在探索宇宙的過程中，數學家們偶爾會遇到漏洞：一些陳述使用九個公理（統稱為“ZFC”）既無法證明也無法證偽，而這些公理是數學的基本法則。大多數數學家只是忽略了這些漏洞，因為它們存在於抽象的領域，很少有實際或科學的影響。但是對於數學邏輯基礎的管理者來說，它們的存在引發了對整個事業基礎的擔憂。
“如果我使用的基本概念存在問題，我怎麼能在任何領域繼續證明定理？”哈佛大學的哲學教授、專門研究數理邏輯的彼得·科爾納問道。
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最主要的漏洞是連續統假設，這是一個關於無窮的可能大小的140年曆史的陳述。儘管它似乎難以理解，但無限也有多種度量：例如，數軸上的點（統稱為“連續統”）比計數數字更多。在連續統之外，還有更大的無窮大——一個永無止境的、越來越龐大的、但都是無盡的實體序列。連續統假設斷言，在最小的無窮大——計數數字的集合——和它所斷言的第二小的無窮大——連續統之間，不存在無窮大。數學邏輯學家庫爾特·哥德爾在1947年寫道，“它必須是真或假，而它在今天已知的公理中不可判定的事實只能意味著這些公理並不包含對現實的完整描述。”
為了找到一個更完整的公理系統，可以解決無窮的問題，並同時填補數學中的其他許多漏洞，數十年的探索已經來到了一個十字路口。在科爾納最近在哈佛組織的一次會議上，學者們基本同意，ZFC的兩個主要補充競爭者是：強制公理和內部模型公理“V=最終L”。
科爾納說：“如果強制公理是正確的，那麼連續統假設就是錯誤的。如果內部模型公理是正確的，那麼連續統假設就是正確的。您瀏覽一下其他領域的一系列問題，強制公理會以一種方式回答這些問題，而最終L會以另一種方式回答。”
據研究人員稱，在候選者之間做出選擇，歸根結底是關於邏輯公理的目的和數學本身的本質的問題。公理應該是有助於產生最純粹的數學宇宙的真理的種子嗎？如果是這樣，V=最終L可能最有希望。或者，目的是找到最具成果的數學發現種子，這個標準似乎更傾向於強制公理？康奈爾大學的數學教授賈斯汀·摩爾說：“雙方對目標是什麼的看法有些不同。”
像ZFC這樣的公理系統提供了管理稱為“集合”的物件集合的規則，這些集合是數學宇宙的構建基石。正如ZFC現在仲裁數學真理一樣，在規則手冊中新增一個額外的公理將有助於塑造該領域的未來，特別是它對無窮的看法。但是，與大多數ZFC公理不同，新的公理“不是不言自明的，或者至少在我們目前的知識階段不是不言自明的，因此我們面臨著更加困難的任務，”多倫多大學和巴黎法國國家科學研究中心的數學家斯特沃·託多爾切維奇說。
V=最終L的支持者表示，在整數和連續統之間建立一個不存在的無窮大，有望給無窮集合的混亂帶來秩序，而無窮集合的種類是難以理解的，無窮無盡的。但是，該公理可能對傳統數學分支的影響最小。
加州大學伯克利分校的數學家、V=最終L的架構師、也是最傑出的在世集合論者之一休·伍丁說：“集合論是理解無窮的。”伍丁認為，與大多數數學相關的熟悉的數字“在集合的宇宙中是微不足道的一部分。”
同時，透過新增一個新的無窮大小，強制公理認為連續統假設是錯誤的，這也會在其他方向上擴充套件數學的邊界。摩爾說，它們是常規數學家“實際上可以在該領域中使用的工具”。“對我來說，這最終應該是[數學]基礎應該做的事情。”
