資訊理論找到了最佳 Wordle 起始詞

在 COVID 疫情肆虐並限制我們休閒選擇的過去幾年裡，您是如何度過的？軟體開發者 Josh Wardle 和他的伴侶透過 《紐約時報》 的填字遊戲打發時間。有一次，Wardle 想起了幾年前他想到的一個類似遊戲的想法。

他隨後建立的這個名為 Wordle 的文字遊戲，以他的姓氏命名，在 2022 年一炮而紅。Twitter 時間線充斥著 Wordle 的結果。儘管這個遊戲圍繞著猜測一個每天都在變化的單詞，但其背後有很多數學原理。

Wardle 在 2013 年提出了這個基本想法。您有六次嘗試來正確確定一個五個字母的單詞。您首先輸入一個單詞——例如，“start”——透過在五個空欄位中輸入字母。之後，這些欄位會改變顏色。如果字母在答案詞的完全相同的位置出現，則變為綠色；如果字母包含在答案詞的不同位置，則變為黃色；如果字母不是答案詞的一部分，則變為灰色。根據這些線索，您可以輸入第二個單詞並收集有關答案詞字母的資訊，直到您找到您正在尋找的答案。這個原理有點讓人想起 20 世紀 70 年代流行的遊戲 Mastermind。

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您可以輸入任何由五個字母組成的英文單詞，大約有 10,000 個。然而，由於該列表也包含非常不常見的表達方式，例如 “aahed”（“aah” 的過去式），因此答案詞是 一個更短的 2,309 個常用英語詞彙列表 的一部分。目標是在儘可能少的嘗試次數內找到答案詞。更令人興奮的是，您不能連續玩多次遊戲。每天只有一個答案詞——而且對於世界各地的所有玩家來說都是同一個詞。這種變化賦予了遊戲一種社交成分，這可能促成了它的流行。

意想不到的成功

但 Wardle 的目標根本不是全球性的廣受歡迎。他在 2021 年初再次拾起他的 Wordle 想法，製作一個易於使用的遊戲，以便和他的伴侶一起打發時間。有幾個月，他們是僅有的兩個使用者。在某個時候，他們的家人聽說了這個遊戲，Wardle 在 2021 年 10 月決定 在他的個人網站 上免費提供它，並且沒有廣告。此後不久，Wordle 就火爆起來。2021 年 11 月 1 日，每天有 90 位使用者玩 Wordle；到 2022 年 1 月 1 日，這個數字已經達到 30 萬。又過了一週，這個遊戲就有了 200 萬用戶。

2022 年 1 月，《紐約時報》宣佈它 已收購 Wordle 的版權，價格為七位數美元的低端。這進一步擴大了遊戲的覆蓋範圍。到 2022 年 3 月，全球 數千萬人 至少玩過一次 Wordle。該遊戲的一個特殊功能是，在玩完遊戲後，您可以將遊戲中的顏色程式碼（即彩色遊戲欄位）下載為表情符號，並在社交媒體上分享，以便與他人比較。 大多數人平均需要大約四次嘗試 才能解決一個 Wordle。任何少於這個次數都被認為是成功。

如果您曾經嘗試過 Wordle，那麼您就會知道結果很大程度上取決於您選擇的起始詞。例如，“start” 不是一個非常明智的第一次嘗試，因為它包含字母 T 兩次。您浪費了五個位置中的一個，您本可以在這些位置收集有關其他字母的資訊。當然，您可能會幸運，答案詞也可能包含兩個 T——但在所有其他情況下，您都不會獲得任何資訊。根據《紐約時報》的說法，最受歡迎的起始詞 是 “adieu” 或 “audio”。由於這兩個詞都由許多母音組成，它們很快就能清楚地表明答案詞中包含哪些字母。但這真的是最佳選擇嗎？

