彩票真的是一個好的賭注嗎？

這裡有一個思想挑戰給你：假設我從過去九年中選擇了一個特定的秒。在2014年11月到今天之間，我正在思考一個特定的（並且完全隨機的）年、月、日、小時、分鐘和秒。你能猜到嗎？沒機會？你猜對一個特定秒的可能性比你贏得強力球彩票的可能性更大。

上個月的強力球頭條新聞是因為其獎金超過了驚人的17億美元，是該遊戲歷史上的第二大獎金（中獎者尚未認領他們的獎金）。每個人都知道你中彩票的機率比渺茫還要渺茫。但是，當累積滾存的頭獎達到創紀錄的規模時，潛在的鉅額獎金是否有可能抵消中獎的稀有性？換句話說，彩票真的是一個好的賭注嗎？答案可能會讓你感到驚訝，即使是一個好的賭注，從數學角度來看，也可能最終成為一個壞主意。

數學家有時使用一個稱為期望值的概念來區分好的賭注和壞的賭注。考慮一下對擲骰子結果下注的例子。選擇一個介於一到六之間的數字需要花費 1 美元。如果你猜對了點數，你贏 1 美元；如果你猜錯了，你輸掉你的 1 美元。你會接受這個賭注嗎？這似乎不公平，因為你可能贏得的金額與你可能輸掉的金額（1 美元）完全相同，但你更有可能輸（六次擲骰子中有五次輸）。

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如果玩一次只需花費 1 美元，但如果您猜對了，您將贏得 100 美元呢？突然間，獎金感覺足夠大，可以彌補輸的可能性。一些機率推理可以準確地告訴我們，什麼臨界值應該讓人感到有玩的衝動，而不是不屑一顧。

顯然，相關的變數是：玩一次的成本、你可能贏得的金額以及獲勝的機率。賭注的期望值變成一個加權平均值，其中可能的結果（輸贏）根據每次發生的機率進行加權

賭注的期望值 = (獲勝機率) x (獲勝金額) – (失敗機率) x (失敗金額)

這個方程的解揭示瞭如果你多次下注，從長遠來看，你每次下注可以期望贏得多少錢（或者如果它是負數，則輸掉多少錢）。例如，對於我們對擲骰子結果的 1 美元賭注，獲勝的機率是 ⅙，而失敗的機率是 ⅚，我們可能輸或贏 1 美元。

期望值 = (⅙) x (1 美元) – (⅚) x (1 美元) = –.667

如果我們多次進行這個賭注，那麼從長遠來看，我們預計平均每次賭注會損失約 67 美分。用 100 美元的獎金進行類似的計算，得出的期望值幾乎為 16 美元，顯然是一個好的賭注。這個框架還允許我們計算一個賠率，在該賠率下，賭注是完全均等的，從長遠來看，期望值為 0 美元。對於擲骰子，這個均衡賠率是 5 美元，因為你輸的可能性是贏的五倍；因此，比成本大五倍的獎勵可以平衡風險。

讓我們將期望值視角應用於強力球。頭獎從大約 2000 萬美元開始，一張彩票僅售 2 美元。中頭獎的機率：292,201,338 分之一。計算這些數字，這張彩票的期望值約為 –1.93 美元。如果你用這兩美元換成一角錢，你會得到更多的價值。

為了簡單起見，此計算忽略了幾個微妙之處。首先，它假設你選擇年金選項，該選項在 29 年內分期支付你的獎金，而不是一次性現金支付（從長遠來看，年金更有價值）。其次，稅收確保你永遠不會滿載而歸。贏得大獎會將你納入最高稅級，因此你 37% 的意外之財最終將歸於山姆大叔（這不包括州稅，各州州稅各不相同）。強力球還為部分匹配的號碼頒發較小的獎金，而我們只考慮了頭獎。我遺漏了一個更重要的考慮因素，我將在下面討論。但是，將所有這些細節納入數學計算只會使 –1.93 美元看起來很慷慨——這張彩票實際上價值更低。

儘管如此，2000 萬美元的頭獎與上個月的 17 億美元相比仍然相形見絀。如果無人贏得頭獎，則累積的總獎金將滾存到下一次開獎。當獎池連續數週持續增長時，肯定會有一個點，巨大的獎金會使中獎的極小機會相形見絀，就像 100 美元的骰子獎勵彌補了僅六分之一的猜中機會一樣。畢竟，匹配所有六個號碼的機率不會改變，彩票的成本也不會增加。事實證明，不僅鉅額頭獎通常仍然是糟糕的賭注，而且它們也自相矛盾地往往是更糟糕的賭注。

數十億美元的獎金似乎可以抵消大約三億分之一的中獎機會，從而使彩票的期望值為正值。事實上，這種說法經常在圍繞鉅額頭獎的媒體熱議中流傳。但這忽略了一個關鍵細節：多人可能中頭獎，因此會分攤獎金。我們需要在期望值計算中新增更多項，以考慮所有可能的結果，例如（持有唯一中獎彩票的機率）x（頭獎）+（與另一張彩票分攤頭獎的機率）x（一半頭獎）等。

