編者注：去年，基礎問題研究所的第三次論文競賽向物理學家和哲學家提出了以下問題：“現實是數字的還是模擬的？” 組織者期望參賽者站在數字一邊。畢竟，量子物理學中的“量子”一詞意味著“離散”——因此是“數字”。然而，許多最佳論文認為世界是模擬的。其中一篇是戴維·唐的參賽作品，他獲得了二等獎。本文是他的論文的一個版本。
在 19 世紀後期，著名的德國數學家利奧波德·克羅內克宣稱：“上帝創造了整數，其餘一切都是人的工作。” 他認為整數在數學中起著 фундаментальную роль. 對於今天的物理學家來說，這句話有著不同的共鳴。它與過去幾十年來越來越普遍的一種信念有關：自然本質上是離散的——物質和時空的構建基塊可以一個接一個地數出來。這個想法可以追溯到古代希臘的原子論者，但在數字時代具有額外的效力。許多物理學家開始將自然世界視為一臺巨大的計算機，它由離散的資訊位描述，物理定律是一種演算法，就像 1999 年電影《駭客帝國》結尾尼奧看到的綠色數字雨。
然而，物理定律真的是這樣運作的嗎？儘管這似乎與時代精神相悖，但我，以及許多其他人，認為現實最終是模擬的而不是數字的。 在這種觀點中，世界是一個真正的連續體。無論你放大多少倍，你都不會找到不可約的構建基塊。物理量不是整數，而是實數——連續數，小數點後有無限位數字。 令《駭客帝國》迷們失望的是，已知的物理定律具有沒有人知道如何在計算機上模擬的特徵，無論其記憶體有多少位元組。理解這些定律的這一方面對於發展完全統一的物理理論至關重要。
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古老的謎題
數字與模擬之間的爭論是物理學中最古老的爭論之一。原子論者認為現實是離散的，而亞里士多德等其他希臘哲學家則認為現實是連續體。在 17 世紀和 18 世紀的艾薩克·牛頓時代，自然哲學家們在粒子（離散）理論和波動（連續）理論之間左右為難。到了克羅內克時代，原子論的擁護者，如約翰·道爾頓、詹姆斯·克拉克·麥克斯韋和路德維希·玻爾茲曼，能夠推匯出化學、熱力學和氣體定律。但許多科學家仍然不相信。
1909 年諾貝爾化學獎獲得者威廉·奧斯特瓦爾德指出，熱力學定律僅指能量等連續量。同樣，麥克斯韋的電磁理論將電場和磁場描述為連續的。後來成為量子力學先驅的馬克斯·普朗克在 1882 年完成了一篇有影響力的論文，最後寫道：“儘管原子理論迄今為止取得了巨大的成功，但最終它將被放棄，轉而採用連續物質的假設。”
連續陣營最強有力的論據之一是離散性的表面上的任意性。例如：太陽系中有多少顆行星？我在學校被告知有九顆。2006 年，天文學家正式將冥王星從行星 A 級名單中降級，只剩下八顆。與此同時，他們引入了矮行星的 B 級名單。如果你包括這些，數量增加到 13 個。簡而言之，關於行星數量問題的唯一誠實答案是，這取決於你如何計數。海王星以外的柯伊伯帶包含的物體大小從幾微米到幾千公里不等。只有當你對什麼是行星、什麼是矮行星以及什麼只是一塊岩石或冰塊做出相當隨意的區分時，你才能計算出行星的數量。
量子力學最終改變了數字-模擬辯論。行星的定義可能是任意的，但原子或基本粒子的定義不是。標記化學元素的整數——我們現在知道，這些整數計算的是其組成原子中質子的數量——是客觀的。無論物理學發生什麼發展，我都很樂意打賭，我們永遠不會觀察到原子序數為 √500 的元素，它位於鈦和釩之間。原子物理學中的整數將永遠存在。
另一個例子發生在光譜學中，即研究物質發射和吸收的光。特定型別的原子只能發射非常特定顏色的光，從而為每個原子產生獨特的指紋。與人類指紋不同，原子光譜遵循固定的數學規則。而這些規則受整數支配。最早嘗試理解量子理論的嘗試，最著名的是丹麥物理學家尼爾斯·玻爾，將離散性置於其核心。
湧現的整數
但玻爾的說法不是最終定論。埃爾溫·薛定諤在 1925 年開發了一種基於波動思想的量子理論的替代方法。他制定的描述這些波如何演化的方程只包含連續量——沒有整數。然而，當你為特定系統求解薛定諤方程時，會發生一點數學魔法。以氫原子為例：電子以非常特定的距離繞質子執行。這些固定的軌道轉化為原子的光譜。原子類似於風琴管，即使空氣運動是連續的，它也會產生離散的音符系列。至少就原子而言，教訓很明確：上帝沒有創造整數。他創造了連續數，其餘的都是薛定諤方程的工作。