資訊內容與命中率

也許最好從諸如 “Texas” 這樣的詞開始。如果答案詞中包含像 X 這樣的稀有字母，您將在第一步中清除 2,309 個可能的答案中的很大一部分。事實上，只有 37 個可能的單詞包含 X。然而，X 不出現在答案詞中的機率很高。在這些情況下，該資訊幾乎沒有任何價值。如果一個人知道答案中沒有 X，則可能性僅從 2,309 個減少到 2,272 個。因此，玩家必須問：“我重視儘可能多地獲取資訊嗎？還是我寧願有很高的正確猜測字母的機率？”

資訊和機率相關的事實並不新鮮。數學家克勞德·夏農，資訊理論的創始人，認識到這一點，並考慮到這種關係，定義了資訊內容的度量。假設有一個包含可能事件的空間——在我們的例子中，是 Wordle 的 2,309 個答案詞。那麼，一條資訊對應於將解空間減半的反饋，例如，如果答案詞包含字母 S（例如，大約一半的答案至少包含一個 S）。

兩條資訊清除四分之三的答案——例如，當答案詞包含 T 時。而有了三條資訊，只剩下八分之一的單詞。這意味著，一個字母包含在答案中的可能性越大，其資訊內容就越小。

這個想法可以用數學方式表達。找到具有特定屬性（例如字母 A）的單詞的機率 (p) 可以透過將包含 A 的單詞總數（表示為 M_A）除以所有單詞的數量 (M) 來計算。所以 p = M_A / M。與此同時，資訊 (I)，意思是“單詞包含 A”，將所有可能性的空間 (M) 減少了 ½^I 倍。我們可以將其表示為 M_A = ½^I x M。

透過將兩個方程式相互代入，可以得出一個結合了資訊內容和機率的公式：p = ½^I x M / M，所以 p = ½^I。這也可以反過來求解 I：I = –log₂p。

夏農在 1948 年 發現了機率和資訊內容之間這種驚人的聯絡。根據 1971 年 發表在《大眾科學》 上的一篇文章，夏農說：“我最關心的是如何稱呼 [這個新量 I]。我曾想稱它為 ‘資訊’，但這個詞用得太濫了，所以我決定稱它為 ‘不確定性’。當我與 [計算機科學家、物理學家和數學家] 約翰·馮·諾依曼討論時，他有一個更好的主意。馮·諾依曼告訴我，‘你應該稱它為熵，有兩個原因。首先，你的不確定性函式已經在統計力學中以這個名稱使用，所以它已經有一個名稱了。其次，也是更重要的，沒有人真正知道熵是什麼，所以在辯論中你將永遠佔據優勢。’”

從那時起，上面定義的量 I 就被稱為熵。

回到 Wordle。熵可以幫助我們找到合適的起始詞。一個詞的熵越高，資訊增益就越高。然而，高熵總是伴隨著低命中率，因此您應該找到這兩個因素的平衡，以選擇最佳的起始詞。

您可以計算所有可能輸入的熵期望值，正如數學家 Grant Sanderson 在他的 YouTube 頻道 3Blue1Brown 中所做的那樣。為了做到這一點，Sanderson 採取了以下步驟：首先，對於大約 10,000 個輸入詞中的每一個，他計算了基於 2,309 個答案詞可能出現的顏色模式的頻率。

例如，五個灰色方塊（所有字母都不正確）可能會出現 250 次。另一方面，一個綠色方塊後跟四個灰色方塊（第一個字母正確且位置正確）可能只出現 15 次，等等。顏色模式出現的頻率越高，在輸入一個單詞後遇到它的機率就越高。與此同時，顏色程式碼提供了可以用熵來衡量的資訊。由於一些答案詞被排除在外，因此解空間減少了。

為了找出您從起始詞中平均會獲得多少資訊，您可以計算每個可能的關聯顏色程式碼的熵，並用其出現的機率對其進行加權。換句話說，您可以計算期望值。事實證明，單詞 “soare”（一種幼鷹的過時術語）表現最佳，期望值為 5.89 位元。這意味著，如果您從這個詞開始，可能的答案詞空間將平均縮小到 2^–5.89，或可能性的 1.7%。因此，平均而言，仍然可能有大約 22 個答案詞。

