當我告訴別人我是一名數學家時，最常見的反應之一是：“我真的很喜歡數學課，因為所有事情都是非對即錯。沒有模稜兩可或疑慮。” 我總是結結巴巴地回應。數學並沒有被認為是每個人最喜歡的科目，我也不想打擊任何人的熱情。但數學充滿了不確定性——它只是很好地隱藏了它們。
當然，我理解他們的意思。如果你的老師問7是否是質數，答案肯定是“是”。根據定義，質數是大於1的整數，只能被自身和1整除，例如2、3、5、7、11、13等等。世界上任何地方、過去幾千年的任何數學老師都會認為你陳述7是質數是對的，而陳述7不是質數是錯的。很少有其他學科能達成如此驚人的一致。但是，如果你問100位數學家，是什麼解釋了數學陳述的真理，你會得到100個不同的答案。數字7可能真的作為一個抽象物件存在，質數是該物件的一個特徵。或者它可能只是數學家設計的一個精心設計的遊戲的一部分。換句話說，數學家在很大程度上對一個陳述是對還是錯達成一致，但他們無法就該陳述究竟是關於什麼達成一致。
爭議的一個方面是簡單的哲學問題：數學是人類發現的，還是我們發明的？也許7是一個真實的物件，獨立於我們而存在，數學家正在發現關於它的事實。或者它可能是我們想象力的產物，其定義和屬性是靈活的。進行數學運算的行為實際上鼓勵了一種雙重哲學視角，即將數學既視為發明，又視為發現。
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在我看來，這一切有點像即興戲劇。數學家發明了一個場景，其中有一些角色或物件，以及一些互動規則，並觀察情節如何展開。演員們迅速發展出令人驚訝的個性和關係，完全獨立於數學家預期的那些。然而，無論誰導演這部戲，結局總是相同的。即使在混沌系統中，結局可能會千差萬別，相同的初始條件也總是會導致相同的終點。正是這種必然性賦予了數學學科如此顯著的凝聚力。隱藏在幕後的是關於數學物件的本質和數學知識的獲取的難題。
發明
我們如何知道一個數學陳述是否正確？與通常試圖從觀察中推斷自然基本原理的科學家不同，數學家從一系列物件和規則開始，然後嚴格證明其結果。這種演繹過程的結果稱為證明，它通常從更簡單的事實構建到更復雜的事實。乍一看，證明似乎是數學家之間令人難以置信的共識的關鍵。
但是證明只賦予有條件的真理，結論的真理取決於假設的真理。這就是常見的觀點——數學家之間的共識源於論證的基於證明的結構——的問題所在。證明有核心假設，其他一切都取決於這些假設——而許多關於數學真理和現實的哲學難題實際上都與這個起點有關。這就引出了一個問題：這些基本物件和想法從何而來？
通常，當務之急是實用性。例如，我們需要數字，以便我們可以計數（例如，牛的數量）和幾何物件，例如矩形，以測量例如田地的面積。有時，原因是美學——結果的故事有多有趣或多吸引人？改變初始假設有時會解鎖廣闊的結構和理論，同時排除其他結構和理論。例如，我們可以發明一種新的算術系統，其中，根據規定，負數乘以負數是負數（緩解數學老師沮喪的解釋），但隨後數軸的許多其他直觀和理想的屬性將消失。數學家在更大、一致的數學景觀的背景下判斷基本物件（例如負數）及其屬性（例如將它們相乘的結果）。因此，在證明一個新定理之前，數學家需要觀看戲劇的展開。只有這樣，理論家才能知道要證明什麼：必然的、不變的結論。這賦予了數學運算過程三個階段：發明、發現和證明。
劇中的角色幾乎總是由更簡單的物件構成。例如，圓定義為到中心點距離相等的所有點的集合。因此，它的定義依賴於點的定義，點是一種更簡單的物件型別，以及兩點之間的距離，這是這些更簡單物件的屬性。類似地，乘法是重複加法，而指數運算是數字自身重複相乘。因此，指數運算的性質是從乘法的性質繼承而來的。相反，我們可以透過研究定義它們的更簡單的物件來了解複雜的數學物件。這使得一些數學家和哲學家設想數學是一個倒金字塔，其中許多複雜的物件和想法是從狹窄的簡單概念基礎上推匯出來的。
在19世紀末和20世紀初，一群數學家和哲學家開始思考是什麼支撐著數學的這個沉重金字塔。他們狂熱地擔心數學沒有基礎——沒有任何東西可以支撐諸如1 + 1 = 2之類的真理。（一群痴迷的角色，其中幾個人與精神疾病作鬥爭。）經過50年的動盪，這個宏大的專案未能產生一個滿足所有最初目標的單一、統一的答案，但它催生了數學和哲學的各個新分支。
