放鬆點。直到最近，在數學存在的黑暗角落裡，可能一直潛伏著一個非常奇怪的 254 維、510 維或 1,022 維的球體。* 事實上，就你所知，當訪問維度數為 2k - 2 的任何空間時，你可能都不得不擔心奇怪的球體。
現在不用擔心了。“今晚我們可以睡得更安穩了，”加州大學河濱分校的數學物理學家約翰·貝茲在他的部落格中開玩笑說。貝茲指的是哈佛大學的邁克爾·霍普金斯、弗吉尼亞大學的邁克爾·希爾和羅切斯特大學的道格拉斯·雷文內爾宣佈他們已經破解了一個被稱為 Kervaire 不變數問題的 45 年難題。如果得到證實，他們的結果將為 20 世紀 60 年代輝煌的數學成果——“奇異”高維球體的分類——畫上句號。Kervaire 問題是理解多維空間的主要障礙，其解決方案可能對同樣奇異的物理學領域（如弦理論）產生影響。
當數學家談論高維空間時，他們指的是在這樣的空間中定位一個點所需的變數或維度的數量。地球表面是二維的，因為需要緯度和經度兩個座標才能確定其上的任何點。更正式地說，標準的二維球面是與 2 + 1 = 3 維空間中的一個點等距的點的集合。更一般地說，標準的 n 維球面，或簡稱 n 球面，是與 n + 1 維空間中一箇中心點距離相同的點的集合。球面是拓撲學中最基本的空間之一，拓撲學是數學的一個分支，研究在物體不被壓碎或撕裂變形時哪些屬性保持不變。拓撲學出現在許多研究中，包括那些試圖確定我們宇宙形狀的研究。
支援科學新聞
如果您喜歡這篇文章，請考慮透過以下方式支援我們屢獲殊榮的新聞報道 訂閱。透過購買訂閱，您正在幫助確保有關塑造我們當今世界的發現和想法的具有影響力的故事的未來。
近年來，數學家們已經完成了對“緊緻”的 3-D 空間的分類，這意味著它們是有限的並且沒有邊緣 [參見 Graham P. Collins 的“空間的形狀”；《大眾科學》，2004 年 7 月]。 （球面是緊緻的，但無限平面不是。）因此，他們已經弄清楚了所有可能宇宙的拓撲結構，只要這些宇宙是緊緻的和三維的。然而，在三個以上維度中，完整的分類已被證明是棘手的，甚至在邏輯上是不可能的。拓撲學家曾希望至少像球面這樣簡單的空間會足夠容易。
約翰·米爾諾（John Milnor），現在在石溪大學，在 20 世紀 50 年代發現第一個“奇異” 7 球面時，使問題變得更加複雜。奇異 n 球面從拓撲學的角度來看是一個球面。但從微分學的角度來看，它不等同於標準的 n 球面，微分學是物理學理論的語言。這種差異對描述粒子運動或波傳播等方程產生了影響。這意味著在一個空間上的此類方程的解（甚至它們的公式）不能在另一個空間上對映，而不會產生扭結或“奇點”。物理上，這兩個球面是不同的、不相容的世界。
1963 年，米爾諾和他的同事米歇爾·凱爾韋爾計算了奇異 7 球面的數量，發現正好有 27 個不同的球面。事實上，他們計算了從 5 到任何 n 的 n 球面的數量。然而，當 n 是偶數時，他們的計數有一個歧義——一個可能的因子 2。普林斯頓大學的威廉·布勞德後來消除了這種歧義，除了型別為 n = 2k - 2 的維度，從 k = 7 開始——具體來說，126、254、510 等等。換句話說，數學家只能猜測這些維度中奇異球體的數量，誤差在一個因子 2 之內，這被稱為 Kervaire 不變數，因為它與 Kervaire 早期發明的概念有關。
霍普金斯和他的同事認為他們已經找到了一種消除這種歧義的方法。在他們的證明中，其中涉及代數系統（稱為同調群）的複雜層次結構，他們表明，除了可能在 126 維的情況下，因子 2 在任何這些維度中都不存在，由於技術原因，他們的證明策略沒有解決這個問題。（實際上仍然存在另一個主要的例外：4-D 情況。雖然沒有奇異的 1-、2- 或 3 球面，但沒有人知道是否存在奇異的 4 球面。）
儘管研究人員尚未發表他們的證明，但霍普金斯說，“在沒有同行評審的情況下，我對證明的正確性非常有信心”。斯坦福大學的拓撲學家 Gunnar Carlsson 說，他只從霍普金斯那裡聽到了“關於擬議證明的最粗略的概述”，但“樂觀地認為，解決這個問題的要素很可能已經存在”。如果你熬夜擔心奇怪的球體，那麼這真是太及時了。
注：本文最初印刷時的標題為“超球面奇點”。
*勘誤（10/1/09）：此句子在釋出後已編輯以更正數字錯誤。