問問任何人物理世界是由什麼構成的，你很可能會被告知是物質和能量。然而，如果我們從工程學、生物學和物理學中學到什麼的話，那就是資訊同樣是至關重要的成分。汽車工廠的機器人配備了金屬和塑膠，但如果沒有大量的指令告訴它將哪個零件焊接到哪裡等等，就什麼有用的東西也製造不出來。你身體細胞中的核糖體配備了氨基酸構建塊，並由ATP轉化為ADP釋放的能量提供動力，但如果沒有來自細胞核中DNA的資訊傳遞給它，它就無法合成任何蛋白質。同樣，一個世紀以來物理學的發展告訴我們，資訊是物理系統和過程中至關重要的參與者。事實上，普林斯頓大學的約翰·A·惠勒（John A. Wheeler）發起了一個當前的趨勢，即將物理世界視為由資訊構成的，而能量和物質則是次要的。
這種觀點引發了對古老問題的新審視。硬碟驅動器等裝置的資訊儲存容量一直在突飛猛進地增長。這種進步何時會停止？一個重量小於一克，體積小於一立方厘米（大約相當於計算機晶片大小）的裝置，其最終資訊容量是多少？描述整個宇宙需要多少資訊？這種描述能裝進計算機的記憶體嗎？我們能否像威廉·布萊克（William Blake）令人難忘地寫道的那樣，從一粒沙子中看到一個世界，或者這種想法僅僅是詩意的許可？
值得注意的是，理論物理學的最新進展回答了其中的一些問題，而這些答案可能是最終現實理論的重要線索。透過研究黑洞的神秘特性，物理學家們推斷出了空間區域或物質和能量的數量可以容納多少資訊的絕對限制。相關的結果表明，我們感知到的具有三個空間維度的宇宙，可能實際上是被寫在一個二維表面上的，就像全息圖一樣。那麼，我們日常對世界的三維感知要麼是一種深刻的幻覺，要麼僅僅是看待現實的兩種替代方式之一。一粒沙子可能無法包含我們的世界，但一塊平板螢幕卻有可能。
支援科學新聞事業
如果您喜歡這篇文章，請考慮透過以下方式支援我們屢獲殊榮的新聞事業 訂閱。透過購買訂閱，您將幫助確保有關塑造我們當今世界的發現和思想的具有影響力的故事的未來。
兩種熵的故事
形式資訊理論起源於美國應用數學家克勞德·E·夏農（Claude E. Shannon）在1948年發表的開創性論文，他介紹了當今最廣泛使用的資訊內容度量：熵。長期以來，熵一直是熱力學的核心概念，熱力學是物理學中處理熱的分支。熱力學熵通常被描述為物理系統中的無序程度。1877年，奧地利物理學家路德維希·玻爾茲曼（Ludwig Boltzmann）更精確地用組成一塊物質的粒子可能處於的不同微觀狀態的數量來描述它，同時仍然看起來像同一塊宏觀物質。例如，對於你周圍房間裡的空氣，人們會計算出單個氣體分子可能在房間中分佈的所有方式以及它們可能運動的所有方式。
當夏農試圖找到一種量化資訊（例如，訊息中包含的資訊）的方法時，邏輯引導他得出了與玻爾茲曼公式形式相同的公式。訊息的夏農熵是編碼訊息所需的二進位制數字或位元的數量。夏農熵並沒有啟發我們瞭解資訊的價值，資訊的價值高度依賴於上下文。然而，作為資訊量的客觀衡量標準，它在科學和技術領域非常有用。例如，每一種現代通訊裝置的設計——從蜂窩電話到調變解調器再到光碟播放器——都依賴於夏農熵。
熱力學熵和夏農熵在概念上是等價的：玻爾茲曼熵計數的排列數量反映了實現任何特定排列所需的夏農資訊量。然而，這兩種熵有兩個顯著的區別。首先，化學家或製冷工程師使用的熱力學熵以能量除以溫度為單位表示，而通訊工程師使用的夏農熵以位元為單位，本質上是無量綱的。這種差異僅僅是一個約定俗成的問題。
