但讓我們從一個3英尺高的例外開始。在現當代藝術展廳中，繪畫作品“我看見了金色的5字”從牆上跳出來；或者，更確切地說，是從您身邊沖走（圖1）。

**圖1.** “我看見了金色的5字”，查爾斯·德穆斯（美國，1883–1935），1928年。阿爾弗雷德·斯蒂格利茨收藏，1949年。藏品編號49.59.1。http://www.metmuseum.org/。

這幅畫是對藝術家的朋友，詩人威廉·卡洛斯·威廉姆斯（尋找“比爾”，“卡洛斯”和詩人的姓名首字母）以及威廉姆斯的詩歌“偉大的數字”的致敬

在雨中/和燈光中/我看見了金色的數字5/
在紅色/消防車上/移動/緊張/無人理睬/到鑼聲/警笛聲中/
和車輪在/黑暗的城市中隆隆作響。

接下來我們去素描和版畫展廳。在這裡——不太明顯——我們在神秘而引人入勝的雕刻作品“憂鬱症I”中找到了數字，這是阿爾布雷希特·丟勒（1471–1528）於1514年創作的作品（圖2）。2014年，數學家們熱烈慶祝了它的500週年。

**圖2.** 左：阿爾布雷希特·丟勒，《憂鬱症I》，1514年。雕刻。哈里斯·布里斯班·迪克基金，1943年。藏品編號43.106.1。http://www.metmuseum.org/。右：細節（魔方）。

實際上，“憂鬱症”是一場數學盛宴，包含一個球體，一個羅盤和一個神秘的多面體。仔細觀察鈴鐺下方：數字1，…，16的方格是一個魔方：每行，每列和每個對角線中的數字加起來都為34。儘管魔方可以追溯到大約2500年前，但丟勒的魔方被認為是第一位描繪魔方的歐洲藝術家。

思考“憂鬱症”，您將進入一個奇妙的算術謎題世界。最小的魔方是什麼（2x2？3x3？4x4？）每種（可能的）尺寸有多少個存在？是否存在最大尺寸？有魔方嗎？魔超立方體呢？

這個魔方中優雅的數字——很像我們今天使用的數字——是從古代印度的婆羅米數字演變而來的。在誘人的多用途零的增強下，它們在幾個世紀中緩慢地向西傳播，在中世紀時期到達義大利，並在那裡很快取代了當時使用的笨拙的羅馬數字。

但是，當時在西方使用的另一組符號並沒有如此迅速地被取代。相反，它一直被使用到文藝復興時期，與“新的”印度-阿拉伯數字共存，就像打字和文字處理共存直到觸控式螢幕出現一樣。

這些符號不是寫下來的；它們是透過彎曲手指關節做出的手勢。手勢計數者（adepts的稱呼）不是簡單地舉起一，二，三或更多手指來用兩隻手數數從一到十，而是可以用一隻手的手指顯示從一到一百的所有數字。用兩隻手，他們可以統計到9999。不僅可以統計：他們還可以計算。手勢計數者進行算術運算並計算復活節等節日的未來日期。該系統可能一直持續存在，因為它曾是貿易商的國際語言。中東駱駝商人可以與歐洲羊毛商人達成交易，而無需交換彼此聽不懂的語言，也無需動筆（兩者都難以獲得）。實際上，芝加哥期貨交易所的交易員從1870年到2015年2月使用了一種手勢計數形式（“公開喊價”）。

您可以在大都會藝術博物館的弗拉芒原始主義畫家阿德里安·伊森勃蘭特的“稱金人”（圖3）中看到手勢計數，該畫作位於歐洲繪畫1250–1800年展廳。大都會藝術博物館網站告訴我們，這幅16世紀早期的畫作是最早描繪專業活動的肖像畫之一，儘管歷史學家不確定描繪的是哪個職業。稱金人可能處理商品，也可能是兌換商或銀行家。

