隨便問一個人物理世界是由什麼構成的，你很可能會被告知是物質和能量。
然而，如果我們從工程學、生物學和物理學中學到了什麼，那就是資訊也同樣是至關重要的組成部分。汽車工廠的機器人配備了金屬和塑膠，但如果沒有大量的指令告訴它哪個零件焊接到哪個零件等等，它就什麼也做不了。你身體細胞中的核糖體配備了氨基酸構件，並由 ATP 轉化為 ADP 釋放的能量驅動，但如果沒有細胞核中 DNA 帶來的資訊，它就無法合成蛋白質。同樣，物理學一個世紀的發展告訴我們，資訊是物理系統和過程中至關重要的參與者。事實上，普林斯頓大學的約翰·A·惠勒發起了一個當前的趨勢，即將物理世界視為由資訊構成，而能量和物質只是附帶的。
這種觀點引發了對古老問題的新審視。硬碟驅動器等裝置的資訊儲存容量一直在飛速增長。這種進步何時停止？一個重量小於一克，可以裝入一立方厘米（大致相當於計算機晶片大小）的裝置的最終資訊容量是多少？描述整個宇宙需要多少資訊？這種描述可以裝入計算機的記憶體中嗎？正如威廉·布萊克令人難忘地寫道，我們能否在一粒沙子中看到一個世界，還是這個想法僅僅是詩意的許可？
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值得注意的是，理論物理學的最新發展回答了其中一些問題，而這些答案可能是最終現實理論的重要線索。透過研究黑洞的神秘特性，物理學家們推匯出了空間區域或物質和能量數量可以容納多少資訊的絕對限制。相關結果表明，我們感知到的具有三個空間維度的宇宙，實際上可能被寫在一個二維表面上，就像全息圖一樣。我們日常對世界的三維感知，要麼是一種深刻的錯覺，要麼僅僅是看待現實的兩種替代方式之一。一粒沙子可能無法包含我們的世界，但一個平面螢幕可能會。
兩種熵的故事
形式資訊理論起源於美國應用數學家克勞德·E·夏農 1948 年的開創性論文，他介紹了當今最廣泛使用的資訊內容度量：熵。長期以來，熵一直是熱力學的核心概念，熱力學是物理學中處理熱的分支。熱力學熵通常被描述為物理系統中的無序度。1877 年，奧地利物理學家路德維希·玻爾茲曼更精確地用構成一塊物質的粒子可能處於的不同的微觀狀態的數量來描述它，同時仍然看起來像同一塊宏觀物質。例如，對於您周圍房間裡的空氣，人們會計算單個氣體分子可能分佈在房間中的所有方式以及它們可能移動的所有方式。
當夏農尋找一種量化訊息中包含的資訊量的方法時，邏輯引導他得出了與玻爾茲曼公式形式相同的公式。訊息的夏農熵是編碼訊息所需的二進位制數字或位元數。夏農熵沒有啟發我們關於資訊價值的認識，資訊價值高度依賴於上下文。然而，作為資訊量的客觀度量，它在科學和技術領域非常有用。例如，從蜂窩電話到調變解調器再到光碟播放器，每一種現代通訊裝置的設計都依賴於夏農熵。
熱力學熵和夏農熵在概念上是等價的：玻爾茲曼熵計數的排列數量反映了實現任何特定排列所需的夏農資訊量。然而，這兩種熵有兩個顯著的區別。首先，化學家或製冷工程師使用的熱力學熵以能量除以溫度的單位表示，而通訊工程師使用的夏農熵以位元表示，本質上是無量綱的。這種差異僅僅是約定俗成的問題。
然而，即使簡化為通用單位，兩種熵的典型值在量級上也有很大差異。例如，攜帶千兆位元組資料的矽微晶片的夏農熵約為 1010 位元（一個位元組是八個位元），遠小於晶片的熱力學熵，在室溫下約為 1023 位元。這種差異的出現是因為熵是針對不同的自由度計算的。自由度是任何可以變化的量，例如指定粒子位置的座標或其速度的一個分量。晶片的夏農熵只關心矽晶體中蝕刻的每個微小電晶體的整體狀態——電晶體是開啟還是關閉；它是 0 還是 1——一個單一的二進位制自由度。