然而，即使簡化為通用單位，兩種熵的典型值在量級上差異也很大。例如，一個攜帶千兆位元組資料的矽微晶片的夏農熵約為1010位元（一個位元組是八位元），遠小於晶片的熱力學熵，後者在室溫下約為1023位元。這種差異的出現是因為熵是針對不同的自由度計算的。自由度是任何可以變化的量，例如指定粒子位置的座標或其速度的一個分量。晶片的夏農熵只關心蝕刻在矽晶體中的每個微小電晶體的總體狀態——電晶體是開還是關；它是0還是1——單個二進位制自由度。
相比之下，熱力學熵取決於構成每個電晶體的所有數十億個原子（及其遊離電子）的狀態。隨著小型化越來越接近每個原子將為我們儲存一位資訊的那一天，最先進的微晶片的有用夏農熵在量級上將更接近其材料的熱力學熵。當針對相同的自由度計算兩種熵時，它們是相等的。
什麼是最終的自由度？畢竟，原子是由電子和原子核組成的，原子核是由質子和中子組成的，而質子和中子又是由夸克組成的。今天的許多物理學家認為電子和夸克是超弦的激發態，他們假設超弦是最基本的實體。但是，一個世紀以來物理學啟示的變遷警告我們不要教條。我們宇宙中的結構層次可能比今天物理學夢想的還要多。
如果不瞭解物質的最終組成部分或最深層次的結構（我將其稱為X層），就無法計算出一塊物質的最終資訊容量，或者等價地，它的真實熱力學熵。（這種模糊性在分析實際熱力學時不會造成問題，例如汽車發動機的熱力學，因為原子內部的夸克可以被忽略——它們在發動機中相對溫和的條件下不會改變狀態。）鑑於小型化的驚人進展，人們可以開玩笑地設想有一天夸克將用於儲存資訊，也許每個夸克儲存一位。那麼，我們的一個釐米立方體中可以容納多少資訊？如果我們利用超弦甚至更深層次、尚未夢想到的層次，又會容納多少資訊？令人驚訝的是，過去三十年引力物理學的發展為這些看似難以捉摸的問題提供了一些明確的答案。
黑洞熱力學
這些發展的中心角色是黑洞。黑洞是廣義相對論的推論，廣義相對論是阿爾伯特·愛因斯坦（Albert Einstein）於1915年首次發表的幾何引力理論。在這個理論中，引力源於時空曲率，這使得物體的運動彷彿受到力的拉動。反過來，曲率是由物質和能量的存在引起的。根據愛因斯坦方程，足夠密集的物質或能量集中會使時空彎曲到非常極端的程度，以至於它會撕裂，形成黑洞。相對論定律禁止任何進入黑洞的東西再次出來，至少在物理學的經典（非量子）描述中是這樣。不歸路點，稱為黑洞的事件視界，至關重要。在最簡單的情況下，視界是一個球體，質量越大的黑洞，其表面積越大。
不可能確定黑洞內部是什麼。沒有詳細的資訊可以穿過視界並逃逸到外面的世界。然而，一塊物質在永遠消失在黑洞中時，確實留下了一些痕跡。它的能量（根據愛因斯坦的E = mc2，我們將任何質量都算作能量）永久地反映在黑洞質量的增量中。如果物質在繞洞旋轉時被捕獲，則其相關的角動量將新增到黑洞的角動量中。黑洞的質量和角動量都可以從它們對黑洞周圍時空的影響中測量出來。透過這種方式，能量守恆和角動量守恆定律得到了黑洞的維護。另一個基本定律，熱力學第二定律，似乎被違反了。
熱力學第二定律總結了自然界中最常見的過程是不可逆的這一常見觀察：茶杯從桌子上掉下來摔碎了，但沒有人見過碎片自動跳起來並組裝成茶杯。熱力學第二定律禁止這種逆過程。它指出，孤立物理系統的熵永遠不會減少；最好的情況是，熵保持不變，通常情況下熵會增加。這條定律是物理化學和工程學的核心；它可以說是物理學以外影響最大的物理定律。