我們已經確定中彩票需要克服極低的機率。同一期開獎中出現兩個中獎者難道不是意味著超級加倍低的機率嗎？有時是這樣，但是當售出數億張彩票時，碰撞實際上可能變得比不碰撞更可能。例如，有史以來第一個達到十億美元的頭獎出現在 2016 年，並且超額完成，達到 15.6 億美元。圍繞新紀錄的炒作引發了購買狂潮，售出了超過 6.35 億張彩票。（這比當年強力球平均開獎售出的彩票數量多 20 倍以上。）由於有如此多的彩票在流通，多箇中獎者的機率超過了 60%！事實上，在 2016 年，最終有三位中獎者分攤了鉅額獎金。當考慮到玩家總數、預扣稅款和部分匹配的二等獎時，即使是這個鉅額頭獎也沒有提供正的期望值。我們在上面對 2000 萬美元的強力球期望值計算中省略了分攤獎金的細節，因為較小的頭獎吸引的人群較少，並且分攤的機率可以忽略不計。此外，在 –1.93 美元的負期望值下，我們幾乎不需要另一個因素來說服我們這是一個糟糕的賭注。

旁註：60% 的數字假設彩票號碼是隨機選擇的，但事實並非如此。即使所有六個彩票號碼序列中獎的機率都相同，但許多人會手動選擇他們的號碼，並且他們傾向於選擇對他們有意義的序列，例如生日或週年紀念日（這導致許多數字低於 31）。人們似乎也更喜歡奇數和非 10 的倍數的數字，也許是因為它們看起來更隨機。這種行為增加了具有較小隨機外觀數字的開獎中分攤獎金的機會，但降低了其他開獎中分攤獎金的機會。因此，雖然你不能增加你的號碼被抽中的機會，但你可以透過選擇大的偶數幷包括 10 的倍數來降低你分攤頭獎的機會。

自 2016 年以來，購買狂潮已經消退。事實上，彩票歷史上兩個最大的頭獎（上個月和去年）吸引的購買者足夠少，即使在調整了稅收和分攤獎金等注意事項後，彩票的期望值也轉為正值。彩票偶爾會提供我們這裡所說的“好的賭注”。較小的州彩票甚至可能是尋找正期望值的更好場所，因為它們往往產生的炒作較少，售出的彩票也較少。

但先別急著清空你的應急資金去最近的便利店。儘管承認彩票的期望值偶爾可能看起來很有吸引力，但我還是要退一步解釋為什麼我仍然認為彩票是一個糟糕的賭注。

具有正期望值的彩票很少見。而且至關重要的是，你可能無法及時識別出來以下注，因為彩票銷售數字不會在開獎前公佈。正如我們所見，更大的頭獎並不一定意味著更大的期望值。因此，雖然偶爾的彩票提供了一個好的賭注，但預測哪些彩票是一個賭博本身。即使你可以識別出它們，期望值實際上可能不是“好的賭注”的最佳代表。期望值對於中等規模的問題（如 100 美元的擲骰子）很有用，但可能不足以捕捉像彩票這樣的極端情況下的所有相關考慮因素。事實證明，有時即使是一個好的賭注也是一個壞主意。

首先，期望值是以長期行為為前提的。當你對我們 100 美元的擲骰子下注時，你實際上並不期望贏得 16 美元。事實上，你不可能贏得 16 美元，你要麼輸掉 1 美元，要麼贏得 100 美元。16 美元是你如果持續重複玩，平均每次下注預期會贏的金額。彩票中獎非常罕見，以至於永遠無法實際實現這種長期平均值。其次，隨著你不斷積累更多，金錢會貶值。你的第二個 5000 萬美元不會給你帶來像你的第一個 5000 萬美元那樣多的快樂。期望值分析平等地對待每一美元，並且不考慮邊際收益遞減。與此相關的是，期望值忽略了個人風險規避。人們往往比喜歡贏錢更不喜歡賠錢。這就是為什麼，雖然期望值非常適合對機率系統進行數學評估，但它並不能完全模擬人類心理和決策。

現在回到我對退一步的退一步：一張彩票花費 2 美元。玩家不是在購買一項投資，他們是在購買幾天幻想的許可。我們都進行過無聊的購買，而且其中大多數購買都不可能給我們帶來財富。花在彩票上的錢也不會只是被傾倒入大海。大部分收入用於資助教育等公共服務。甚至有一些研究表明，玩遊戲帶來的期待讓人快樂，無論結果如何。因此，雖然我不能在數學基礎上推薦玩彩票，但幸福的生活不僅僅是數學。或者我是這麼被告知的。

這是一篇觀點和分析文章，作者或作者表達的觀點不一定代表《大眾科學》的觀點。