相比之下，熱力學熵取決於構成每個電晶體的所有數十億個原子（及其遊離電子）的狀態。隨著小型化使每個原子將為一個我們儲存一位資訊的那一天越來越近，最先進的微晶片的有用夏農熵將在量級上更接近其材料的熱力學熵。當為相同的自由度計算兩種熵時，它們是相等的。
什麼是最終的自由度？畢竟，原子是由電子和原子核組成的，原子核是質子和中子的聚集體，而質子和中子又是由夸克組成的。今天的許多物理學家認為電子和夸克是超弦的激發態，他們假設超弦是最基本的實體。但是，物理學一個世紀以來的啟示告誡我們不要固執己見。在我們宇宙中可能存在比今天的物理學夢想的更多的結構層次。
如果不瞭解物質的最終組成部分或最深層次的結構（我將其稱為 X 層次），就無法計算一塊物質的最終資訊容量，或者等效地，其真實的熱力學熵。（這種模糊性在分析實際熱力學時不會引起問題，例如汽車發動機的熱力學，因為原子內的夸克可以忽略不計——它們在發動機中相對溫和的條件下不會改變狀態。）鑑於小型化令人眼花繚亂的進步，人們可以開玩笑地設想有一天夸克將用於儲存資訊，也許每個夸克儲存一位資訊。那麼，我們的一釐米立方體可以容納多少資訊？如果我們利用超弦甚至更深層次、尚未夢見的層次，又會容納多少資訊？令人驚訝的是，過去三十年引力物理學的發展為這些看似難以捉摸的問題提供了一些明確的答案。
黑洞熱力學
這些發展的核心參與者是黑洞。黑洞是廣義相對論的結果，廣義相對論是阿爾伯特·愛因斯坦 1915 年提出的幾何引力理論。在該理論中，引力源於時空彎曲，這使得物體運動起來好像受到力的拉動一樣。反過來，曲率是由物質和能量的存在引起的。根據愛因斯坦的方程，足夠密集的物質或能量集中會使時空彎曲到極其嚴重的程度，以至於它會撕裂，形成黑洞。相對論定律禁止任何進入黑洞的東西再次出來，至少在物理學的經典（非量子）描述中是這樣。不歸路點，稱為黑洞的事件視界，至關重要。在最簡單的情況下，視界是一個球體，質量越大的黑洞，其表面積越大。
不可能確定黑洞內部是什麼。沒有詳細資訊可以跨越視界並逃逸到外部世界。然而，一塊物質在永遠消失在黑洞中時，確實留下了一些痕跡。它的能量（我們根據愛因斯坦的E = mc2 將任何質量都算作能量）永久地反映在黑洞質量的增量中。如果物質是在繞洞旋轉時被捕獲的，則其相關的角動量會新增到黑洞的角動量中。黑洞的質量和角動量都可以從它們對黑洞周圍時空的影響中測量出來。透過這種方式，黑洞維護了能量守恆定律和角動量守恆定律。另一條基本定律，熱力學第二定律，似乎被違反了。
熱力學第二定律總結了熟悉的觀察，即自然界中的大多數過程都是不可逆的：茶杯從桌子上掉下來摔碎了，但從來沒有人見過碎片自己跳起來並組裝成茶杯。熱力學第二定律禁止這種逆過程。它指出，孤立物理系統的熵永遠不會減少；最好的情況是，熵保持不變，通常情況下，熵會增加。這條定律是物理化學和工程學的核心；可以說，它是物理學之外影響最大的物理定律。