正如惠勒（Wheeler）最初強調的那樣，當物質消失在黑洞中時，它的熵也永遠消失了，第二定律似乎被超越了，變得無關緊要。1970年，當時還是惠勒在普林斯頓的研究生德米特里奧斯·克里斯托多盧（Demetrious Christodoulou）和劍橋大學的斯蒂芬·霍金（Stephen Hawking）分別證明，在各種過程中，例如黑洞合併，事件視界的總面積永遠不會減少，這為解決這個難題提供了線索。與熵增加的趨勢的類比使我在1972年提出，黑洞的熵與視界的面積成正比[參見本頁插圖]。我推測，當物質落入黑洞時，黑洞熵的增加總是補償或過度補償物質的損失熵。更一般地說，黑洞熵和黑洞外部的普通熵之和不會減少。這就是廣義第二定律——簡稱GSL。
GSL已經通過了大量的嚴格測試，即使這些測試純粹是理論上的。當一顆恆星坍縮形成黑洞時，黑洞熵大大超過了恆星的熵。1974年，霍金證明黑洞透過量子過程自發地輻射熱輻射，現在稱為霍金輻射。克里斯托多盧-霍金定理在這種現象面前失效（黑洞的質量，因此其視介面積，會減少），但GSL可以應對它：新興輻射的熵超過了黑洞熵的減少量，因此GSL得以保留。1986年，雪城大學的拉斐爾·D·索金（Rafael D. Sorkin）利用視界在阻止黑洞內部資訊影響外部事務方面的作用，表明GSL（或非常類似於它的東西）對於黑洞經歷的任何可以想象的過程都必須有效。他深刻的論點清楚地表明，進入GSL的熵是計算到X層的熵，無論X層可能是什麼。
霍金的輻射過程使他能夠確定黑洞熵和視介面積之間的比例常數：黑洞熵恰好是事件視介面積的四分之一，以普朗克面積為單位測量。（普朗克長度約為1033釐米，是與引力和量子力學相關的基本長度尺度。普朗克面積是它的平方。）即使在熱力學方面，這也是一個巨大的熵量。直徑為一釐米的黑洞的熵約為1066位元，大致等於邊長為100億公里的立方體水的熱力學熵。
世界如全息圖
GSL允許我們設定任何孤立物理系統的資訊容量的界限，這些界限指的是所有結構層次上的資訊，一直到X層。1980年，我開始研究第一個這樣的界限，稱為通用熵界限，它限制了特定質量和特定大小的物質可以攜帶多少熵[參見左側方框]。諾貝爾獎獲得者，荷蘭烏得勒支大學的傑拉德·特·胡夫特（Gerard t Hooft）在1993年預示了一個相關的想法，即全息界限，並由斯坦福大學的倫納德·薩斯坎德（Leonard Susskind）在1995年發展起來。它限制了佔據特定空間體積的物質和能量可以包含多少熵。
在薩斯坎德關於全息界限的工作中，他考慮了任何近似球形的孤立質量，該質量本身不是黑洞，並且可以裝入面積為A的封閉表面內。如果該質量可以坍縮成黑洞，則該黑洞最終將具有小於A的視介面積。因此，黑洞熵小於A/4。根據GSL，系統的熵不能減少，因此質量的原始熵不可能大於A/4。由此可見，邊介面積為A的孤立物理系統的熵必然小於A/4。如果質量不自發坍縮怎麼辦？2000年，我表明，可以使用一個微小的黑洞將系統轉換為一個與薩斯坎德論證中的黑洞沒有太大區別的黑洞。因此，該界限獨立於系統的構成或X層的性質。它只取決於GSL。
我們現在可以回答一些關於資訊儲存的最終限制的難以捉摸的問題。原則上，一個直徑為一釐米的裝置最多可以容納1066位元——這是一個令人難以置信的量。可見宇宙包含至少10100位元的熵，原則上可以裝在一個直徑為十分之一光年的球體內部。然而，估計宇宙的熵是一個難題，更大的數字，需要一個幾乎與宇宙本身一樣大的球體，是完全合理的。
但全息界限的另一個方面才真正令人震驚。也就是說，最大可能的熵取決於邊介面積而不是體積。想象一下，我們正在堆積一大堆計算機記憶體晶片。電晶體的數量——總資料儲存容量——隨著堆的體積而增加。所有晶片的總熱力學熵也是如此。然而，值得注意的是，堆所佔據的空間的理論最終資訊容量僅隨表面積增加而增加。由於體積比表面積增加得更快，因此在某個時候，所有晶片的熵將超過全息界限。似乎GSL或我們關於熵和資訊容量的常識性想法必然會失效。事實上，失效的是堆本身：它會在達到僵局之前在自身引力作用下坍縮並形成黑洞。此後，每個額外的記憶體晶片都會以一種將繼續保持GSL的方式增加黑洞的質量和表面積。