他左邊的托盤上放著一個固定的砝碼；他在右側的托盤上堆放硬幣直到平衡。但是他如何跟蹤總數呢？不是用算盤，也不是用筆。但是請注意他右手交叉的手指。

**圖3.** 左：“稱金人”，阿德里安·伊森勃蘭特（尼德蘭），1515–1520年。弗裡德薩姆收藏，邁克爾·弗裡德薩姆遺贈，1931年。藏品編號32.100.36。http://www.metmuseum.org/。右：細節。

如果我們的解釋是正確的，他正在使用他的同時代人盧卡·帕喬利（圖4）記錄的手勢變體來統計執行總和。

**圖4.** 數字1到10,000的手指位置。來自盧卡·帕喬利，《
*算術，幾何，比例和比例概要*》，威尼斯，1494年。

在歐洲雕塑和裝飾藝術展廳中，我們再次發現了手勢計數，這次是在16世紀紐倫堡領先的金匠溫澤爾·賈姆尼策（圖5）設計的精美鏡框中。該鏡框複製了他1568年出版的書籍Perspectiva Corporum Regularium的扉頁。每個角落代表中世紀大學七種自由藝術之一；這四種，被稱為四藝，是（從右上角順時針方向）幾何，建築，透視繪畫和算術。仔細觀察左上角的“算術”：坐著的女性形象用左手做出數字36的手勢，用右手書寫印度-阿拉伯數字。

**圖5.** 左：安裝為鏡框的浮雕，溫澤爾·賈姆尼策，約1568年。鍍金銀，烏木，鏡板，高11英寸×寬9英寸。J.皮爾龐特·摩根贈送，1917年。藏品編號17.190.620。http://www.metmuseum.org/。右：左上角細節（來自*Perspectiva Corporum Regularium*）。“算術”用左手做出數字36的手勢計數符號，用右手書寫印度-阿拉伯數字。

接下來，在亞洲藝術展廳，我們在一個奇特的赤陶瓦片前停下來（圖6）。這塊瓦片在5至6世紀在克什米爾燒製，曾被放置在室外庭院中。浮雕中奇特的消瘦人形吸引了藝術史學家的興趣，但這裡我們感興趣的是刻劃的標記（這些標記顯然與人形無關；大都會藝術博物館的網站表明它們可能指示瓦片在庭院中放置的位置。）

這塊瓦片上的標記是數字，但不是我們容易識別的數字（除了|||代表3）。這些也不是當今印度-阿拉伯數字的婆羅米前身。這些數字是用古代佉盧文書寫的，與婆羅米文同時代。手杖狀符號是十；十字表示四。從公元前5世紀到公元3世紀，北印度和鄰近地區（以及絲綢之路）的書吏和商人使用了佉盧文數字（圖7）。

**圖6.** 左：赤陶“帶有消瘦苦行者和陽臺後夫婦壓印人物的瓦片”，5至6世紀，印度（古代克什米爾王國，哈萬）。購買，庫爾特·柏林納禮物，1998年。藏品編號1998.122；http://www.metmuseum.org/。右：佉盧文數字。來自K.門寧格，《*數字詞和數字符號*》。

我們還在埃及藝術展廳中發現了隱藏的數字，例如在一條精緻的項鍊和胸飾中，這些項鍊和胸飾由黃金，紅玉髓，青金石，綠松石，石榴石（胸飾）和長石製成，以紀念第十二王朝法老塞努塞爾特二世（圖7）。

**圖7.** 左：西塔索尤內特的胸飾和項鍊，帶有塞努塞爾特二世的名字，中王國時期王朝，約公元前1887–1878年。購買，羅傑斯基金和亨利·沃爾特斯禮物，1916年。右：胸飾。藏品編號16.1.3；http://www.metmuseum.org/。

大都會藝術博物館物件形文字銘文的翻譯是：“太陽神賦予卡克佩雷國王（塞努塞爾特二世）生命和統治太陽環繞的一切事物一百零一萬年（即，永恆）。”

實際上，當時用來表示一百萬和十萬的埃及數字佔據了中心位置：坐著的人是百萬的符號，而十萬（蝌蚪）則從他的手臂上垂下來（圖7）。

遊戲

仍在埃及展廳中，我們找到了（圖8）來自中埃及，來自奧克西林庫斯（El-Bahnasa）的骰子上的點數表示的數字，其年代可追溯到羅馬時期，即公元前30年至公元330年（奧克西林庫斯以在那裡發現歐幾里得《幾何原本》最古老版本的殘片而聞名於數學家，包括圖表，年代可追溯到公元100年左右，以及上個世紀左右從該遺址發掘出的大量天文和占星術紙莎草紙，包括文字，表格，星曆錶，年曆和占星圖（瓊斯1999年））。