正如惠勒首先強調的那樣，當物質消失在黑洞中時，它的熵就永遠消失了，第二定律似乎被超越了，變得無關緊要。1970 年，德米特里奧斯·克里斯托多盧（當時是惠勒在普林斯頓大學的研究生）和劍橋大學的斯蒂芬·W·霍金獨立證明，在各種過程中，例如黑洞合併，事件視界的總面積永遠不會減少，這為解決這個難題提供了線索。與熵增加的趨勢的類比使我在 1972 年提出，黑洞的熵與它的視介面積成正比 [見上圖]。我推測，當物質落入黑洞時，黑洞熵的增加總是會補償或過度補償物質損失的熵。更一般地說，黑洞熵和黑洞外部的普通熵之和不會減少。這就是廣義第二定律——簡稱 GSL。
GSL 已經通過了大量嚴格的（如果只是純粹理論上的）測試。當一顆恆星坍縮形成黑洞時，黑洞熵大大超過了恆星的熵。1974 年，霍金證明黑洞會透過量子過程自發地輻射熱輻射，現在稱為霍金輻射 [參見斯蒂芬·W·霍金的《黑洞的量子力學》；《大眾科學》，1977 年 1 月]。克里斯托多盧-霍金定理在這種現象面前失效了（黑洞的質量，因此它的視介面積，會減少），但 GSL 可以應對它：湧現的輻射的熵超過了黑洞熵的減少量，因此 GSL 得到了保留。1986 年，雪城大學的拉斐爾·D·索金利用視界在阻止黑洞內部的資訊影響外部事務方面的作用，表明 GSL（或非常類似於它的東西）對於黑洞經歷的任何可以想象的過程都必須有效。他深刻的論證清楚地表明，進入 GSL 的熵是計算到 X 層次的熵，無論該層次可能是哪個層次。
霍金的輻射過程使他能夠確定黑洞熵與視介面積之間的比例常數：黑洞熵恰好是普朗克面積測量的事件視介面積的四分之一。（普朗克長度，約 1033 釐米，是與引力和量子力學相關的基本長度尺度。普朗克面積是它的平方。）即使從熱力學角度來看，這也是一個巨大的熵量。直徑為一釐米的黑洞的熵約為 1066 位元，大致等於邊長為 100 億公里的立方體水的熱力學熵。
世界如全息圖
GSL 允許我們設定任何孤立物理系統的資訊容量的界限，這些限制是指所有結構層次上的資訊，直到 X 層次。1980 年，我開始研究第一個這樣的界限，稱為通用熵界限，它限制了指定質量和指定大小可以攜帶多少熵 [參見對面頁面的方框]。斯坦福大學的倫納德·薩斯坎德在 1995 年設計了一個相關的想法，即全息界限。它限制了佔用指定空間體積的物質和能量可以包含多少熵。
在關於全息界限的工作中，薩斯坎德考慮了任何近似球形的孤立質量，該質量本身不是黑洞，並且適合面積為 A 的封閉表面內部。如果質量可以坍縮成黑洞，那麼該黑洞最終將具有小於 A 的視介面積。因此，黑洞熵小於 A/4。根據 GSL，系統的熵不會減少，因此質量的原始熵不可能大於 A/4。由此可見，邊介面積為 A 的孤立物理系統的熵必然小於 A/4。如果質量沒有自發坍縮呢？2000 年，我證明了一個微小的黑洞可以用來將系統轉換為一個與薩斯坎德論證中的黑洞沒有太大不同的黑洞。因此，界限與系統的構成或 X 層次的性質無關。它只取決於 GSL。
我們現在可以回答一些關於資訊儲存的最終限制的難以捉摸的問題。一個直徑為一釐米的裝置原則上可以容納高達 1066 位元的資訊——一個令人難以置信的量。可見宇宙包含至少 10100 位元的熵，原則上可以包裝在一個直徑為十分之一光年的球體內部。然而，估計宇宙的熵是一個難題，更大的數字，需要一個幾乎與宇宙本身一樣大的球體，是完全可能的。
但全息界限的另一個方面才真正令人驚訝。即，最大可能的熵取決於邊介面積而不是體積。想象一下，我們正在堆積一大堆計算機儲存晶片。電晶體的數量——總資料儲存容量——隨著堆的體積而增加。所有晶片的總熱力學熵也是如此。然而，值得注意的是，堆佔據的空間的理論最終資訊容量僅隨表面積增加。由於體積比表面積增加得更快，因此在某個時候，所有晶片的熵將超過全息界限。似乎 GSL 或我們關於熵和資訊容量的常識觀念必須失效。事實上，失效的是堆本身：它會在自身引力作用下坍縮，並在達到僵局之前形成黑洞。此後，每個額外的儲存晶片都會以繼續保持 GSL 的方式增加黑洞的質量和表面積。