一些數學家希望透過產生一個相對簡單的公理集合來解決基礎危機，從中可以推匯出所有數學真理。然而，數學家庫爾特·哥德爾在 1930 年代的工作通常被解釋為證明這種簡化為公理是不可能的。首先，哥德爾證明，任何合理的候選公理系統都是不完備的：存在該系統既不能證明也不能證偽的數學陳述。但最致命的打擊來自哥德爾關於數學不完備性的第二個定理。任何基礎公理系統都應該是自洽的——意味著，沒有既可以證明又可以證偽的陳述。（如果我們能證明7是質數，而7不是質數，那麼數學就沒那麼令人滿意了。）此外，該系統應該能夠證明——在數學上保證——其自身的自洽性。哥德爾的第二個定理指出，這是不可能的。
尋找數學基礎的探索確實導致了對基本公理系統的驚人發現，該系統被稱為策梅洛-弗蘭克爾集合論，從中可以推匯出大多數有趣且相關的數學。這些公理基於集合或物件集合，不是一些歷史上的數學家和哲學家所希望的理想化基礎，但它們非常簡單，並且確實支撐著大部分數學。
在整個 20 世紀，數學家們一直在爭論是否應該用一個附加規則來擴充策梅洛-弗蘭克爾集合論，該規則被稱為選擇公理：如果您有無限多個物件集合，那麼您可以透過從每個集合中選擇一個物件來形成一個新集合。想象一下一排桶，每個桶都包含一系列球，以及一個空桶。從排中的每個桶中，您可以選擇一個球並將其放入空桶中。選擇公理將允許您對無限排的桶執行此操作。它不僅具有直觀的吸引力，而且對於證明幾個有用且理想的數學陳述也是必要的。但它也暗示了一些奇怪的事情，例如巴拿赫-塔斯基悖論，該悖論指出，您可以將一個實心球分成五塊，並將這些碎片重新組裝成兩個新的實心球，每個球的大小與第一個球相同。換句話說，您可以將球體翻倍。基礎假設由它們產生的結構來判斷，選擇公理暗示了許多重要的陳述，但也帶來了額外的包袱。如果沒有選擇公理，數學似乎缺少關鍵事實，但有了它，數學包括一些奇怪且可能不受歡迎的陳述。
現代數學的大部分使用了一套隨著時間推移而形成的定義和約定。例如，數學家過去認為 1 是質數，但現在不再這樣認為。然而，他們仍然爭論是否應該將 0 視為自然數（自然數有時稱為計數數，自然數定義為 0,1,2,3... 或 1,2,3...，取決於你問誰）。哪些角色或發明成為數學規範的一部分通常取決於結果戲劇的精彩程度——觀察到這一點可能需要數年時間。從這個意義上說，數學知識是累積的。舊理論可能會被忽視，但很少被推翻，就像自然科學中經常發生的那樣。相反，數學家只是選擇將注意力轉向一組新的起始假設，並探索展開的理論。
發現
如前所述，數學家通常會定義具有特定應用的物件和公理。然而，這些物件一次又一次地在數學過程的第二階段——發現階段——讓他們感到驚訝。例如，質數是乘法的構建塊，是最小的乘法單位。如果一個數不能寫成兩個較小數的乘積，則該數是質數，所有非質數（合數）都可以透過將一組唯一的質數相乘來構造。
1742 年，數學家克里斯蒂安·哥德巴赫假設，每個大於 2 的偶數都是兩個質數之和。如果你選擇任何偶數，所謂的哥德巴赫猜想預測你可以找到兩個質數，它們的和等於那個偶數。如果你選擇 8，這兩個質數是 3 和 5；選擇 42，即 13 + 29。哥德巴赫猜想令人驚訝，因為儘管質數被設計為相乘，但它表明偶數和質數的和之間存在驚人的、偶然的關係。
大量證據支援哥德巴赫猜想。在他最初觀察到的 300 年中，計算機已確認該猜想適用於所有小於 4 × 1018 的偶數。但這個證據不足以讓數學家宣佈哥德巴赫猜想是正確的。無論計算機檢查多少偶數，都可能存在一個反例——一個不是兩個質數之和的偶數——潛伏在角落裡。
想象一下計算機正在列印其結果。每次它找到兩個質數，它們的和等於一個特定的偶數時，計算機都會打印出該偶數。到現在為止，這是一個非常長的數字列表，您可以將其呈現給朋友，作為相信哥德巴赫猜想的令人信服的理由。但是你聰明的朋友總是能夠想到一個不在列表中的偶數，並問你怎麼知道哥德巴赫猜想對於那個數字是真的。所有（無限多個）偶數都不可能出現在列表中。只有數學證明——從基本原理出發，證明哥德巴赫猜想對於每個偶數都成立的邏輯論證——才足以將猜想提升為定理或事實。直到今天，還沒有人能夠提供這樣的證明。
哥德巴赫猜想說明了數學的發現階段和證明階段之間的關鍵區別。在發現階段，人們尋求壓倒性的數學事實證據——在經驗科學中，這通常是最終目標。但數學事實需要證明。
模式和證據幫助數學家篩選數學發現並決定要證明什麼，但它們也可能具有欺騙性。例如，讓我們構建一個數字序列：121、1211、12111、121111、1211111，依此類推。讓我們做一個猜想：序列中的所有數字都不是質數。很容易收集到支援這個猜想的證據。你可以看到 121 不是質數，因為 121 = 11 × 11。同樣，1211、12111 和 121111 都不是質數。這種模式持續了一段時間——足夠長，你可能會厭倦檢查——但隨後突然失效。這個序列中的第 136 個元素（即數字 12111...111，其中 136 個“1”跟在“2”之後）是質數。
