乍一看，設計桌布似乎就像幼兒園的美術專案一樣簡單。設計師可以從第一個小塊的任何顏色和形式的組合開始，然後在兩個獨立的方向上重複複製它。根據原始小塊中的圖案和兩個方向的選擇，可能會出現其他對稱性——例如，圖1的六重旋轉對稱性，或圖2的反射對稱性，這兩者都是由加利福尼亞州聖克拉拉大學的數學家弗蘭克·法里斯建立的。
圖1。桌布圖案，左側，每個棕綠色花飾周圍都有六重旋轉對稱性。
圖2。桌布圖案，透過每個橢圓形彩色玻璃裝飾品的（未標記的）水平線具有反射對稱性。
插圖：弗蘭克·法里斯
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圖3。彭羅斯鋪磚，例如上圖，在許多地方表現出許多區域性五重對稱性；然而，這些圖案從未顯示出桌布重複。隨著彭羅斯鋪磚填充平面越來越大，胖瓷磚的數量與薄瓷磚的數量之比接近黃金比例。
圖片：由西蒙斯科學新聞提供
圖4。點選檢視更大的圖片和標題。
插圖：弗蘭克·法里斯
雖然可以用二重、三重、四重或六重旋轉對稱性建立桌布，但不可能使用五重旋轉對稱性來建立桌布。數學家們已經知道這種限制近 200 年了，稱為“晶體學限制”。五邊形的幾何形狀排除了具有五重對稱性的桌布圖案；七重及更高重旋轉也是如此。
然而，一些最引人入勝的非桌布圖案，例如彭羅斯鋪磚（參見圖 3），在許多位置和許多尺度上都表現出區域性五重對稱性，但沒有任何重複圖案。現在，法里斯使用與彭羅斯鋪磚非常不同的方法，利用五重對稱的特殊幾何形狀建立了一系列引人注目的新影像——似乎打破了晶體學限制的桌布贗品。
例如，圖 4 起初看起來像是晶體學限制的反例，圍繞點 A 具有五重旋轉對稱性，並且在 AB 和 AC 方向上具有桌布圖案偏移。
實際上，正如法里斯在《美國數學學會通告》2012 年 11 月號中所描述的那樣，該影像是一個巧妙的騙局。
“你知道你看到的對稱性是不可能的，”明尼蘇達州諾斯菲爾德卡爾頓學院的斯蒂芬·肯尼迪說。
圍繞點 A 的五重旋轉對稱性是完全有效的。但是，如果仔細觀察，您會發現 B 和 C 處的風車實際上與 A 處的風車略有不同。如果我們放大以檢視更多的圖案，表面上的桌布重複與 A 點的設計的相似度會越來越低，即使在其他位置同時出現新的、更具說服力的 A 的副本，如圖 5 所示。事實上，法里斯已經證明，可以透過以特定數量（即，以斐波那契數（數字序列 1、1、2、3、5、8、13、21……其中每個數字是前兩個數字的總和）遞增來放大，從而在更大的尺度上產生新的錯覺，斐波那契數也在彭羅斯鋪磚的幾何形狀中發揮作用。
圖5。點選檢視更大的圖片和標題。
插圖：弗蘭克·法里斯
“我們從理智上知道這一定是作弊，”法里斯說。儘管如此，他在《通告》中寫道，這些影像“邀請我們的眼睛漫步並享受近乎重複的圖案”。
法里斯透過修改他為製作具有三重旋轉對稱性的真正桌布設計而開發的技術，偶然發現了這些贗品，例如圖 6 中的圖案。
為了建立一個三重桌布設計，法里斯首先從三維空間開始，三維空間有一個特別自然的三重旋轉，它只是迴圈三個座標，使空間中的點圍繞對角線旋轉 120 度。然後，法里斯透過疊加精心選擇的正弦波，並使用預先選擇的調色盤根據點在疊加波上的位置對點進行著色，來建立三維桌布圖案。最後，法里斯透過將這種著色限制在垂直穿過原點旋轉軸的二維平面上，得出了一個平面桌布圖案。
肯尼迪說，這種建立桌布圖案的平滑正弦方法與傳統的剪下貼上方法不同。“這是一種非常新穎的製作對稱圖案的方法。”
圖6。透過法里斯的正弦波方法建立的具有三重旋轉對稱性的桌布圖案。
插圖：弗蘭克·法里斯
如果我們不知道這是不可能的，那麼人們可能會期望在五維空間中採用類似的過程來生成具有五重對稱性的桌布圖案。法里斯想知道，一切都在哪裡崩潰了？
五維空間存在——至少在理論上是這樣，儘管它很難視覺化——並且具有類似於三維空間中三重旋轉的自然五重旋轉。在五維空間中，有兩個自然的平面可以觀察，每個平面都垂直於旋轉軸並且彼此垂直。在每個平面上，旋轉透過圍繞原點旋轉平面 72 或 144 度（五重旋轉）來起作用。（想象兩個平面和一條線彼此垂直可能看起來違反直覺，但在五維空間中，所有這些物件都有足夠的空間。）
法里斯意識到，問題在於，雖然三維情況下的垂直平面很好地穿過空間，並且包含一個具有整數座標的無限桌布點陣列，但五維空間中的兩個垂直平面是非理性的，根本不包含任何整數點（除了原點）。由於疊加正弦波的桌布圖案在整數位移上重複自身，因此這些平面無法從高維設計中繼承桌布圖案。
“這給膏藥裡扔了一隻蒼蠅，”法里斯在《通告》中寫道。
儘管如此，由於所謂的黃金比例（一個描述兩個平面方向的無理數）和斐波那契數之間的相互作用，兩個平面各自繼承了桌布結構的錯覺。
由於這些關係，法里斯能夠證明，雖然這兩個平面不包含任何整數點，但每個平面都非常接近一個無限散佈的整數點，這些點的座標是斐波那契數。每次平面接近這些斐波那契點之一時，設計看起來幾乎與原點處完全相同，從而產生了精確副本的錯覺。
法里斯已經找到了將自然照片的顏色和形式與他桌布設計中的波函式融合的方法，從而創造了一系列令人眼花繚亂的桌布贗品，例如這張源自相鄰草地景觀的贗品。在假桌布中仍然可以看到一些樹枝。
插圖和照片：弗蘭克·法里斯