“請來一杯健力士！”一位顧客對酒保說，酒保拿起一個印有商標的品脫杯，放在龍頭下接酒。酒保開始一個精確耗時 119.5 秒的多步驟傾倒過程，無論這是一種營銷噱頭還是酒精工程的奇蹟，都已經成為全球酒吧裡一種受人喜愛的儀式。結果：一杯濃郁的烈性黑啤酒，上面有一層完美的泡沫，就像一杯泥土味的奶昔。
自創始人亞瑟·健力士在都柏林簽訂了一份年租金 45 英鎊的 9000 年租約以來，健力士啤酒廠就以其創新方法而聞名。例如，在經過四年的嘗試後，一位從數學家轉行為釀酒師的邁克爾·愛德華·阿什發明了一種化學技術，使該啤酒廠的同名烈性黑啤酒具有天鵝絨般的泡沫。該方法包括向啤酒桶和健力士罐內的小球中新增氮氣，催生了當今非常流行的“氮氣冷萃”啤酒和咖啡風格。
但到目前為止，這家啤酒廠最具影響力的創新與啤酒無關。它是 t 檢驗的誕生地，t 檢驗是所有科學領域最重要的 統計技術 之一。當科學家宣佈他們的發現“具有統計顯著性”時，t 檢驗通常是這一結論的基礎。這是如何運作的？為什麼它會起源於啤酒釀造這種行業呢？
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在 20 世紀初，健力士啤酒廠已經運營了近 150 年，並作為世界上最大的啤酒廠傲視群雄。在此之前，其產品的質量控制包括粗略的目測和氣味測試。但是，全球擴張的需求促使健力士的領導者改進他們的方法，以實現目標一致性和工業級嚴謹性。該公司聘請了一支智囊團，並賦予他們自由，讓他們可以為了釀造完美的啤酒而追求研究問題。這家啤酒廠成為實驗中心，以解答一系列問題：哪裡生長的大麥品種最好？麥芽提取物中理想的糖含量是多少？最新的廣告宣傳活動增加了多少銷量？
Shuyao Xiao
在蓬勃發展的科學活力中，該團隊面臨著一個持續存在的問題：如何在小樣本量的情況下解讀其資料。釀酒師面臨的一個挑戰涉及啤酒花，啤酒花是健力士啤酒的重要成分，它賦予啤酒苦味並充當天然防腐劑。為了評估啤酒花的質量，釀酒師測量植物的軟樹脂含量。假設他們認為 8% 是一個良好且典型的數值。但是，測試作物中的每一朵啤酒花在經濟上是不可行的。因此，他們做了任何優秀的科學家都會做的事情，並測試了啤酒花的隨機樣本。
讓我們檢查一個虛構的例子。假設我們測量了九個樣本的軟樹脂含量，並且由於樣本各不相同，觀察到值的範圍從 4% 到 10% 不等，平均值為 6%——太低了。這是否意味著我們應該傾倒這批作物？不確定性來自對低值的兩種可能解釋。要麼這批作物的軟樹脂含量確實異常低，要麼即使樣本包含的量很低，但整個作物實際上很好。抽取隨機樣本的全部意義在於依靠它們作為整個作物的忠實代表，但也許我們很不幸地選擇了具有異常低水平的樣本。（畢竟我們只測試了九個樣本。）換句話說，我們應該認為樣本中的低樹脂含量與 8% 顯著不同，還是僅僅是自然的變異？
這個問題並非啤酒釀造獨有。相反，它滲透到所有科學探究中。假設在醫學試驗中，治療組和安慰劑組都有改善，但治療組的效果略好。這是否為推薦測試藥物提供了充分的理由？如果我告訴你這兩個組接受了兩種不同的安慰劑呢？您是否會傾向於得出結論，認為給予結果較好組的安慰劑一定具有藥用特性？或者可能是，當您跟蹤一群人時，他們中的一些人自然會好轉，有時會好轉一點，有時會好轉很多？同樣，這歸結為一個 統計顯著性 問題。