如果全息原理（由特·胡夫特提出並由薩斯坎德闡述）是正確的，那麼資訊容量取決於表面積這一令人驚訝的結果就有了自然的解釋。在日常世界中，全息圖是一種特殊的照片，當以正確的方式照射時，它可以生成完整的3D影像。描述3D場景的所有資訊都編碼在二維膠片上的明暗區域圖案中，隨時可以再生。全息原理認為，這種視覺魔力的類似物適用於佔據3D區域的任何系統的完整物理描述：它提出，僅在區域的2D邊界上定義的另一個物理理論可以完全描述3D物理學。如果一個3D系統可以由完全在其2D邊界上執行的物理理論完全描述，那麼人們會期望系統的資訊內容不超過邊界上描述的資訊內容。
繪製在邊界上的宇宙
我們能否將全息原理應用於整個宇宙？真實的宇宙是一個4D系統：它有體積並且在時間上延伸。如果我們宇宙的物理學是全息的，那麼在某個地方時空的3D邊界上執行的另一組物理定律將與我們已知的4D物理學等效。我們尚不知道任何以這種方式工作的3D理論。實際上，我們應該使用哪個表面作為宇宙的邊界？實現這些想法的一個步驟是研究比我們真實宇宙更簡單的模型。
全息原理工作的一個具體例子類別涉及所謂的反德西特時空。最初的德西特時空是由荷蘭天文學家威廉·德西特（Willem de Sitter）於1917年首次獲得的宇宙模型，作為愛因斯坦方程的解，包括被稱為宇宙常數的排斥力。德西特時空是空的，以加速的方式膨脹，並且具有很高的對稱性。1997年，研究遙遠超新星爆炸的天文學家得出結論，我們的宇宙現在以加速的方式膨脹，並且未來可能會越來越像德西特時空。現在，如果將排斥宇宙常數替換為吸引宇宙常數，德西特的解就會變成反德西特時空，它同樣具有對稱性。對於全息概念更重要的是，它具有一個邊界，該邊界位於無窮遠處，並且非常像我們日常的時空。
利用反德西特時空，理論家們設計了一個全息原理工作的具體例子：超弦理論描述的在反德西特時空中執行的宇宙完全等同於在該時空邊界上執行的量子場論[見下方方框]。因此，反德西特宇宙中超弦理論的全部莊嚴都繪製在宇宙的邊界上。當時在哈佛大學的胡安·馬爾達西那（Juan Maldacena）在1997年首次推測了5D反德西特情況的這種關係，後來普林斯頓高等研究院的愛德華·威滕（Edward Witten）以及普林斯頓大學的史蒂文·S·古布瑟（Steven S. Gubser）、伊戈爾·R·克萊巴諾夫（Igor R. Klebanov）和亞歷山大·M·波利亞科夫（Alexander M. Polyakov）在許多情況下證實了這一點。現在已知具有各種維度的時空的全息對應關係的例子。
這個結果意味著兩個表面上非常不同的理論——甚至不在相同維度的空間中起作用——是等效的。生活在這些宇宙之一中的生物將無法確定他們居住的是由弦理論描述的5D宇宙，還是由點粒子的量子場論描述的4D宇宙。（當然，他們大腦的結構可能會給他們一個壓倒性的常識性偏見，傾向於一種描述或另一種描述，就像我們的大腦構建了一種天生的感知，即我們的宇宙具有三個空間維度一樣；參見對頁上的插圖。）
全息等效性可以允許在4D邊界時空中進行困難的計算，例如夸克和膠子的行為，以便與另一個更容易的計算在高度對稱的5D反德西特時空中進行交換。對應關係也以另一種方式起作用。威滕已經表明，反德西特時空中的黑洞對應於在邊界時空中執行的替代物理學中的熱輻射。黑洞的熵——一個深奧的概念——等於輻射的熵，後者非常普通。