很容易認為現代計算機可以透過讓你在序列中測試更多數字來幫助解決這個問題。但是，有一些數學模式的例子，它們在前 1042 個序列元素中成立，然後失效。即使擁有世界上所有的計算能力，你也永遠無法測試那麼多數字。
即便如此，數學過程的發現階段仍然非常重要。它揭示了隱藏的聯絡，例如哥德巴赫猜想。通常，數學的兩個完全不同的分支被深入地孤立研究，然後才發現它們之間存在深刻的關係。一個相對簡單的例子是尤拉恆等式，eiπ + 1 = 0，它透過數字 e（自然對數的底數）將幾何常數 π 與代數上定義為 –1 的平方根的數字 i 連線起來。這些令人驚訝的發現是數學之美和好奇心的一部分。它們似乎指向數學家才剛剛開始理解的深刻的底層結構。
從這個意義上說，數學既感覺是發明，又是發現。研究物件被精確定義，但它們具有了自己的生命，揭示了意想不到的複雜性。因此，數學過程似乎要求將數學物件同時視為真實和發明——既是具有具體的、可發現的屬性的物件，又是易於操縱的心靈發明。正如哲學家佩內洛普·馬迪所寫，然而，這種二元性對數學家的工作方式沒有影響，“只要雙重思想是可以接受的。”
真實還是虛幻？
數學實在論是一種哲學立場，它似乎在發現階段佔據主導地位：數學研究的物件——從圓和質數到矩陣和流形——是真實的，並且獨立於人類的思想而存在。就像天文學家探索遙遠的行星或古生物學家研究恐龍一樣，數學家正在收集對真實實體的見解。例如，要證明哥德巴赫猜想是正確的，就是要表明偶數和質數透過加法以特定方式相關聯，就像古生物學家可能會透過表明一種恐龍的解剖結構與另一種恐龍的解剖結構相關來表明一種恐龍是從另一種恐龍進化而來的一樣。
實在論的各種表現形式，例如柏拉圖主義（靈感來自希臘哲學家的柏拉圖形式理論），很容易解釋數學的普遍性和實用性。數學物件具有屬性，例如 7 是質數，就像恐龍可能具有飛行能力一樣。數學定理，例如兩個偶數之和是偶數，之所以為真，是因為偶數確實存在，並且彼此之間存在特定的關係。這解釋了為什麼不同時代、地域和文化背景的人們通常對數學事實達成一致——他們都參考相同的固定物件。
但是，對實在論有一些重要的反對意見。如果數學物件真的存在，那麼它們的屬性肯定非常奇特。首先，它們在因果關係上是惰性的，這意味著它們不能成為任何事物的原因，因此您無法真正與它們互動。這是一個問題，因為我們似乎是透過物體的影響來獲得關於物體的知識的。恐龍分解成古生物學家可以看到和觸控的骨頭，行星可以從恆星前面經過，阻擋恆星的光線進入我們的視野。但是圓是一個抽象物件，獨立於空間和時間。π 是圓的周長與直徑之比這一事實與蘇打水罐或甜甜圈無關；它指的是一個抽象的數學圓，其中距離是精確的，圓上的點是無限小的。這樣一個完美的圓在因果關係上是惰性的，而且似乎是無法接近的。那麼，如果沒有某種特殊的第六感，我們如何瞭解關於它的事實呢？
這就是實在論的困難之處——它無法解釋我們如何瞭解關於抽象數學物件的事實。所有這一切都可能導致數學家從他們典型的實在論立場退縮，並抓住數學過程的第一步：發明。透過將數學定義為純粹的形式化思維練習或完全虛構，反實在論很容易避開認識論問題。
形式主義，一種反實在論，是一種哲學立場，它斷言數學就像一個遊戲，數學家只是在玩遊戲的規則。陳述 7 是質數就像陳述騎士是唯一可以以 L 形移動的棋子。另一種哲學立場，虛構主義，聲稱數學物件是虛構的。那麼，陳述 7 是質數就像陳述獨角獸是白色的。數學在其虛構的宇宙中是有意義的，但在其之外沒有任何實際意義。
存在不可避免的權衡。如果數學只是虛構的，那麼它怎麼能成為科學的必要組成部分呢？從量子力學到生態學模型，數學都是一種廣泛而精確的科學工具。科學家們並不期望粒子按照象棋規則移動，也不期望餐盤上的裂縫模仿漢賽爾和格蕾特的路徑——科學描述的負擔完全放在數學上，這使它與其他遊戲或虛構區分開來。
最後，這些問題並不影響數學的實踐。數學家可以自由選擇自己對職業的解釋。在《數學經驗》一書中，菲利普·戴維斯和魯本·赫什著名地寫道：“典型的在職數學家在工作日是柏拉圖主義者，在週日是形式主義者。” 透過精確的過程（包括髮明和發現）來引導所有分歧，數學家在產生學科共識方面非常有效。