1. 這是一個只需要五次交換的解決方案，用於
9 8 7 1 4 3 5 6 2 (1,9): 2 8 7 1 4 3 5 6 9 (2,7): 2 5 7 1 4 3 8 6 9 (2,4): 2 1 7 5 4 3 8 6 9 (3,8): 2 1 6 5 4 3 8 7 9 (3,6): 2 1 3 5 4 6 8 7 9
2. 對於這個初始配置
3 5 6 7 8 1 9 2 4
六次交換就足夠了。這是一個將其置於 1-away 配置的方法
3 5 6 7 8 1 9 2 4 (5,9): 3 5 6 7 4 1 9 2 8 (4 和 8 現在足夠接近了。) (1,3): 6 5 3 7 4 1 9 2 8 (1,6): 1 5 3 7 4 6 9 2 8 (4、8、1、3 和 6 現在足夠接近了) (2,4): 1 7 3 5 4 6 2 9 8 (7,8): 1 7 3 5 4 6 2 9 8 (2,7): 1 2 3 5 4 6 7 9 8 你能做得更好嗎？
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3. 這是一個九個專案的非常糟糕的初始配置
8 9 1 2 3 4 5 6 7.
每個元素都與其正確位置相差兩個位置。每次交換最多隻能將一個雕塑移動到其正確位置。然而，一旦前七個雕塑就位，最後兩個雕塑將只相差一個位置，因此七步是最壞的情況。
4. 全能啟發式專家 Tom Rokicki 提出了以下精美的解決方案（我的同事 Richard Cole 和數學家 Ivan Rezanka 有類似的直覺）。
當目標是實現 d-away 配置時，一個最壞的初始配置是從有序配置開始進行 d+1 旋轉。例如，當 d = 1 時，配置
8 9 1 2 3 4 5 6 7 是一個 2 旋轉。相比之下，對 9 個元素進行 6 旋轉（當目標是實現 5-away 配置時，用於最大化交換次數）會產生
4 5 6 7 8 9 1 2 3
Rokicki 觀察到，將會有 n-(d+1) 個數字至少偏離了 d+1 個位置（在 6 旋轉示例中為 1、2、3），所有數字都在同一方向上。每次交換隻能將這些數字中的一個移動到其位置範圍內。
實際上，按順序將它們交換到位（對於此示例，將位置 7 的 1 與位置 1 的 4 交換，然後將位置 8 的 2 與位置 2 的 5 交換，依此類推）實際上是最佳解決方案。
事實上，無論從哪個初始配置開始，都可以先將 1 交換到位，然後是 2，然後是 3，依此類推，直到最大的 d+1 個雕塑。最後那些雕塑與其正確位置的距離不超過 d。
5. 對於 n 個元素，有多少個 1-away 配置？
回顧一下似乎在許多數學領域中出現的斐波那契數列
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...
每個數字都是前兩個數字的和，即 fib(k+2) = fib(k+1) + fib(k)。讓我們透過它們在該列表中的位置來識別這些數字，因此 fib(0) = fib(1) = 1，fib(6) = 13（請記住我們從 0 開始），依此類推。
那麼，n 個元素的 1-away 排列（包括完全排序的排列）的數量就是 fib(n)。
對於 n = 1，顯然只有一個 (fib(1))。
對於 n = 2，有兩個：1 2 和 2 1。
對於 n = 3，有三個：1 2 3；1 3 2；2 1 3
對於 n = 4，有五個：三個涉及 2 3 4，其中 1 固定；然後交換 1 和 2，並且有 3 和 4 的兩種排列。
一般來說，對於長度為 n 且第一個雕塑就位的排列，有 fib(n-1) 個。如果第一個雕塑不在位，則它必須在位置 2，但這表示第二個雕塑必須在位置 1（沒有其他元素可以在位置 1）。因此，這固定了前兩個位置的亂序。現在，最後 n-2 個雕塑有 fib(n-2) 個排列。
最後一個結果最初是在以下寫得很好的文章（法語）中發現的，您可以在網上找到
“Quelques resultats dans la metrique des permutations”，作者：Rene Lagrange，Annales scientifiques de l'E.N.S. 第三輯，第 79 卷，第 3 期，1962 年，第 199-241 頁。
http://archive.numdam.org/article/ASENS_1962_3_79_3_199_0.pdf