**圖8.** 來自奧克西林庫斯的骰子，由象牙製成，尺寸約為每邊1釐米（英寸）。埃及勘探基金贈送，1897年。藏品編號97.4.117。http://www.metmuseum.org/。

這些骰子看起來非常像我們今天使用的骰子。並非所有古代骰子都如此。其他多面體，例如二十面體（二十個等邊三角形面，五個一組），也被用作機會遊戲的骰子。在大都會藝術博物館的希臘和羅馬藝術展廳中，有幾個此類羅馬二十面體的例子（圖9）。

**圖9.** 刻有希臘字母的二十面體，羅馬，帝國中期，2至3世紀。http://www.metmuseum.org/。左：葉蠟石，弗萊徹基金，1927年。藏品編號27.122.5。右：彩陶，弗萊徹基金，1937年。藏品編號37.11.3。

大都會藝術博物館認為，這些二十面體與神諭有關。但是，由於古希臘人使用其字母表中的字母作為數字，因此它們也可能被用作遊戲中的骰子。

綿羊和山羊的踝關節骨，或其模製模型（圖10），也被用作某些遊戲中的骰子（踝關節骨也用於類似於抓石子的遊戲中）。當它們被投擲時落在哪一側決定了它們的“價值”。

**圖10.** 八個踝骨（astragali）（希臘語為knucklebones），來自希臘希臘化時期，由鑄造玻璃製成，兩部分模具，平均高度約為1.5釐米。喬納森·P·羅森夫婦贈送，1992年。藏品編號1992.266.3–.10。http://www.metmuseum.org/。

擲骰子游戲在古埃及是一種流行的消遣方式。其中一些遊戲在Met的收藏品中的棋盤遊戲中有所體現。這個流行的棋盤遊戲“獵犬與豺狼遊戲”的例子（圖11，左）由烏木和象牙製成。其年代可追溯到公元前1814–1805年。該遊戲使用五個帶有獵犬和豺狼頭的棋子進行。棋盤本身（圖11，右）包含58個孔（在棋盤中心刻有一棵棕櫚樹的兩側各有29個孔），中心是申環符號（永恆或無限的符號；也可以理解為太陽在天空中的執行軌跡）。

**圖11.** 左：“獵犬與豺狼遊戲”，中王國時期，第十二王朝，阿蒙涅姆赫特四世統治時期，來自底比斯，由烏木和象牙製成，近似尺寸（高×寬×長）帶棋子：14 × 10.1 × 15.6 釐米。愛德華·S·哈克尼斯贈送，1926年。藏品編號26.7.1287a–k。http://www.metmuseum.org/。目前在111號展廳展出。右：遊戲棋盤的圖解（來自卡特和卡納封）。

根據霍華德·卡特和卡納封伯爵的說法，他們在1910年在上埃及底比斯發掘了這個棋盤，他們認為這個遊戲很可能是透過擲骰子或踝骨的投擲來決定獵犬和豺狼的移動（卡特和卡納封1912年）。“假設‘申’符號……是目標，我們在每一側都找到了二十九個孔，或者包括目標，每側三十個孔。在這些孔中，每一側都有兩個標記為nefer，‘好’；另外四個孔用曲線連線在一起（見圖14）。假設標記為‘好’的孔會帶來收益，那麼用線條連線的其他孔似乎會帶來損失。假設這是理所當然的，並且遊戲在目標‘申’處結束，那麼遊戲似乎從棕櫚樹的中心開始——這是唯一一個可以放置每側五個棋子而不會與障礙物（即，帶來收益或損失的孔）發生衝突的地方。……現在，移動本身很容易用擲踝骨或骰子的機會投擲來表示，兩者在早期都為古埃及人所知；如果是這樣，那麼我們面前就有一個簡單但令人興奮的，機會遊戲”（卡特和卡納封1912年）。