從 “Soare” 開始，表現良好

Wordle 不僅包含一次猜測嘗試，而是多次。透過選擇兩個連續單詞的合適組合，與從 soare 開始相比，可能會更有效地限制可能的答案數量。

Sanderson 也遵循了這種方法。他按如下步驟進行：假設在輸入 soare 後，您得到五個灰色方塊。所以您只知道字母 S、O、A、R 和 E 不是答案詞的一部分。由此，Sanderson 檢查了對於所有可能的後續輸入，哪個第二顏色模式可能會出現，從而計算出第二個輸入詞的熵的期望值。如果在起始詞 soare 之後，所有欄位都是灰色的，則第二個輸入的最佳選擇是 “clint”。（順便說一下，clint 是一種堅硬的岩石。）

現在您可以搜尋對於在您輸入 soare 後可能出現的其他顏色模式，最合適的第二個單詞是什麼。例如，對於一個綠色方塊後跟四個灰色方塊，“thilk”（另一個過時的術語，意思是 “that” 或 “this”）給出了最佳結果。如果我們現在用相應的機率對第二個單詞的熵進行加權，我們得到的值為 4.11。這意味著，使用起始詞 soare，我們平均獲得 5.89 位元的資訊，而使用最佳的第二個單詞，我們又獲得 4.11 位元。如果一個人完美地玩 Wordle，那麼在兩次嘗試後，他將平均獲得 10 位元的資訊——也就是說，解空間將減少 2^–10 倍，平均留下 2.25 個答案詞。

“Slane” 作為更佳策略

如果您檢視兩個詞的最佳組合，另一個選擇被證明更強大：“slane”（一種用於挖掘泥炭的特殊鏟子）。這個起始詞平均僅提供 5.77 位元的資訊，但使用最佳的第二個輸入，您平均會收到另外 4.27 位元。這使總數達到 10.04 位元，並將 2,309 個可能性減少到平均 2.19 個單詞。

如果您想 設計一個儘可能精通的 Wordle 演算法，考慮第二個單詞的選擇非常重要。但對於人類玩家來說，這種策略可能並不重要。畢竟，不可能記住對於 slane 之後出現的每種顏色模式，哪個後續單詞最合適。因此，無論您使用 soare 還是 slane 開始遊戲，應該沒有太大區別。

然而，在玩 Wordle 時考慮資訊理論還是非常有用的，正如《量子雜誌》令人印象深刻地說明的那樣。假設您使用 “bloat” 開始遊戲，並得到灰色、灰色、灰色、黃色、黃色。那麼您就知道答案詞包含 A 和 T（但在不同的位置），並且不包含 B、L 或 O。其次，您嘗試用 “watch” 碰碰運氣，您幾乎就要成功了：第一個欄位是灰色的；其他四個是綠色的。所以第一個字母是錯誤的，但所有其他字母都是正確的。您接下來該怎麼做？

您現在可以簡單地猜測，例如，“match”。但是——假設您正在玩常規 Wordle，而不是困難模式——從資訊理論的角度來看，您應該輸入 “chimp”。

當然，chimp 不可能是答案。但它有助於縮小選擇範圍。在輸入 watch 之後，仍然有四個詞浮現在腦海：catch、hatch、match 和 patch。如果您一個接一個地輸入這些詞，您仍然可以贏得遊戲，但您可能會表現不佳。另一方面，輸入 chimp 會揭示哪個起始字母（C、H、M 或 P）是正確的。因此，您在四次嘗試後贏得了遊戲。如果您喜歡冒險，您當然可以碰碰運氣，並希望在第三次嘗試中猜對正確的答案。

無論如何，我將來會使用 soare 作為我的起始詞。讓我們看看我下一次 Wordle 需要多少次嘗試。在我居住的德國，每位玩家的平均嘗試次數為 4.01 次。在美國，這個數字是 3.92 次。也許藉助資訊理論，我們將在未來幾個月內設法擊敗記錄保持者瑞典（平均：3.72 次嘗試）。

本文最初發表在《明鏡週刊·科學》，經許可轉載。