為何美即是真：《對稱史》
作者：伊恩·斯圖爾特
基礎圖書出版社，2007年
伊恩·斯圖爾特的書名（他已撰寫超過60本書）當然取自約翰·濟慈的《希臘古甕頌》中那兩句神秘的結尾行
“美即是真，真即是美”，——這就是你們在世上所知的一切，也是你們需要知道的一切。
但濟慈到底是什麼意思呢？ T. S. 艾略特稱這兩行為“毫無意義”，是“一首美麗的詩歌的嚴重瑕疵”。約翰·西蒙在一部電影評論的開頭寫道：“藝術的最大問題之一——或許是最大的問題——是真不是美，美不是真。 這也不是我們需要知道的一切。”斯圖爾特是英國華威大學的傑出數學家，也是本雜誌“數學娛樂”專欄的前作者，他關注的是濟慈的這兩行詩如何應用於數學。“只有歐幾里得見過赤裸的美，”埃德娜·聖文森特·米萊寫道。 對於數學家來說，偉大的定理和偉大的證明，例如歐幾里得對素數無窮性的優雅證明，都具有伯特蘭·羅素所描述的“冷峻而樸素的美”，類似於偉大的雕塑作品的美。
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斯圖爾特的前10章以他一貫輕鬆的風格寫成，構成了一部名副其實的數學史，重點是對稱的概念。 當您對數學物件執行操作，使其在操作後看起來相同，您就發現了一種對稱性。 一個簡單的操作是旋轉。 無論您如何轉動網球，它都不會改變球的外觀。 據說它具有旋轉對稱性。 大寫字母“H”具有180度旋轉對稱性，因為它在倒置時保持不變。 它也具有映象反射對稱性，因為它在鏡子中看起來相同。 納粹標誌具有90度旋轉對稱性，但缺乏映象反射對稱性，因為其映象會向另一個方向旋轉。
每種對稱性都與一個“群”相關聯。 斯圖爾特透過考慮對等邊三角形的操作，以簡單的方式解釋了群的概念。 將其沿任一方向旋轉60度，它看起來都相同。 每個操作都有一個“逆”操作，可以取消該操作。 想象一下三角形的角標為A、B和C。 順時針旋轉60度會改變角的位置。 如果隨後進行類似的反向旋轉，則原始位置將恢復。 如果您對三角形不做任何操作，則稱為“恆等”操作。 三角形的所有對稱變換的集合構成了它的群。
斯圖爾特的歷史從巴比倫和希臘數學開始，以初中生可以理解的方式介紹了他們的基本概念。 隨著歷史的推進，數學逐漸變得更加技術性，尤其是在他講到複數及其後代四元數和八元數時。 歷史以索弗斯·李的發現結束，李群以他的名字命名，以及鮮為人知的德國數學家約瑟夫·基林的工作，他將李群進行了分類。 在這段歷史部分中，斯圖爾特巧妙地將數學與所涉及數學家生動的生活寫照交織在一起。
直到本書的後半部分，斯圖爾特才轉向物理學，並解釋了對稱性和群論如何成為必要的工具。 關於阿爾伯特·愛因斯坦的一章是基本相對論和愛因斯坦生活細節的完美結合。 接下來是量子力學和粒子理論，其中有幾頁關於超弦，這是當今理論物理學中最熱門的話題。 斯圖爾特對弦理論持懷疑態度，該理論認為所有基本粒子都是微小得難以想象的振動能量絲，可以是開口的，也可以像橡皮筋一樣閉合。 他沒有提及最近出版的兩本書（在2006年9月出版的《大眾科學》雜誌上評論過），這兩本書對弦理論進行了嚴厲的抨擊。 李·斯莫林的《物理學的困境》譴責弦理論“根本不是一個理論”，只是一堆古怪的猜測，以尋找一個可行的理論。 彼得·沃伊特的書名為《甚至不是錯誤的》，引自偉大的奧地利物理學家沃爾夫岡·泡利。 他曾將一個理論描述為如此糟糕，以至於“甚至不是錯誤的”。
弦理論是美麗的嗎？ 它的推廣者認為如此。 斯莫林和沃伊特認為，它最近被吸收到一個更豐富的猜想，稱為M理論，已經將以前弦的美麗變成了像托勒密發明的本輪那樣醜陋的數學結構，以解釋行星繞地球執行的軌道。
我們又回到了濟慈那句臭名昭著的詩句的謎團。 我認為約翰·西蒙是對的。 即使是美麗的數學證明也可能是錯誤的。 1879年，阿爾弗雷德·肯普爵士發表了四色地圖定理的證明。 它非常優雅，以至於在10年內被認為是可靠的。 可惜，事實並非如此。 英國偉大的謎題製造者亨利·杜德尼發表了一個更簡短，甚至更漂亮的錯誤證明。
在《新的雙映象宇宙》中，我寫了關於原子渦旋理論。 這種19世紀流行的猜想與超弦有著驚人的相似之處。 它認為原子不是點狀的，而是極其微小的能量環，以不同的頻率振動。 它們是瀰漫在以太中的微小漩渦，以太是一種剛性的、無摩擦的物質，當時被認為瀰漫在整個空間中。 原子具有結和鏈的結構，它們的形狀和振動產生了所有元素的性質。 一旦由全能的上帝創造出來，它們將永遠存在。
在研究渦旋理論時，我遇到了許多著名物理學家的陳述，包括開爾文勳爵和詹姆斯·克拉克·麥克斯韋，他們暗示渦旋理論太美了，不可能是真的。 關於該主題的論文激增，關於它的書籍也出版了。 蘇格蘭數學家彼得·泰特的渦旋原子工作導致了結理論的進步。 泰特預測，需要幾代人才能發展出該理論的數學基礎。 儘管渦旋理論看起來很美，但事實證明這是一條通往虛無的輝煌道路。
斯圖爾特在他的書的結尾總結了兩條格言。 第一條是：“在物理學中，美並不自動確保真理，但它有所幫助。” 第二條是：“在數學中，美必須是真實的——因為任何虛假的東西都是醜陋的。” 我同意第一句話，但不同意第二句話。 我們已經看到了肯普和杜德尼的可愛證明是如何存在缺陷的。 此外，對於一些簡單陳述的定理，醜陋的證明可能是唯一可能的證明。
讓我引用兩個最近的例子。 四色地圖定理的證明需要一份巨大的、密集的計算機列印輸出，以至於只能透過其他計算機程式進行檢查。 儘管在保羅·埃爾德什所說的“上帝之書”中可能記錄了一個美麗的證明——他認為這本書包含了數學的所有定理及其最美麗的證明——但上帝之書中可能沒有這樣的證明。 安德魯·懷爾斯對費馬最後定理的證明也是如此。 它不是基於計算機的，但它太長太複雜，不能稱之為美麗。 對於這個定理可能沒有美麗的證明。 當然，數學家們總是可以希望並相信情況並非如此。
由於對稱性是將斯圖爾特令人欽佩的歷史書頁粘合在一起的膠水和膠帶，因此劉易斯·卡羅爾不朽的無厘頭歌謠《獵鯊記》中的一節詩可以作為本書的題詞
你把它放在鋸末裡煮：你用膠水把它醃製
你用蝗蟲和膠帶把它凝結
仍然牢記一個主要目標——
保持其對稱形狀。