我從任何地方獲取靈感。我的女朋友最近提醒我一個病毒式影片，影片中一個十幾歲的女孩抱怨數學。“我只是為了上班化妝，”格蕾西·坎寧安一邊往臉上塗抹化妝品一邊說，“我只是想告訴你們，我不認為數學是真實的。”
坎寧安暗示，她在學校學到的一些數學知識與她生活的世界幾乎無關。“我理解加法，比如，如果我拿兩個蘋果加三個，就是五個。但是你是怎麼想出代數這個概念的呢？” 雖然一些書呆子嘲笑了坎寧安，但其他人為她辯護，指出她提出的問題也困擾著科學界的重量級人物。
格蕾西的抱怨引起了我的共鳴。自從去年五月以來，作為我學習量子力學的持續努力的一部分，我一直在努力掌握特徵向量、複共軛和其他深奧的知識。沃爾夫岡·泡利駁斥了一些觀點，認為它們錯得離譜，以至於“甚至都不算錯”。我太困惑了，以至於我都不知道自己是否困惑。我一直想知道，正如坎寧安所說，“是誰想出了這個概念？”
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以希爾伯特空間為例，這是一個充滿無限維度的領域，裡面充斥著被稱為向量的箭頭狀抽象概念。思考希爾伯特空間讓我感覺自己像是一塊愚蠢、衰老的肉體，被困在一個骯髒的 3D 監獄裡。我不僅無法探索希爾伯特空間，甚至找不到一扇窗戶可以窺視它。我把它想象成一個非物質的天堂，在那裡，發光的智者來回滑動，用意念交流關於伴隨運算元的俏皮話。
偉大的聖賢向我們保證，現實本質上是數學的。柏拉圖認為，我們和這個世界的其他事物都只是構成現實的崇高几何形式的影子。伽利略宣稱，“自然這本偉大的書是用數學寫成的。” 我們是自然的一部分，不是嗎？那麼，為什麼數學，一旦我們超越了自然數和基本算術，對我們大多數人來說都感到如此陌生呢？
更重要的是，格蕾西的觀點是，我們用來表示自然的方程有多真實？像柏拉圖堅持的那樣，與自然本身一樣真實，甚至比自然本身更真實？量子力學和廣義相對論是否像黃金、引力和星系一樣，等待著我們去發現它們？
物理學家的理論是有效的。它們預測行星的弧線和電子的顫動，並且催生了智慧手機、氫彈——嗯，我們還需要什麼呢？但是科學家，尤其是物理學家，不僅僅是在尋求實際的進步。他們追求的是真理。他們希望相信他們的理論是正確的——完全正確的——對自然的表示。物理學家與宗教人士有著共同的渴望，他們需要相信他們通往救贖的道路是唯一真正的道路。
但是，如果沒人理解一個理論，你還能稱之為真理嗎？在量子力學發明一個世紀後，物理學家們仍在爭論它究竟告訴了我們關於現實的什麼。考慮一下薛定諤方程，它可以讓你計算電子的“波函式”。波函式反過來會產生“機率幅度”，當平方時，會產生你在某個特定位置找到電子的可能性。
波函式中嵌入了一個虛數。這是一個恰當的標籤，因為虛數由負數的平方根組成，而負數的平方根根據定義是不存在的。儘管它給出了你想要的答案，但波函式並不對應於現實世界中的任何事物。它有效，但沒人知道為什麼。薛定諤方程也可以這樣說。
也許我們應該把薛定諤方程看作是一種發明，而不是一種發現，一種任意的、偶然的、歷史的意外，就像我們用來表示函式和數字的希臘和阿拉伯符號一樣。畢竟，物理學家們是在經歷了許多錯誤的步驟後，才斷斷續續地得到了薛定諤方程和其他規範的量子公式。
想象一下，你是偉大的書呆子之神，俯瞰著所有可能的數學方法來表示微觀領域的廣闊景象。你會說，“是的，這些聰明的人類找到了它，最好的解決方案集。” 還是你會驚呼，“哦，如果他們在這一刻採取了不同的道路，他們可能會在這裡找到這些方程，它們會工作得更好！”
此外，薛定諤方程遠非萬能。雖然它在模擬氫原子方面做得很好，但薛定諤方程無法給出氦原子的精確描述！氦由帶正電的原子核和兩個電子組成，是三體問題的一個例子，即使可以解決，也只能透過額外的數學技巧來解決。
而三體問題只是更大範圍的 N 體問題的一個子集，N 體問題困擾著經典物理學和量子物理學。物理學家讚美牛頓萬有引力定律和薛定諤方程的美麗和優雅。但是，這些公式只有在經過極其複雜的修補和近似之後才能與實驗資料相符。