對V=最終L研究的新進展和強制公理（特別是以數學家唐納德·馬丁命名的“馬丁最大值”）的新用途，激發了關於採用哪個公理的辯論。並且，還有第三種觀點不同意辯論的前提。根據一些理論家的觀點，存在無數個數學宇宙，有些宇宙中連續統假設為真，而另一些宇宙中為假，但所有宇宙都同樣值得探索。同時，“有一些懷疑論者，”科爾納說，“出於哲學原因，他們認為集合論和更高的無窮大甚至沒有任何意義。”
無窮悖論
幾乎從數學領域開始以來，無窮就一直在數學中引起爭議。爭議並非來自潛在無窮的概念——數軸承諾永遠延續下去——而是來自無窮作為實際、完整、可操作的物件的概念。
賓夕法尼亞州立大學的數學家和邏輯學家斯蒂芬·辛普森問道：“現實世界中存在哪些真正無限的物件？”辛普森採用亞里士多德最初提出的觀點，認為實際的無窮並不真正存在，因此不應輕易地假設它存在於數學宇宙中。他正在努力讓數學擺脫實際的無窮，方法是表明可以使用潛在無窮的概念來證明絕大多數定理。“但是，潛在無窮現在幾乎被遺忘了，”辛普森說。“在ZFC集合論的思維模式中，人們往往甚至不記得這種區別。他們只是認為無窮意味著實際的無窮，這就是全部。”
19世紀後期，德國數學家格奧爾格·康託將無窮“打包”並出售給數學界。康託發明了一個處理集合的數學分支——集合是元素的集合，範圍從空集（相當於數字零）到無窮。他的“集合論”是一種描述數學物件的非常有用的語言，在幾十年內，它成為了該領域的通用語言。一個由九項規則組成的列表，稱為帶有選擇公理的策梅洛-弗蘭克爾集合論，或ZFC，在1920年代建立並被廣泛採用。翻譯成簡單的英語，其中一個公理說，如果兩個集合包含相同的元素，則它們是相等的。另一個公理只是斷言無窮集合存在。
假設實際的無窮大會導致令人不安的後果。例如，康託證明，偶數的無窮集合{2,4,6,...}可以與所有計數數字{1,2,3,...}“一一對應”，這表明偶數的數量與奇數和偶數的數量一樣多。
更令人震驚的是，他於1873年證明，實數的連續統（例如0.00001、2.568023489、pi等）是“不可數的”：實數與計數數字之間不存在一一對應的關係，因為對於任何編號的實數列表，總有可能提出一個不在列表中的實數。實數和計數數字的無窮集合具有不同的大小，或者用康託的術語來說，具有不同的“基數”。實際上，他發現存在無窮大的基數序列，每個新的無窮大都由前面無窮集合的冪集或所有子集的集合組成。
一些數學家鄙視這種無窮大混亂。康託的一位同事稱它們為“嚴重的疾病”；另一位同事稱他為“青年的腐敗者”。但是，根據集合論的邏輯，這是真的。
康託想知道兩個最小的基數。“在某種意義上，這是您可以提出的最基本的問題，”伍丁說。“在這兩者之間是否存在無窮大，還是實數的無窮大是計數數字的無窮大之後的第一個無窮大？”
所有明顯的中間大小無窮大的候選者都失敗了。有理數（例如½的整數比率）是可數的，因此與計數數字具有相同的基數。並且，連續統的任何一部分（例如0到1之間）的實數與整個集合中的實數一樣多。康託猜測，在可數集合和連續統之間不存在無窮大。但是他無法使用集合論的公理來證明這個“連續統假設”。其他人也無法證明。
然後，在1931年，剛在維也納大學完成博士學位的哥德爾取得了驚人的發現。憑藉一系列證明，這位25歲的哥德爾表明，像ZFC這樣可指定但又足夠複雜的公理系統永遠不可能同時保持一致性和完整性。證明其公理是一致的（即，它們不會導致矛盾）需要一個不在列表中的附加公理。而要證明ZFC加上該公理是一致的，還需要另一個公理。摩爾說：“哥德爾的不完備性定理告訴我們，我們永遠不可能抓住自己的尾巴。”