大都會藝術博物館的另一個棋盤遊戲（圖12），也來自底比斯，年代稍晚，可追溯到公元前1635–1450年，包括遊戲棋子和踝骨，據推測是在遊戲過程中使用的。

**圖12.** 左：雙面遊戲盒，帶有遊戲棋子和一對踝骨。底比斯，埃及。約公元前1635–1458年。紐約大都會藝術博物館，羅傑斯基金，1916年。藏品編號16.10.475a。http://www.metmuseum.org/。右：建議二十格遊戲玩法方向的圖解（芬克爾2007年）。

被稱為“二十格遊戲”或“烏爾王室遊戲”（因為在古代蘇美爾遺址中發掘出了許多遊戲的例子），遊戲開始於（芬克爾2007年）兩名玩家將棋子移向中心通道，如圖12（右）所示。每四個方格都標有一個玫瑰花結或其他幾何符號。哈佛大學閃米特博物館網站上的影片，包括一個適合兒童的簡化版本，解釋了玩家將如何根據踝骨或踝關節的投擲來移動他們的遊戲棋子。

大都會藝術博物館的藏品中也包括紙牌遊戲。這些遊戲中最著名的畫作之一是保羅·塞尚的“玩紙牌者”（Les Quatres joueurs de cartes），位於19世紀和20世紀早期歐洲繪畫和雕塑展廳。“玩紙牌者”是塞尚獻給農民玩紙牌的五幅系列畫作之一。他的模特是普羅旺斯雅斯德布凡家族鄉村住宅的當地農場工人（圖13）。請注意，中心紙牌玩家的腿形成了羅馬數字V。藝術史學家瑪麗·路易絲·克魯姆林（克魯姆林1997年）說，這不是偶然的：這五幅系列畫作中的每幅都以某種形式包含數字五。

**圖13.** “玩紙牌者”（Les Quatres Joueurs de Cartes），保羅·塞尚，布面油畫，約1890–1892年。斯蒂芬·C·克拉克遺贈（1960年）。藏品編號：61.101.1。http://www.metmuseum.org/。

大都會藝術博物館還收藏了實際的紙牌，它們本身就是藝術品。其中一副紙牌不時在位於特里恩堡公園（曼哈頓北部）的大都會藝術博物館歐洲中世紀藝術分館修道院博物館展出。這副五十二張荷蘭撲克牌（圖14）是已知的唯一一套完整的15世紀撲克牌。這裡的四種花色不是熟悉的方塊，黑桃，梅花和紅心，而是用熟悉的狩獵物品表示：狗項圈，獵犬皮帶，捕獵套索和獵號。

**圖14.** 撲克牌，手工製作，紙板，筆，墨水，蛋彩，應用金銀，每張約13.7 × 7 釐米。藏品編號1983.515.1–2。http://www.metmuseum.org/。

維度

繼續我們對隱藏數學的探索，我們回到現當代藝術展廳，參觀約瑟夫·阿爾伯斯的“向正方形致敬：光線”。這是阿爾伯斯於1950年開始創作的名為“向正方形致敬”系列作品之一。大都會藝術博物館網站告訴我們，該系列作品發展成為“在二十五年多的時間裡創作的一千多件作品，包括繪畫，素描，版畫和掛毯。” 大多數作品描繪了“幾個正方形，它們看起來是重疊的或彼此巢狀的”。對於藝術家阿爾伯斯而言，該系列作品與其說是關於正方形，不如說是關於顏色，以及當我們將其與其他顏色並置時它們如何變化。

**圖15.** 向正方形致敬：光線。約瑟夫·阿爾伯斯，1959年。梅森耐特板油畫，48 × 48 英寸，亞瑟·霍波克·赫恩基金，1959年。藏品編號59.160。©2015 The Josef and Anni Albers Foundation/Artists Rights Society (ARS), New York。

但是這裡隱藏的數學意義遠不止肉眼所見。“向正方形致敬”系列的非凡色彩效果在網際網路上被無休止地討論，但阿爾伯斯“數學確定的格式”的重疊正方形卻沒有。“紐約時報”與此相反，阿爾伯斯的正方形不是同心的。您能否找到對圖15中四個正方形之間關係的數學精確描述？您對大都會藝術博物館網站上該系列的其他作品有何看法？