換句話說，整數不是理論的輸入，正如玻爾所認為的那樣。它們是輸出。整數是物理學家所說的湧現量的一個例子。在這種觀點中，“量子力學”一詞用詞不當。從根本上說，該理論不是量子的。在氫原子等系統中，該理論描述的過程從潛在的連續性中塑造出離散性。
也許更令人驚訝的是，原子或任何基本粒子的存在也不是我們理論的輸入。物理學家經常教導說，自然的構建基塊是離散粒子，如電子或夸克。這是一個謊言。我們理論的構建基塊不是粒子，而是場：遍佈空間的連續、流體狀物體。電場和磁場是熟悉的例子，但也有電子場、夸克場、希格斯場以及更多場。我們稱之為基本粒子的物體不是基本的。相反，它們是連續場的漣漪。
懷疑論者可能會說，物理定律確實包含一些整數。例如，這些定律描述了三種中微子、六種夸克（每種夸克都有三種稱為顏色的變體），等等。到處都是整數，整數。或者有嗎？所有這些例子實際上都在計算標準模型中粒子種類的數量，當粒子相互作用時，這個量非常難以在數學上精確化。粒子可以突變：中子可以分裂成質子、電子和中微子。我們應該將其計為一個粒子還是三個粒子或四個粒子？關於存在三種中微子、六種夸克等等的說法是忽略粒子之間相互作用的產物。
這是物理定律中整數的另一個例子：觀察到的空間維度數是三個。或者真的是這樣嗎？已故著名數學家本華·曼德博指出，空間維數不必是整數。例如，英國的海岸線維度約為 1.3。此外，在許多提出的物理學統一理論中，例如弦理論，空間維度是模糊的。空間維度可以湧現或消解。
我敢說，在所有物理學中可能只出現一個真正的整數。物理定律指的是一個時間維度。如果沒有恰好一個時間維度，物理學似乎會變得不一致。
非離散的思想
即使我們當前的理論假設現實是連續的，我的許多物理學家同行也認為，離散現實仍然是連續性的基礎。他們指出了連續性如何從離散性中湧現出來的例子。在日常經驗的宏觀尺度上，玻璃杯中的水看起來是光滑且連續的。只有當你非常非常仔細地觀察時，你才會看到原子成分。這種型別的機制是否可能位於物理學的根源？也許如果我們從更深層次觀察，標準模型的平滑量子場，甚至時空本身，也會揭示潛在的離散結構。
我們不知道這個問題的答案，但我們可以從 40 年來在計算機上模擬標準模型的努力中獲得一些線索。為了執行這樣的模擬，首先必須採用用連續量表示的方程，並找到與計算機交易的資訊位相容的離散公式。儘管經過數十年的努力，但沒有人成功做到這一點。它仍然是理論物理學中最重要但又很少被提及的開放性問題之一。
物理學家開發了一種稱為格點場論的量子場的離散化版本。它用一組點替換時空。計算機評估這些點上的量以逼近連續場。然而，該技術具有侷限性。困難在於電子、夸克和其他物質粒子，稱為費米子。奇怪的是，如果你將費米子旋轉 360 度，你不會發現與你開始時相同的物體。相反，你必須將費米子旋轉 720 度才能回到同一個物體。費米子抵抗被放在格子上。在 20 世紀 80 年代，哥本哈根尼爾斯·玻爾研究所的霍爾格·貝克·尼爾森和現在日本岡山量子物理研究所的二宮正夫證明了一個著名的定理，即不可能離散化最簡單的費米子。
這樣的定理僅與其假設一樣強大，在 20 世紀 90 年代，理論家，最著名的是華盛頓大學的戴維·卡普蘭和羅格斯大學的赫伯特·諾伊伯格，引入了各種創造性的方法將費米子放置在格子上。量子場論有許多可以想象到的變體，每種變體都有不同型別的費米子，現在人們幾乎可以在格子上制定每一種變體。只有一類量子場論是人們不知道如何放在格子上的。不幸的是，這一類包括標準模型。我們可以處理各種假設的費米子，但不能處理實際存在的費米子。
標準模型中的費米子具有非常特殊的性質。那些逆時針旋轉的費米子感受到弱核力，而那些順時針旋轉的費米子則沒有。該理論被稱為手徵理論。手徵理論很微妙。被稱為反常的微妙效應總是威脅到使其不一致。到目前為止，這類理論一直抵制在計算機上建模的嘗試。
然而，手徵性不是標準模型的一個錯誤，可能會在更深層次的理論中消失；它是一個核心特徵。乍一看，基於三種相互關聯的力的標準模型似乎是任意構建的。只有在考慮手徵費米子時，它的真正美才顯現出來。這是一個完美的拼圖遊戲，三塊拼圖以唯一可能的方式鎖定在一起。標準模型中費米子的手徵性質使一切都恰到好處。
科學家們不太確定如何理解我們無法在計算機上模擬標準模型。很難從未能解決問題中得出強烈的結論；很可能這個難題只是一個非常困難的難題，等待著用傳統技術來解決。但是問題的某些方面比這更深入。所涉及的障礙與拓撲學和幾何學的數學密切相關。將手徵費米子放置在格子上的困難可能是在告訴我們一些重要的事情：物理定律本質上不是離散的。我們沒有生活在計算機模擬中。