ZFC 的不完備性意味著其公理產生的數學宇宙不可避免地存在漏洞。“總會有一些[陳述]無法透過這些原則來判定，”伍丁說道。很快就清楚地知道，連續統假設（關於無窮大“你能提出的最基本的問題”）就是這樣一個漏洞。哥德爾本人證明了連續統假設的真偽與 ZFC 是一致的，而美國數學家保羅·科恩則證明了相反的情況，即該假設的否定也與 ZFC 一致。他們共同的結果表明，連續統假設實際上獨立於這些公理。需要超越 ZFC 的東西來證明或反駁它。
由於該假設懸而未決，許多關於基數和無窮大的其他性質也仍然不確定。對於像所羅門·費弗曼這樣的集合論懷疑論者（他是斯坦福大學數學和哲學榮譽退休教授）來說，這並不重要。“它們根本與日常數學無關，”費弗曼說。
但對於那些每天在被稱為“V”的集合宇宙中游蕩的人來說，那裡幾乎所有東西都是無窮的，這些問題顯得非常重要。“我們對集合宇宙沒有清晰的認識，”伍丁說。“幾乎你寫下的任何關於集合的問題都無法解決。這不是一個令人滿意的狀況。”
集合宇宙
哥德爾和科恩的共同工作導致了集合論目前的十字路口，他們恰好是關於未來發展方向的兩種思想流派的創始人。
哥德爾構想了一個名為“L”的，小而可構造的模型宇宙，它透過從空集開始並迭代來構建越來越大的集合。在由此產生的集合宇宙中，連續統假設為真：在整數和連續統之間沒有無窮集。“與集合宇宙的混亂不同，你確實可以分析 L，”伍丁說。這使得公理“V=L”，或集合宇宙 V 等於“內部模型”L 的說法，具有吸引力。據伍丁說，只有一個問題：“它嚴重限制了無窮大的性質。”
L 太小，無法包含“大基數”，這些無窮集以永無止境的層次結構上升，其級別命名為“不可達”、“可測”、“伍丁”、“超緊”、“巨大”等等，總共構成了無窮大的嘈雜交響曲。這些大基數在 20 世紀被週期性地發現，無法用 ZFC 證明其存在，而必須用額外的“大基數公理”來假設。但在過去的幾十年裡，它們已被證明會產生豐富而有趣的數學。“當你攀登大基數層次結構時，你會得到越來越重要的結果，”科爾納說。
為了保持這種無窮大的交響曲，集合論家幾十年來一直致力於尋找一個像 L 一樣純淨且可分析，但又包含大基數的內部模型。然而，構建一個包含每種型別的大基數的集合宇宙需要一套獨特的工具包。對於每個更大、更具包容性的內部模型，“你必須做一些完全不同的事情，”科爾納說。“由於大基數層次結構只是永無止境地延續下去，看起來我們也必須永遠延續下去，構建與大基數層次結構中的過渡點一樣多的新內部模型。這讓人感到絕望，因為，你知道，生命是短暫的。”
由於沒有最大的大基數，似乎就不可能存在包含所有大基數的最終 L，即內部模型。“然後發生了一些非常令人驚訝的事情，”伍丁說。在2010 年發表的工作中，他發現了層次結構中的一個突破點。
“伍丁表明，如果你能達到超緊的級別，那麼就會出現溢位，你的內部模型也會接收到所有更大的大基數，”科爾納解釋說。“這是一種景觀轉變。它為這種方法可以奏效提供了新的希望。你所要做的就是擊中一個超緊的，然後你就擁有了一切。”
儘管尚未構建，但最終 L 是指包含超緊數，因此包含所有大基數的假設內部模型的名稱。公理 V=最終 L 斷言這個內部模型是集合宇宙。
伍丁將於一月份從伯克利搬到哈佛，他最近完成了最終 L 猜想的四階段證明的第一部分，現在正在與一小群同事審查它。他說他對證明的“第二階段非常樂觀”，並希望在明年夏天之前完成。“這一切都歸結為這個猜想，如果一個人能夠證明它，就可以證明最終 L 的存在，並驗證它與我們今天所考慮的所有無窮大的概念相容，並且與我們將來可能想到的概念也相容，”他說。“如果最終 L 猜想為真，那麼就有一個絕對令人信服的案例表明 V 就是最終 L。”