移至攝影展廳，並增加一個維度，考慮一下愛德華·史泰欽（1879–1973）拍攝的“方糖”照片。在這張照片（圖16）中，我們看到了一系列近乎矩形的普通方糖。吸引我們注意力的不是方糖本身；而是它們的陰影。史泰欽將他的燈放置在哪裡以產生這種格子效果？用您附近的雜貨店的方糖和普通手電筒進行實驗，測試您的答案。

**圖16.** 方糖：史泰利絲綢公司設計，愛德華·J·史泰欽，1920年代，明膠銀鹽照片，9 15/16 × 8 英寸。福特汽車公司收藏，福特汽車公司和約翰·C·瓦德爾贈送，1987年。藏品編號1987.1100.217。©2015 The Estate of Edward Steichen/Artists Rights Society (ARS), New York。

方糖及其陰影可能會讓您想起“展開”成正方形平面“網格”的立方體（圖17）。

**圖17.** 左側的六個正方形網格摺疊起來形成一個立方體；相反，透過切割適當的邊緣，您可以將立方體展開成網格。（用幾何畫板繪製。）

再次檢視“憂鬱症”中的多面體（圖2）。您可以為其繪製平面網格嗎？類似於此處所示的正方形網格？您的網格是唯一的嗎？還是可以用另一種方式製作？您可以為其製作多少種不同的網格——可以將這個多面體切割和“展開”多少種方式？每個多面體都可以展開成平放且不重疊自身的網格嗎？這個問題，其應用範圍從生物學到工業設計，是我們時代一個重要的未解決的幾何問題。

再次向上移動一個維度，這次是從三維到四維。圖18中形成十字形的八個大立方體是四維立方體的三維網格！（是的，藝術家薩爾瓦多·達利知道這一點；因此標題中使用了“超立方體”）。如果您可以將其摺疊起來，那麼這個網格在四維空間中會是什麼樣子？

**圖18.** 釘十字架（超立方體），薩爾瓦多·達利，1954年。布面油畫，76½ × 48¾ 英寸。切斯特·戴爾收藏贈送，1955年。藏品編號55.5。目前在913號展廳展出。©2015 Salvador Dalí, Fundació Gala-Salvador Dalí/Artists Rights Society (ARS), New York。

空間與時間

您會在大都會藝術博物館的藝術品中找到計時裝置（例如，圖2中牆上的沙漏）。大都會藝術博物館還收藏了豐富的天文儀器和計時裝置。

在阿拉伯土地藝術展廳中，我們發現了精美製作的星盤。這些用於定位和預測太陽，月亮，行星和恆星位置的古代裝置是“中世紀的計算尺”。（您可以在網際網路上了解原因；例如，在HowStuffWorks.com上搜索星盤。）

**圖19.** 左：‘烏馬爾·伊本·優素福王子的星盤。葉門，公元1291年。愛德華·C·摩爾收藏。愛德華·C·摩爾遺贈，1891年。藏品編號91.1.535a–h。右：穆罕默德·扎曼的平面星盤，伊朗，馬什哈德，公元1654–1655年。藏品編號63.166a–j。http://www.metmuseum.org/。

圖19（左）所示的‘烏馬爾·伊本·優素福·伊本·‘烏馬爾·伊本·‘阿里·伊本·拉蘇爾·穆扎法裡的星盤，年代可追溯到公元1291年。它是在葉門用鑄青銅製造的，然後經過錘擊，穿孔，鏨刻，並最終鑲嵌銀，製成了一個直徑略大於六英寸的精美儀器。優素福王子‘烏馬爾·伊本·優素福出身高貴，在登上王位之前，接受過精心教育，精通數學和天文學，甚至撰寫了關於星盤構造的論文。大都會藝術博物館的另一個星盤（圖19，右），由穆罕默德·扎曼·穆納吉姆·阿斯特拉拉比於近400年後在伊朗馬什哈德製造，由鑄造和錘擊黃銅和鋼製成，直徑小於7英寸。這些星盤都不夠大，無法進行精確的天文觀測，但它們足夠精確，可以報時，並且可以用於確定行星的位置以用於占星術目的。

