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解答
正如您在這裡以圖形方式看到的那樣，即使我們將 M 移動到 M'，交叉線與歐幾里得的交點仍然相同。第一個問題是如何證明它。第二個問題是：與歐幾里得的交點在哪裡？
將歐幾里得與松樹 P 之間的距離稱為 P，將歐幾里得與楓樹 M 之間的距離稱為 M。在下文中，我們將以百米為單位進行計算。因此，E 在交點以東 2 個單位，W 在交點以西 4 個單位。
EP 的斜率為 –P/2。此外，當 x = 0 時，y = P。
所以，EP 的方程是
(1) y = (–P/2)x + P
類似地，EM 的方程為
(2) y = –(M/2)x + M
WP 的斜率為 P/4，當 x = 0 時，y = P。所以
(3) y = (P/4)x + P
類似地，WM 的方程為
(4) y = (M/4)x + M
L 是 (1) 和 (4) 的交點，當
(–P/2)x + P = (M/4)x + M
x(M/4+P/2) = P – M = x(M+2P)/4
所以，在 L 處，x = 4(P–M)/(M+2P)
在這種情況下，y 是（來自方程 1）
–2P(P–M)/(M+2P) + P = (2PM–2P2+MP+2P2)/(M+2P) = 3PM/(M+2P)
檢查，來自方程 4
M(P–M)/(M+2P) + M = (–M2+PM+M2+2PM)/(M+2P) = 3PM/(M+2P)
R 是 (2) 和 (3) 的交點，當
(–M/2)x + M = (P/4)x + P
所以，由此得出
M – P = x(P/4+M/2) = x(P+2M)/4
和
x = 4(M–P)/(2M+P)
代入方程 (2)，我們得到 y 值
–2M(M–P)/(2M+P) + M = (–2M2+ 2PM + 2M2+ PM)/(2M+P) = (3PM)/(2M+P)
代入 (3)
P(M–P)/(2M+P) + P = (MP–P2+ 2MP+P2)/(2M+P) = 3PM/(2M+P)
現在我們需要 L 和 R 兩點之間的線
L 是 (4(P–M)/(M+2P), 3PM/(M+2P))
和
R 是 (4(M–P)/(2M+P), 3PM/(2M+P))
prod = (M+2P)(2M+P)
Delta Y = 3PM(1/(M+2P) – 1/(2M+P))
= 3PM(2M+P–M–2P)/prod = 3PM(M–P)/prod
Delta X = 4((P–M)/(M+2P) – (M–P)/(2M+P))
= 4(P–M)(1/(M+2P) + 1/(2M+P)) = 4(P–M)(2M+P+M+2P)/prod
= 12(P–M)(M+P)
Delta Y/Delta X = PM(M–P)/4(P–M)(M+P)
= –PM/4(P+M)
現在在 L 上檢查一下
3PM/(M+2P) = (4(P–M)/(M+2P))(–PM/4(P+M)) + b
= (–PM(P–M)/(M+2P)(P+M)) + b
所以，b = (3PM(P+M) + (–PM(P–M)))/(M+2P)(P+M)
= (2P^2M+4PM^2)/(M+2P)(P+M)
因此，我們可以將 y 設定為 0（這意味著我們正在嘗試在歐幾里得上找到一個點），並詢問該點的 x 值
0 = (–PM/4(P+M))x + (2P^2M+4PM^2)/(M+2P)(P+M)
所以，(PM/4(P+M))x = (2P^2M+4PM^2)/(M+2P)(P+M)
因此
x = 4(P+M)(2P^2M+4PM^2)/PM(M+2P)(P+M)
= 4 (2PPM+4PMM)/PM(M+2P)
= 8PM(M+2P)/PM
= 8
所以，只需在歐幾里得東邊看 8 個單位（800 米）。
您能找到需要較少代數的解決方案嗎？
這個問題（像上個月的問題一樣）的本質來自於 Edwin Moise 和 Floyd Downs 所著的優秀初等幾何教科書《幾何》（書號 0-201-25335-6，Addison-Wesley，1991）。]