如果全息原理（由荷蘭烏得勒支大學的諾貝爾獎獲得者傑拉德·特霍夫特在 1993 年提出，並由薩斯坎德闡述）是正確的，那麼資訊容量取決於表面積的這一令人驚訝的結果就有了自然的解釋。在日常世界中，全息圖是一種特殊的照片，當以正確的方式照明時，它可以生成完整的三維影像。描述三維場景的所有資訊都編碼到二維膠片上明暗區域的圖案中，隨時可以再生。全息原理認為，這種視覺魔術的類似物適用於佔據三維區域的任何系統的完整物理描述：它提出，僅在區域的二維邊界上定義的另一個物理理論完全描述了三維物理學。如果一個三維繫統可以由僅在其二維邊界上執行的物理理論完全描述，那麼人們會期望系統的資訊內容不超過邊界上描述的資訊內容。
宇宙描繪在其邊界上
我們能否將全息原理應用於整個宇宙？真實的宇宙是一個四維繫統：它有體積並在時間上延伸。如果我們宇宙的物理學是全息的，那麼將存在另一組物理定律，在某處的時空三維邊界上執行，這將等同於我們已知的四維物理學。我們尚不知道任何以這種方式工作的三維理論。事實上，我們應該使用哪個表面作為宇宙的邊界？實現這些想法的一個步驟是研究比我們真實宇宙更簡單的模型。
全息原理在起作用的一類具體示例涉及所謂的反德西特時空。最初的德西特時空是荷蘭天文學家威廉·德西特在 1917 年首次獲得的宇宙模型，作為愛因斯坦方程的解，包括稱為宇宙常數的排斥力。德西特時空是空的，以加速的速度膨脹，並且非常高度對稱。1997 年，研究遙遠超新星爆發的天文學家得出結論，我們的宇宙現在以加速的方式膨脹，並且未來可能會越來越像德西特時空。現在，如果用吸引力常數代替排斥性宇宙常數，則德西特的解會變成反德西特時空，它也具有同樣多的對稱性。對於全息概念更重要的是，它具有一個邊界，該邊界位於無窮遠處，並且非常像我們日常的時空。
利用反德西特時空，理論家們設計了一個全息原理在起作用的具體示例：超弦理論描述的在反德西特時空中執行的宇宙完全等同於在那個時空的邊界上執行的量子場論 [見上方方框]。因此，反德西特宇宙中超弦理論的全部威嚴都描繪在宇宙的邊界上。當時在哈佛大學的胡安·馬爾達西那在 1997 年首次推測了這種關係，用於五維反德西特情況，後來由普林斯頓高等研究院的愛德華·威滕以及普林斯頓大學的史蒂文·S·古布瑟、伊戈爾·R·克萊巴諾夫和亞歷山大·M·波利亞科夫在許多情況下證實了這一點。現在已知這種全息對應關係適用於具有各種維度的時空。
這個結果意味著兩個表面上非常不同的理論——甚至不在相同維度的空間中起作用——是等效的。生活在這些宇宙之一中的生物將無法確定他們居住的是由弦理論描述的五維宇宙，還是由點粒子的量子場論描述的四維宇宙。（當然，他們的大腦結構可能會讓他們對一種描述或另一種描述產生壓倒性的常識性偏見，就像我們的大腦構建了一種我們宇宙具有三個空間維度的先天感知一樣；參見對面頁面的插圖。）
全息等價性可以允許在四維邊界時空中進行困難的計算，例如夸克和膠子的行為，以換取在高度對稱的五維反德西特時空中進行的另一個更容易的計算。這種對應關係也反過來起作用。威滕已經證明，反德西特時空中的黑洞對應於在邊界時空上執行的替代物理學中的熱輻射。黑洞的熵——一個非常神秘的概念——等於輻射的熵，這非常平凡。