回到歐洲裝飾藝術展廳，我們發現了一個不尋常的行動式日晷，它也可以用來校準日晷（圖20）。該物品由黃銅和銀製成，大約在1690年至1708年之間製造。法文銘文“Cost appliqu au mur pur avoir la declinaison des plans”表明其可用於確定行星的赤緯。除了標記時間或確定經度外，該裝置還包括一個用於精確定位的凹陷式指南針。

**圖20.** 行動式日晷和校準日晷儀器的組合。黃銅和銀。左：從上往下看。右：水平觀看，磁羅盤在左後方；右側是日晷針，它會在給定的緯度投下陰影以指示時間。斯蒂芬·D·塔克夫人贈送，1903年。藏品編號03.21.17。http://www.metmuseum.org/。

隨著時鐘變得越來越精確和普及，日晷實際上作為設定和調節時鐘的手段而變得越來越重要（錢德勒和文森特1967年）。“撥號”—或構建日晷的藝術—通常與羅盤製造商和鐘錶匠的工作息息相關。在圖20所示的日晷旁邊是一個帶有羅馬數字的微型日晷（藏品編號03.21.60）。

烏爾比諾工作室

您可能會認為，一次導覽肯定足夠了。但是，在離開大都會藝術博物館之前，請務必參觀費德里科三世·達·蒙特費爾特羅大公（1422–1482）的烏爾比諾工作室（小工作室），該工作室於1939年出售並重新安裝在大都會藝術博物館中。

大公不僅是一位成功的僱傭軍將軍和教皇旗手，還是一位人文主義者，他對藝術，文學，科學和數學表示讚賞。走進他的工作室，您將回到幾個世紀前（圖21）。柔和的光線從窗戶灑進房間，就像在清爽的秋日早晨一樣，小書房的牆壁上鑲嵌著精確切割的木片，這些木片組合在一起，給人以櫥櫃和書架上擺滿了令人歎為觀止的物品的錯覺。

**圖21.** 費德里科三世·達·蒙特費爾特羅大公的烏爾比諾工作室（小工作室）。由錫耶納大師弗朗切斯科·迪·喬治·馬蒂尼（1439–1501）設計；約1478–1482年在佛羅倫薩朱利亞諾·達·麥亞諾（1432–1490）和貝內德託·達·麥亞諾（1442–1497）的工作室執行。胡桃木，山毛櫸木，紅木，橡木和其他果木；透過羅傑斯基金購買，1939年。藏品編號39.153。http://www.metmuseum.org/。

烏爾比諾工作室是數學透視實現壯觀三維效果的精心設計示例。最早專門討論該主題的技術論文之一，De prospectiva pingendi（關於繪畫透視，約1475年），是由最早的透視技術大師之一皮耶羅·德拉·弗朗切斯卡（約1415–1492）撰寫的。皮耶羅是蒙特費爾特羅贊助的受益者之一，他將De prospectiva pingendi獻給了公爵。另一位獲得蒙特費爾特羅贊助的數學家是弗拉·盧卡·帕喬利（1447–1517），我們在圖3中看到了他著名的算術，幾何，比例和比例概要的一頁。這本書也獻給了圭多巴爾多·達·蒙特費爾特羅。

在您參觀烏爾比諾工作室時（無論是否帶孩子），看看您能在房間的許多面板中找到多少與數學相關的物品。有些是顯而易見的，例如渾天儀和象限儀，建築師的鉛錘和木匠的直角尺，羅盤和分規。另一些則不太明顯，例如用於測量時間的沙漏，以及反映公爵對音樂數學（作為自由藝術之一）的興趣的樂器。帶有九根弦，琴碼和絃軸箱的西特琴“讓人聯想到音樂和諧比例理論。在15世紀，音樂和諧的概念以及線性透視和建築比例的原理開始被視為同一數學真理的表達”（拉吉奧1999年）。在烏爾比諾鑲板中描繪的最大的樂器是可移動管風琴，就在門右邊，管風琴管的不同長度清楚地提醒人們，樂器的測量比例與演奏時產生的音樂和諧之間的聯絡。