擴充套件宇宙
即使最終 L 存在，可以被構建，並且像伍丁希望的那樣輝煌，它也不是每個人的理想宇宙。“在集合論的大部分歷史中，都存在一種相反的衝動，它告訴我們宇宙應該儘可能豐富，而不是儘可能小，”加利福尼亞大學歐文分校的數學哲學家，以及 2011 年出版的《捍衛公理》一書的作者佩內洛普·麥迪說。“這就是激發迫近公理的原因。”
為了擴充套件 ZFC、解決連續統假設並更好地理解無窮大，迫近公理的擁護者們相信一種稱為迫近的方法，該方法最初由科恩構想。如果說內部模型是從頭開始構建集合宇宙，那麼迫近則向各個方向擴充套件它。
該方法的主要專家之一託多爾切維奇將迫近比作複數的發明，複數是具有額外維度的實數。但他不是從實數開始，“而是從集合宇宙開始，然後將其擴充套件以形成一個更大、更新的宇宙，”他說。在透過迫近建立的擴充套件宇宙中，實數的類別比 ZFC 定義的原始宇宙更大。這意味著 ZFC 的實數構成的無窮集比完整的連續統小。“透過這種方式，你否定了連續統假設，”託多爾切維奇說。
一個名為“馬丁最大值”的迫近公理，是 20 世紀 80 年代發現的，它將宇宙擴充套件到儘可能遠的地方。它是 V=最終 L 最強大的競爭對手，儘管遠不如它漂亮。“從哲學的角度來看，要證明這個公理的合理性要困難得多，”託多爾切維奇說。“它只能從它對其他數學的影響方面來證明其合理性。”
這就是迫近公理的閃光之處。當 V=最終 L 忙於建造一座難以想象的無窮大城堡時，迫近公理填補了日常數學中的一些棘手漏洞。託多爾切維奇、摩爾、卡洛斯·馬丁內斯-拉內羅和其他人在過去幾年中所做的工作表明，他們賦予許多數學結構以很好的特性，使它們更容易使用和理解。
對於摩爾來說，這些型別的結果使迫近公理相對於內部模型具有優勢。“最終，這個決定必須基於：‘它對數學有什麼作用？’”他說。“除了它自身的內在趣味之外，它能產生什麼好的數學？”
“我的回答是，馬丁最大值在理解經典數學中的結構方面肯定很棒，”伍丁說。“對我來說，這並不是集合論的意義所在。目前還不清楚馬丁最大值將如何更好地理解無窮大。”
在最近的哈佛會議上，來自兩個陣營的研究人員展示了關於內部模型和迫近公理的新工作，並討論了它們的相對優點。他們說，這種反覆的討論可能會繼續下去，直到其中一個候選者被淘汰。例如，最終 L 可能不存在。或者，馬丁最大值可能沒有其支持者希望的那麼有益。
正如許多數學家指出的那樣，這場辯論本身就揭示了人類對無窮大概念缺乏直覺。“在你進一步研究連續統假設的後果之前，你對它是真還是假沒有任何真正的直覺，”摩爾說。
數學以其客觀性而聞名。但是，如果沒有可以作為抽象基礎的真實無窮物件，數學真理在某種程度上就變成了一個觀點問題，這就是辛普森主張將實際無窮大排除在數學之外的論點。V=最終 L 和馬丁最大值之間的選擇也許不是一個真假問題，而更像是詢問哪個更可愛，是英國花園還是森林？
“這是一種個人感受，”摩爾說。
然而，數學領域以其統一性和凝聚力而聞名。正如 ZFC 在 20 世紀初開始主導其他基礎框架一樣，牢固地將實際無窮大嵌入到數學思維和實踐中，很可能只有一項新的公理來決定無窮大的更完整本質才能倖存下來。科爾納認為，“其中一方必須是錯誤的。”
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