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編者注：本文最初發表於1990年4月的《大眾科學》，標題為“曼德勃羅集”。我們現在釋出這篇文章是為了配合我們本週關於 Benoit Mandelbrot 在哥倫比亞大學關於分形和金融市場的演講的報道。 為了清晰起見，某些關於日期的引用的措辭已用方括號進行了更改。
誰發現了曼德勃羅集？ 這不是一個棘手的問題，也不是一個微不足道的問題。 該集合（在本雜誌中）被稱為“數學中最複雜的物件”。 這一點尚有爭議，但它幾乎可以肯定是最著名的此類物件。 該集合的無限複雜的計算機生成影像是新興的混沌理論領域的標誌，並引起了公眾的廣泛關注。
該集合以 IBM 托馬斯·J·沃森研究中心的數學家 Benoît B. Mandelbrot 的名字命名。 他最出名的是創造了“分形”一詞來描述那些在越來越小的尺度上重複其模式的現象（例如海岸線、雪花、山脈和樹木）。 Mandelbrot 聲稱，大約十年前，他獨自發現了具有分形特性的曼德勃羅集。 他將它的影像稱為他的“簽名”。
其他三位數學家對他的說法提出了質疑。 其中兩位堅稱，他們與 Mandelbrot 大約在同一時間獨立發現並描述了該集合。 第三位斷言，他對該集合的研究不僅早於 Mandelbrot 的研究，而且還幫助指導了他們的研究。 這些斷言長期以來在數學界流傳，但最近才出現在印刷品中。
數學家並不以優先權之爭而聞名，但自稱“害群之馬”的 Mandelbrot 經常與同事發生衝突。 波士頓大學的 Robert L. Devaney 表示，他欽佩 Mandelbrot 的工作，“如果沒有他的個性，就不會有爭議。”
科學風險也很高。 即使是那些鄙視該集合的受歡迎程度的人也承認其數學意義。 紐約城市大學的 Dennis P. Sullivan 稱其為測試關於動力（或非線性、或複雜、或混沌）系統行為的“熔爐”。 他說：“這真的非常基礎。”
該集合的魅力之一在於它源於如此簡單的方程：z2 + c。 項 z 和 c 是複數，由虛數（-1 的平方根的倍數）與實數組合而成。 首先為 c 分配一個固定值，讓 z = 0 並計算輸出。 然後反覆重新計算，或迭代，該方程，用每個新輸出替換 z。 當插入此迭代函式時，c 的某些值會產生迅速飆升至無窮大的輸出。 c 的其他值會產生在某個邊界內永恆地跳動的輸出。 後一組 c 值或複數構成了曼德勃羅集。
當繪製在由所有複數組成的圖表上時，該集合的成員會聚整合一個獨特的形狀。 從遠處看，它沒什麼好看的：它被比作一個長滿腫瘤的心臟、一隻甲蟲、一隻燒焦的雞和一個側放的疣狀數字 8。
仔細觀察會發現，該集合的邊界不是形成清晰的線條，而是像火焰一樣閃爍。 對邊界的重複放大使人們陷入巴洛克式影像的無底幻境。 某些形式（例如基本的心形）不斷出現，但總會有細微的差異。
今天，幾乎任何擁有個人電腦的人都可以“發現”該集合。 但 [在 1979 年]，計算機的功能要弱得多，很少有數學家將計算機與嚴肅的數學聯絡起來。
甚至 Mandelbrot 也將他在 1979 年首次嘗試接觸該集合描述為“無聊的樂趣”。 他開始使用計算機來繪製 Julia 集，這些 Julia 集是透過將複數插入迭代函式生成的。 這些集合的特殊性質早在 1906 年就被法國數學家皮埃爾·法圖描述過了。 它們後來以加斯頓·朱莉婭的名字命名，朱莉婭成功地聲稱，他大約在十幾年後對這些集合的研究比法圖的研究具有更大的意義。 Mandelbrot 出生於 [1924 年] 的波蘭，他讀過這兩位數學家的著作，並在 20 世紀 40 年代師從朱莉婭。