膨脹的宇宙
高度對稱且空曠的5D反德西特宇宙與我們存在於4D中的宇宙截然不同，後者充滿了物質和輻射，並且充滿了劇烈事件。即使我們用物質和輻射均勻分佈的宇宙來近似我們的真實宇宙，我們得到的也不是反德西特宇宙，而是弗裡德曼-羅伯遜-沃克宇宙。今天的大多數宇宙學家都同意，我們的宇宙類似於FRW宇宙，這是一個無限的、沒有邊界並將無限期膨脹下去的宇宙。
這樣的宇宙是否符合全息原理或全息界限？薩斯坎德基於坍縮成黑洞的論證在這裡無濟於事。事實上，從黑洞推匯出的全息界限必須在均勻膨脹的宇宙中失效。均勻填充物質和輻射的區域的熵確實與其體積成正比。因此，足夠大的區域將違反全息界限。
1999年，當時在斯坦福大學的拉斐爾·布索（Raphael Bousso）提出了一個修改後的全息界限，此後發現即使在我們之前討論的界限無法應用的情況下也有效。布索的公式從任何合適的2D表面開始；它可以像球體一樣閉合，也可以像一張紙一樣張開。然後，人們想象從表面一側的所有位置同時垂直地發出短暫的光爆發。唯一的要求是假想光線最初是會聚的。例如，從球形殼內表面發出的光滿足該要求。然後，人們考慮這些假想光線穿過的物質和輻射的熵，直到它們開始交叉的點。布索推測，這種熵不能超過初始表面所代表的熵——其面積的四分之一，以普朗克面積為單位測量。這是一種與原始全息界限中使用的不同的熵計算方法。布索的界限不是指一個區域在某個時間的熵，而是指各種時間的區域性熵之和：那些被表面光爆發照亮的區域性熵。
布索的界限包含了其他熵界限，同時避免了它們的侷限性。對於任何不快速演化且引力場不強的孤立系統，通用熵界限和胡夫特-薩斯坎德形式的全息界限都可以從布索的界限中推匯出來。當這些條件被超越時——例如對於已經位於黑洞內部的坍縮物質球體——這些界限最終會失效，而布索的界限繼續有效。布索還表明，他的策略可以用於定位可以設定世界全息圖的2D表面。
革命的預兆
研究人員已經提出了許多其他熵界限。全息主題變體的擴散清楚地表明，該主題尚未達到物理定律的地位。但是，儘管全息思維方式尚未完全理解，但它似乎將繼續存在。隨之而來的是一種認識，即在過去50年中流行的基本信念，即場論是物理學的最終語言，必須讓位。場，例如電磁場，從點到點連續變化，因此它們描述了無限的自由度。超弦理論也包含了無限數量的自由度。全息術將可以存在於邊界表面內部的自由度數量限制為有限數量；具有無限性的場論不可能是最終的故事。此外，即使無限性被馴服，資訊對錶面積的神秘依賴性也必須以某種方式得到適應。
全息術可能是更好理論的指南。基本理論是什麼樣的？涉及全息術的推理鏈條向一些人（尤其是安大略省滑鐵盧市的珀金理論物理研究所的李·斯莫林（Lee Smolin））表明，這樣的最終理論必須關注的不是場，甚至不是時空，而是物理過程之間的資訊交換。如果是這樣，那麼資訊是構成世界的東西的願景將找到一個有價值的體現。
作者
雅各布·D·貝肯斯坦（JACOB D. BEKENSTEIN）為黑洞熱力學的基礎以及資訊和引力之間聯絡的其他方面做出了貢獻。他是耶路撒冷希伯來大學的波拉克理論物理學教授，以色列科學院和人文學院院士，以及羅斯柴爾德獎和以色列獎的獲得者。貝肯斯坦將本文獻給約翰·阿奇博爾德·惠勒（John Archibald Wheeler）（他30年前的博士生導師）。惠勒屬於路德維希·玻爾茲曼學生的第三代：惠勒的博士生導師卡爾·赫茨費爾德（Karl Herzfeld）是玻爾茲曼的學生弗里德里希·哈森諾爾（Friedrich Hasenhrl）的學生。