膨脹的宇宙
高度對稱且空曠的五維反德西特宇宙與存在於四維空間中的我們的宇宙截然不同，我們的宇宙充滿了物質和輻射，並且充滿了劇烈的事件。即使我們用物質和輻射均勻分佈的宇宙來近似我們的真實宇宙，我們得到的也不是反德西特宇宙，而是弗裡德曼-羅伯遜-沃克宇宙。今天大多數宇宙學家都認同我們的宇宙類似於 FRW 宇宙，這是一個無限的、沒有邊界並且將無限期膨脹下去的宇宙。
這樣的宇宙是否符合全息原理或全息界限？薩斯坎德基於坍縮成黑洞的論證在這裡沒有幫助。事實上，從黑洞推匯出的全息界限必然會在均勻膨脹的宇宙中失效。均勻填充物質和輻射的區域的熵確實與其體積成正比。因此，足夠大的區域將違反全息界限。
1999 年，當時在斯坦福大學的拉斐爾·布索提出了一個修改後的全息界限，此後發現該界限甚至在我們在前面討論的界限無法應用的情況下也有效。布索的公式從任何合適的二維表面開始；它可以像球體一樣閉合，也可以像一張紙一樣開啟。然後，人們想象從表面一側的所有位置同時垂直髮出短暫的光脈衝。唯一的要求是假想光線最初是會聚的。例如，從球形外殼內表面發出的光滿足該要求。然後，人們會考慮這些假想光線穿過的物質和輻射的熵，直到它們開始交叉的點。布索推測，這種熵不能超過初始表面所代表的熵——其面積的四分之一，以普朗克面積測量。這是一種不同於原始全息界限中使用的熵計算方式。布索的界限不是指一個區域在某個時間的熵，而是指各種時間的地點的熵之和：那些被表面發出的光脈衝照亮的地點的熵之和。
布索的界限包含了其他熵界限，同時避免了它們的侷限性。對於任何不快速演化且引力場不強的孤立系統，通用熵界限和特霍夫特-薩斯坎德形式的全息界限都可以從布索的界限中推匯出來。當這些條件被超越時——例如對於已經在一個黑洞內部的坍縮物質球體——這些界限最終會失效，而布索的界限繼續成立。布索還表明，他的策略可用於定位可以設定世界全息圖的二維表面。
革命的先兆
研究人員已經提出了許多其他熵界限。全息主題的變體激增清楚地表明，該主題尚未達到物理定律的地位。但是，儘管全息思維方式尚未完全理解，但它似乎將繼續存在。隨之而來的是一種認識，即 50 年來流行的基本信念，即場論是物理學的最終語言，必須讓路。場（例如電磁場）從一個點到另一個點連續變化，因此它們描述了無限的自由度。超弦理論也包含了無限數量的自由度。全息術將邊界表面內部可能存在的自由度數量限制為有限數量；具有無限性的場論不可能是最終的說法。此外，即使無限性得到了馴服，資訊對錶面積的神秘依賴性也必須以某種方式得到容納。
全息術可能是更好理論的指南。基本理論是什麼樣的？涉及全息術的推理鏈向一些人（尤其是安大略省滑鐵盧圓周理論物理研究所的李·斯莫林）暗示，這樣的最終理論必須與物理過程之間的資訊交換有關，而不是與場有關，甚至與時空無關。如果是這樣，那麼將資訊視為構成世界物質的願景將找到一個有價值的體現。
作者
雅各布·D·貝肯斯坦 為黑洞熱力學的基礎以及資訊與引力之間聯絡的其他方面做出了貢獻。他是耶路撒冷希伯來大學的波拉克理論物理學教授，以色列科學院和人文學院院士，以及羅斯柴爾德獎和以色列獎的獲得者。貝肯斯坦將這篇文章獻給約翰·阿奇博爾德·惠勒（他 30 年前的博士生導師）。惠勒屬於路德維希·玻爾茲曼學生的第三代：惠勒的博士導師卡爾·赫茨費爾德是玻爾茲曼的學生弗里德里希·哈森爾的弟子。