你永遠無法證明每一個數學真理。對我來說，哥德爾發現的這個不完備性定理是數學中最令人難以置信的成果之一。這可能不會讓所有人感到驚訝——日常生活中存在各種各樣無法證明的事情——但對於數學家來說，這個想法是令人震驚的。畢竟，他們可以用一些基本的構建模組，即所謂的公理，來構建自己的世界。只有他們創造的規則才在那裡適用，所有的真理都由這些基本的構建模組和相應的規則組成。專家們長期以來一直認為，如果你找到了正確的框架，那麼你應該能夠以某種方式證明每一個真理。
但在1931年，哥德爾證明了並非如此。總會有一些真理無法被基本的數學框架所涵蓋，而且不可能被證明。這不僅僅是一個抽象的發現，對實際情況沒有影響。在哥德爾的開創性工作之後不久，第一批可證明的不可證明問題就出現了。例如，永遠不可能在當前使用的數學框架內弄清楚存在多少實數。而且，無法解決的問題並不侷限於數學。例如，在某些紙牌和電腦遊戲中（如萬智牌），可能會出現無法確定哪個玩家會獲勝的情況。在物理學中，也並非總是可以預測晶體系統是否會導電。
現在，包括倫敦大學學院的物理學家託比·庫位元在內的專家們，已經找到了不完備性定理在物理學中得到反映的另一種方式。他們描述了一個粒子系統，該系統經歷了一個相變——類似於水在零攝氏度以下凍結時發生的轉變。但是，與水不同，這個粒子系統發生相變的關鍵引數無法計算。物理學家在 arXiv.org 伺服器上個月釋出的一篇預印本論文中寫道：“我們的結果……說明了不可計算的數字如何在物理系統中顯現。”
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一個無法確定的相變
這不是專家們第一次遇到不可預測的相變。 早在2021年，庫位元和他的兩位同事就描述了另一個物理系統，其轉變是不可預測的。在那種情況下，可能存在無限多的相變。然而，這種情況在自然界中不會發生。因此，研究人員問自己，不可預測性是否會在現實系統中發生。
在這項新的工作中，庫位元和他的同事們研究了一個相當簡單的系統：一個有限的方形晶格，其中包含幾個粒子的排列，每個粒子都與其最近的鄰居相互作用。這種模型通常用於描述固體。這是因為它們的原子排列在一個規則的結構中，並且它們的電子可以與周圍原子的電子相互作用。在庫位元的模型中，電子之間相互作用的強度取決於引數 φ——φ 值越大，原子殼層中的粒子相互排斥得越厲害。
如果排斥力 φ 很小，則外層電子是可移動的：它們可以在原子核之間來回跳躍。φ 值越大，電子就越會被凍結在原位。這種不同的行為也反映在系統的能量中。你可以觀察基態（最低總能量）和次高能量態。如果 φ 值非常小，系統的總能量可以持續增長。因此，該系統可以毫無問題地導電。然而，對於較大的 φ 值，情況就不同了。對於這樣的值，能量只會逐漸增加。基態和第一激發態之間存在一個間隙。在這種情況下——取決於間隙的大小——系統將是半導體或絕緣體。
迄今為止，物理學家們已經建立了數千個類似的模型來描述各種固體和晶體。但是，由於庫位元和他的同事們提出的系統表現出兩種不同的行為，因此在導電相和絕緣相之間必須存在一個轉變。換句話說，存在一個 φ 值，高於該值，系統的能譜突然出現間隙。
一個不可計算的數字
庫位元和他的團隊已經確定了發生這個間隙時的 φ 值。它對應於所謂的蔡廷常數 Ω——對於數學愛好者來說，這個數字可能聽起來很熟悉，因為它是在少數已知的無法計算的數字之列。這些是無理數，它們的小數位永遠持續下去，並且永不規則重複。然而，與可計算的無理數（如 π 或 e）相反，不可計算的數字的值無法以任意精度逼近。沒有演算法，如果它無限期地執行，就能輸出 Ω。如果 Ω 無法計算，那麼也不可能指定庫位元和他的同事們研究的系統中何時會發生相變。
阿根廷裔美國數學家格雷戈裡·蔡廷精確地定義了 Ω，目的是找到一個不可計算的數字。為此，他使用了計算機科學中著名的停機問題：根據停機問題，不存在一種機器可以判斷，對於所有可能的演算法，計算機執行它們是否會在某個時候停止。如果你給計算機任何演算法，也許有可能判斷該演算法是否可以在有限的時間內執行。但有證據表明，沒有一種方法可以對所有可想象的程式程式碼做到這一點。因此，停機問題也是哥德爾不完備性定理的直接應用。
蔡廷常數 Ω 對應於計算機（圖靈機）的理論模型對於任何給定輸入停止的機率
在這個公式中，p 表示所有在有限執行時後停止的程式，|p| 描述了程式以位元為單位的長度。為了精確計算蔡廷常數，你必須知道哪些程式停止，哪些程式不停止——根據停機問題，這是不可能的。 儘管在 2000 年，數學家克里斯蒂安·卡盧德和他的同事們成功地計算出了蔡廷常數的前幾位數字 0.0157499939956247687...，但永遠不可能找到所有的小數位。
因此，庫位元的團隊已經能夠從數學上證明，他的物理模型在 φ = Ω 值時經歷相變：它從導體變為絕緣體。然而，由於 Ω 無法精確計算，物理系統的相圖也是不確定的。需要明確的是，這與當前計算機的效能不夠強大，或者沒有足夠的時間來解決問題無關——這項任務是可證明的無法解決的。物理學家在他們的論文中寫道：“我們的結果表明，即使所有潛在的微觀資料都是完全可計算的，不可計算的數字也可能在類物理模型的相變點中湧現。”
從技術上講，可以指定蔡廷常數的精度足以滿足現實世界的應用。但是，庫位元和他的同事們的工作仍然再次說明了哥德爾的洞察力是多麼的深遠。即使在 90 多年之後，仍然有不可證明的陳述的新例子。很可能，深遠的物理問題，例如尋找萬物理論，也受到哥德爾不完備性定理的影響。
本文最初發表於《科學世界》雜誌，並經許可轉載。