Mandelbrot 早期的計算機影像證實了他對 Julia 集具有分形性質的懷疑。 他說，他在 1979 年末開始製作出曼德勃羅集的可識別圖片，這在某種意義上是所有 Julia 集的通用版本。 隨後，Mandelbrot 在演講、論文和書籍中展示了該集合的影像並闡述了其意義。 這一發現以及他在分形方面的其他工作也在媒體上、眾多書籍中（尤其是前《紐約時報》記者詹姆斯·格萊克所著的暢銷書《混沌》）以及 IBM 的廣告中廣為宣傳。
沒有人否認 Mandelbrot 的圖片和描述促使其他數學家研究該集合。 兩個著名的例子是康奈爾大學的約翰·H·哈伯德和巴黎大學的阿德里安·杜瓦迪。 在 20 世紀 80 年代初，在證明環繞該集合主體的微小“島嶼”透過無限小的細絲與之相連的過程中，他們以 Mandelbrot 的名字命名了該集合。 “曼德勃羅是第一個使用計算機制作出它的圖片，並開始對其進行描述的人，”杜瓦迪在 1986 年寫道。
然而，杜瓦迪現在表示，他和一些其他數學家開始認為，曼德勃羅將其他人在該集合以及相關混沌領域所做的工作歸功於自己太多。 “他喜歡引用自己，”杜瓦迪說，“他非常不願意引用那些已經去世的人。”
[1989 年秋季]，華盛頓大學的 Steven G. Krantz 在季刊《數學智慧者》上表達了其中的一些不滿。 他文章的重點是，與 Mandelbrot 相關的分形、計算機生成的圖形和其他“流行”的數學現象對數學的實質性貢獻很少，尤其是與它們所獲得的宣傳相比。
這種觀點以及與之相反的觀點（認為曼德勃羅的“流行”工作一直是數學領域的一種刺激力量）之前就已經表達過了。 然而，克朗茨在辯論中引入了一個新的要素，他指出曼德勃羅集“不是由曼德勃羅發明的，而是在‘曼德勃羅集’一詞出現之前幾年就明確出現在文獻中了。” 他引用了 Robert Brooks 和 J. Peter Matelski 於 1978 年在紐約州石溪舉行的會議論文集中發表的論文。
果然，該論文包含著名的 z2 + c 公式和該集合基本影像的粗糙但明確無誤的計算機列印輸出。 布魯克斯和馬特爾斯基表示，他們實際上並未在 1978 年的會議上展示該論文，但他們在 1979 年初以預印本的形式將其散發。 現在在加州大學洛杉磯分校的布魯克斯也在那年春天在哈佛大學展示了該論文。 （當時在哈佛大學任職的曼德勃羅表示，他沒有聽到布魯克斯的演講，並且幾年後才看到這篇論文。） 然而，該論文直到 1981 年初才發表。
在對克朗茨的文章的反駁中，標題為“一些經不起推敲的‘事實’”，曼德勃羅指出，他在布魯克斯和馬特爾斯基之前“完全發表”了關於曼德勃羅集的文章。 （曼德勃羅的論文發表於 1980 年 12 月 26 日的《紐約科學院年鑑》上，其特點是與現在與曼德勃羅集相關的函式和影像的變體，曼德勃羅直到 1982 年才發表這些內容。）
曼德勃羅還表示，即使布魯克斯和馬特爾斯基的出版物早於他，他們仍然不能被認為是該集合的發現者，因為他們沒有意識到它的重要性。“[他們] 接近一些將被證明是特殊的東西，但他們沒有考慮過這張圖片，”他寫道。
布魯克斯在下一期《智慧者》中反駁道：“我不知道他怎麼能確定我們考慮過什麼，沒考慮過什麼。” 布魯克斯表示，他尊重曼德勃羅作為普及者的成就，並且不反對該集合以他的名字命名。 他說，“這比‘帶有大型心形線的東西’更有意義，”他回憶起他和馬特爾斯基如何稱呼該集合。“我只是希望曼德勃羅能更有紳士風度。”
在康涅狄格州哈特福德研究生中心工作的馬特爾斯基指出，他和布魯克斯都沒有要求克朗茨將發現曼德勃羅集的功勞歸功於他們。 （克朗茨證實，另一位數學家提請他注意他們的論文。） 但是，既然這個問題已經公開，馬特爾斯基表示，他和布魯克斯應該被認為是與曼德勃羅共同的發現者。