還要注意圖22中“桌子”上的棋盤格圖案圓環！儘管具有數學意義，但這並不是數學儀器。它是文藝復興時期的馬佐基奧，一種在15世紀後期在佛羅倫薩特別流行的帽子。

皮耶羅發現馬佐基奧特別適合透視繪畫的教學練習。使用數學透視法正確渲染馬佐基奧是他De perspective pingendi中的一個著名練習，在第3卷中，他用它來解釋按比例縮短柱基和柱頭的數學方法，從而可以根據透視原理來實現它們（拉吉奧1999年）。在烏爾比諾工作室中，馬佐基奧的表示既是對設計師數學技能的考驗，又是工匠欺騙眼睛和迷惑頭腦的標誌。

在離開烏爾比諾工作室之前，請最後看一眼，想象一下蒙特費爾特羅公爵在這裡，在沉默中，也許在思考皮耶羅寫給他並獻給他的數學手稿之一。兩種樂器引起了一個奇怪的問題：為什麼琵琶和豎琴的一些琴絃斷了？不是因為缺乏關注或維護；請注意，豎琴下方是一個精細製作的調音機構，以使其保持完美的數學音調。公爵會意識到在整個烏爾比諾工作室中代表的數學與音樂之間的物理和哲學聯絡，這是柏拉圖在《斐多篇》中強調的聯絡，其中敘述了蘇格拉底生命的最後時刻，其中七絃琴的琴絃代表和諧，無形的，非物質的，神聖的。但是七絃琴是一個物理物件，因此琴絃也是物質的，可見的，屬於這個世界的。有人建議，斷裂的琵琶琴絃可能是對公爵及其妻子去世的物理參照，烏爾比諾工作室本身直到公爵去世後不久才完成。無論如何，人們都不能離開烏爾比諾工作室，而不會感受到公爵本人一定在這裡感受到的數學的和平與和諧。

引用作品和網站

卡特和卡納封1912年。霍華德·卡特和卡納封伯爵。在底比斯的五年探索，1907–1911年完成的工作記錄。倫敦：牛津大學出版社，1912年。
Finkel 2007. Irving Finkel. 透視古代棋盤遊戲 (Ancient Board Games in Perspective). London: British Museum Press, 2007.
Jamnitzer 1568. Wenzel Jamnitzer, 透視正多面體 (Perspectiva Corporum Regularium). Facsimile reproduction by Akademische Druck u. Verlagsanstalt, Graz, 1973.
Krumrinie 1997. Mary Louise Krumrine. “塞尚的‘紙牌玩家’：生命的遊戲 (Les ‘Joueurs de cartes’ de Czanne: Un jeu de la vie),” 今日塞尚 (Czanne aujourd'hui). Paris, 1997.
Karl Menninger, 數字詞彙和數字符號：數字的文化史 (Number Words and Number Symbols: A Cultural History of Numbers), New York, NY: Dover Publications, 1992.
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參觀指南 (If You Go)

大都會藝術博物館的地址是 1000 Fifth Avenue (at 82nd Street), New York, NY 10028, USA（見圖 24）。博物館每週 7 天開放。請檢視大都會藝術博物館網站瞭解開放時間和其它資訊。

請仔細規劃您的路線；博物館非常大。您可以從網站下載大都會藝術博物館的地圖，也可以在博物館入口大廳的資訊臺領取一份。注意：本次參觀的最後一站，大公爵費德里科三世·達·蒙特費爾特羅的古比奧書齋，永久安裝在 501 號展廳，但仍然不容易找到。從第五大道進入博物館後，繼續直走，走到通往二樓歐洲肖像畫廊的宏偉樓梯的右側或左側。不要走樓梯，沿著兩側的一樓中世紀物品走廊一直走到西班牙庭院，然後右轉，通往中世紀盔甲大廳的主走廊將您帶到一個小門廳，進入門廳後立即右轉，即可找到通往書齋的門口。

本文摘自數學情報員，經許可轉載。最初發表於 2015 年 9 月。