當我思考量子力學時，考慮到它所有的限制和限定條件，我一直想到可憐的老托勒密。我們回顧他以地球為中心的太陽系模型，它有著巴洛克式的圓中圓、圓中圓，認為它是毫無希望的笨拙和權宜之計。但托勒密的地心模型是有效的。它準確地預測了行星的運動以及日食和月食。
量子力學也有效，可以說比任何其他科學理論都有效。但也許它與現實——與真正存在的事物——的關係就像托勒密的地心模型一樣脆弱。也許我們的後代會在一個世紀後回顧量子力學，並認為，“那些老物理學家一無所知。”
一些權威人士已經暗示了這一點。去年秋天，我在我的學校史蒂文斯理工學院選修了一門名為“PEP553：工程應用量子力學”的課程。在我們教科書《量子力學導論》的最後一行，大衛·格里菲斯和一位合著者推測，未來的物理學家會回顧我們這個時代，並且“想知道我們怎麼會如此容易上當受騙。”
這意味著總有一天我們會找到關於現實的正確數學理論，一種真正有意義的理論，就像以太陽為中心的太陽系模型一樣。但也許我們對任何數學理論所能說的最好評價是，它在特定的上下文中有效。這就是尤金·維格納 1960 年著名的文章《自然科學中數學不合理的有效性》所傳達的顛覆性觀點。
維格納是一位著名的量子理論家，他指出，牛頓運動定律、量子力學和廣義相對論中嵌入的方程非常有效，甚至不合理地有效。為什麼它們如此有效？維格納承認，沒人知道。但是，他強調，僅僅因為這些模型有效，並不意味著它們是“唯一”正確的。
維格納指出了這種假設的幾個問題。首先，物理學理論的範圍是有限的。它們僅適用於自然的特定、高度受限的方面，並且遺漏了很多東西。其次，量子力學和廣義相對論，現代物理學的基本理論，在數學上是不相容的。
“所有物理學家都相信，這兩種理論的統一在本質上是可能的，我們將會找到它，”維格納寫道。“然而，也可能想象找不到這兩種理論的統一。” 在維格納撰寫他的文章六十年後，量子力學和相對論仍然沒有調和。這難道不意味著其中一個或兩個在某種意義上是不正確的嗎？
維格納補充說，物理學的“定律”與生物學，尤其是與意識（所有生物現象中最令人費解的現象）幾乎無關。當我們更好地理解生命和意識時，生物學和物理學之間可能會出現不一致。這些衝突，就像量子力學和廣義相對論的不相容性一樣，可能意味著物理學是不完整的或錯誤的。
維格納再次被證明是有先見之明的。傑出的科學家和哲學家正在質疑物理學，以及物質主義的基本正規化，是否能夠解釋生命和意識。有些人聲稱心靈至少與物質一樣基本。
維格納正在質疑物理學的福音，它宣稱，“太初有數……” 他敦促他的同事不要將他們的數學模型與現實混淆。這也是斯科特·比弗的立場，格蕾西·坎寧安數學影片的評論者之一。“關於數學是否真實，這是我的簡單回答：不，”化學工程師比弗說。“數學只是一種描述模式的方式。模式是真實的，但數學不是。儘管如此，數學是非常、非常有用的東西！”
我喜歡比弗觀點的實用主義和謙遜，我猜這反映了他的工程背景。與物理學家相比，工程師是謙虛的。當試圖解決問題時——例如製造一輛新汽車或無人機——工程師不會問給定的解決方案是否真實；他們會認為這種術語是範疇錯誤。他們會問解決方案是否有效，是否解決了手頭的問題。
量子力學和廣義相對論等數學模型非常有效。但它們不像中子和神經元那樣真實，我們不應該賦予它們“真理”或“自然規律”的地位。
如果物理學家們採取這種謙遜的心態，並抵制他們對確定性的渴望，他們就更有可能尋求並因此找到更有效的理論，也許是比量子力學更有效的理論。關鍵是他們必須放棄找到最終公式的希望，這個公式可以徹底揭開我們怪異、怪異的世界的神秘面紗。
延伸閱讀:
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有關量子力學和其他謎題的更多思考，請參閱我的新書《注意：性、死亡和科學》。