馬特爾斯基在《哈特福德新聞報》中被引述說：“您不必完全開發一個大陸的礦產資源才能發現它，”該報於 [1989 年] 12 月報道了這場糾紛。“您所要做的就是跪下來親吻海灘。”
哈伯德提出了一個略有不同的優先權主張，他現在被認為是世界上研究曼德勃羅集的專家之一。 他解釋說，他在 1976 年開始使用計算機來繪製由稱為牛頓法的迭代過程生成的複數集合。 哈伯德說，當時他沒有意識到，但他已經找到了一種生成曼德勃羅集的不同方法。
1978 年末，哈伯德的一位研究生弗雷德里克·科赫曼在一次會議上找到曼德勃羅，並向他展示了哈伯德的圖片。 科赫曼回憶說，曼德勃羅“似乎不是很感興趣”。 然而，不久之後，曼德勃羅寫信邀請哈伯德到 IBM 討論他的工作。 在哈伯德保留的信中，曼德勃羅寫道：“在研究法圖和朱莉婭的作品時，我曾想自己做這些事情，但沒有鼓起勇氣。 儘管如此，我可以聲稱我一直在等待你的照片很久很久了。”
哈伯德說，他在 1979 年初去了 IBM，並在那裡告訴曼德勃羅如何程式設計計算機來繪製迭代函式的輸出。 哈伯德承認，當時他並沒有意識到自己影像的全部意義，並且它們只顯示了曼德勃羅集的一部分。 他還承認，曼德勃羅開發了一種更好的影像生成方法。 然而，哈伯德說，曼德勃羅在 1980 年的論文和後來的著作中沒有給他功勞，他當時和現在都感到“憤怒”。 “這是對數學道德的違背，”他斷言道。
曼德爾布羅特回憶說，他曾看到哈伯德“一幅令人印象深刻的早期朱利亞集草圖”，但他否認這對他自己的發現有所貢獻。針對哈伯德和杜阿迪指責他吝於給予他人功勞的說法，曼德爾布羅特表示，他也曾被指責過度引用。他還補充說，他沒有引用布魯克斯和馬特爾斯基的早期發現，或許可以讓他們免受因“未能對此做任何事情”而遭受的“嘲諷”。
關於哈伯德、馬特爾斯基和布魯克斯的建議，即曼德爾布羅特集的真正發現者是法圖，他是第一個定義這個集合並推測其性質的人，又該如何看待呢？布魯克斯甚至提出，“如果法圖能夠使用現代計算裝置，他本可以並且會畫出與馬特爾斯基、曼德爾布羅特和我所畫的幾乎相同的圖片。”曼德爾布羅特稱這種推測毫無意義，並堅持認為法圖對曼德爾布羅特集的定義不構成發現。“定義毫無意義，”他說，“你必須說明某物為什麼重要。”
其他熟悉此事的數學家對此感到有些困惑。“對我來說，為此大驚小怪似乎很奇怪，”普林斯頓大學的約翰·米爾諾評論道。他認為布魯克斯和馬特爾斯基，以及曼德爾布羅特，都沒有做出任何具有重要數學意義的事情。“哈伯德和杜阿迪是第一批真正獲得一些明確結果的人，”他說，“並讓我們對這個集合有所瞭解。”
米爾諾認為，關於優先權的爭議可能源於不同數學文化之間的衝突。“在純數學中，”他解釋道，“有一個傳統是讓別人讚揚你的工作。”他指出，曼德爾布羅特從事的是應用數學。
“數學的發展不是單槍匹馬發生的，”普林斯頓大學的威廉·P·瑟斯頓指出，“而且事物不是以第一個發展它們的人的名字命名是很常見的。曼德爾布羅特集遵循了這一模式。”然而，他認為，如果曼德爾布羅特自己也能更加慷慨地回報，沒有人會吝於承認他的成就。“他可以更加寬宏大量一些，”瑟斯頓說。
沙利文，他也因對曼德爾布羅特集的研究而受到讚譽，稱自己是“曼德爾布羅特的某種辯護者”。沙利文說，曼德爾布羅特理應以他的名字命名該集合，因為他的努力使該集合引起了公眾和純數學界的關注。
沙利文說，該集合後來被證明具有數學意義只是“巧合”這一事實，絲毫沒有減少曼德爾布羅特的成就。“這就是數學的美妙之處，”他補充說，“即使是業餘愛好者也可以做出重要貢獻。”
那麼，到底是誰發現了曼德爾布羅特集？沙利文稱這個問題毫無意義。也許是這樣。Intelligencer 的編輯謝爾登·阿克塞爾計劃發表一封信，指出匈牙利數學家 F. 里斯在 1952 年報告了與該集合相關的工作。
如果繼續追究下去，最終的答案似乎很可能會在越來越精細的細節中變得模糊不清。