幾個世紀以來，素數以其不可預測且看似隨機的分佈吸引著數學家。在一項開創性的預印本研究中，研究人員設計了一種新穎的方法，加強了我們對這些難以捉摸的數值的搜尋——但也揭示了我們探測它們的能力的侷限性。
素數只能被1和自身整除。它們是數學的“原子”，能夠將其他數字分解為因子（如 12 = 2 × 2 × 3）。隨著數字的增加，識別素數變得越來越具有挑戰性。如果有人問你，“1到1,000之間有多少個素數？” 你會從哪裡開始？
經典的埃拉託斯特尼篩法提供了一個起點。這種古老的技術系統地消除每個素數的倍數，只允許素數本身“掉出來”。數學家將消除的倍數稱為“I型資訊”，這有助於預測給定範圍內有多少個素數。然而，這種資訊是有限的。“有時你擁有儘可能好的I型資訊，但你仍然找不到任何素數，”該研究的合著者、伊利諾伊大學厄巴納-香檳分校的數學家凱文·福特解釋說。
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福特和牛津大學數學家詹姆斯·梅納德提供了一種強大的方法，透過精確估計必須存在於大範圍內的素數數量來研究大範圍內的素數。這項工作結合了兩種互補的觀點：消除數字的I型資訊（例如劃掉所有 2 的倍數，然後是 3 的倍數，等等）以及考慮多次劃掉的數字（例如 6 如何同時出現在 2 和 3 的倍數列表中）——稱為 II 型資訊。
數學家可以調整他們如何權衡每種型別的資訊，以獲得給定範圍內素數的最準確計數。但在仔細調整這兩個旋鈕時，論文的作者發現存在基本限制：精確的數學邊界，在這些邊界處，進一步調整都無法提高我們計數的準確性，從而揭示了關於這些數字如何在數軸上分佈的深刻真理。
該研究將這些估計的準確性（對於一個集合，或“資訊強度”）比作改變篩子中網格的大小：太小，你會抓住每一個數字；太大，素數就會溜走。圖爾庫大學的數學家凱莎·馬託瑪基研究素數分佈，她說，這項工作“精確而直接地回答了什麼是‘足夠好’的資訊來檢測素數”。普林斯頓大學數學家彼得·薩爾納克是素數篩法理論專家，他補充說，理解設計篩子時的侷限性對於發展完整的素數理論至關重要：“揭示一個人無法實現什麼是根本的。”
福特希望這種方法將幫助研究人員解決長期存在的未解決問題。“素數的分佈方式非常非常神秘，所以我們正在努力將我們的理解向前推進一點點。”