Shuyao Xiao
在健力士啤酒廠出現之前，特別是直到 20 世紀初健力士啤酒廠的首席實驗釀酒師威廉·西利·戈塞特發明了 t 檢驗，關於小 樣本量 領域中這些長期存在的問題的理論才得以發展。統計顯著性的概念早於戈塞特，但之前的統計學家是在大樣本量的情況下工作的。要理解為什麼這種區別很重要，我們需要了解如何確定統計顯著性。
請記住，在我們的假設場景中，啤酒花樣本的平均軟樹脂含量為 6%，我們想知道整個作物的平均值實際上是否與期望的 8% 不同，或者我們只是樣本運氣不好。因此，我們將問一個問題：如果整個作物是典型的（平均值為 8%），那麼我們觀察到如此極端值（6%）的 機率 是多少？傳統上，如果這個機率（稱為 P 值）小於 5% 或 0.05，那麼我們就認為這種偏差具有統計顯著性，儘管不同的應用需要不同的閾值。
通常，兩個獨立的因素會影響 P 值：樣本偏離總體預期值的程度以及大偏差的常見程度。可以將其視為訊號與噪聲之間的拉鋸戰。我們觀察到的均值（6%）與我們期望的均值（8%）之間的差異提供了訊號——這種差異越大，作物真正具有低軟樹脂含量的可能性就越大。花朵之間的標準差帶來了噪聲。標準差衡量資料在均值周圍的離散程度；小值表示資料在均值附近波動，而大值表示更大的變異。如果軟樹脂含量通常在芽之間波動很大（也就是說，如果它具有較高的標準差），那麼也許我們樣本中的 6% 平均值不應該讓我們擔心。但是，如果花朵傾向於表現出一致性（或較低的標準差），那麼 6% 可能表明與期望的 8% 存在真正的偏差。
為了在理想世界中確定 P 值，我們將首先計算信噪比。該比率越高，我們對研究結果的顯著性就越有信心，因為高比率表明我們發現了真正的偏差。但是，什麼才算是高信噪比呢？為了認為 6% 與 8% 顯著不同，我們特別想知道信噪比何時如此之高，以至於在樹脂含量為 8% 是常態的世界中，只有 5% 的可能性發生這種情況。戈塞特時代的統計學家知道，如果您多次執行實驗，計算每次實驗中的信噪比並繪製結果圖，則該圖將類似於“標準正態分佈”——熟悉的正態分佈曲線。由於正態分佈是眾所周知的且有充分記錄的，因此您可以在表格中查詢比率必須有多大才能達到 5% 的閾值（或任何其他閾值）。
戈塞特認識到，這種方法僅適用於大樣本量；小啤酒花樣本不能保證正態分佈。因此，他一絲不苟地為較小的樣本量製表了新的分佈。現在稱為 t 分佈，這些圖類似於正態分佈，因為它們是鐘形的，但鐘形曲線的下降程度不如正態分佈那麼劇烈。這意味著需要更大的信噪比才能得出顯著性結論。他的 t 檢驗使我們能夠在以前人們無法進行推斷的情況下進行推斷。
2008 年，數學顧問約翰·D·庫克在他的 部落格 中思考，也許 t 檢驗起源於啤酒廠而不是葡萄酒廠不應該讓我們感到驚訝。啤酒廠要求其產品的質量保持一致，而釀酒師則陶醉於多樣性。葡萄酒有“好年份”，每瓶酒都有一個故事，但您希望每一杯健力士啤酒都能提供相同的標誌性口味。在這種情況下，統一性激發了創新。
戈塞特用他的新技術解決了啤酒廠的許多問題。這位自學成才的統計學家以筆名“Student”發表了他的 t 檢驗，因為健力士不想向競爭對手洩露其研究成果。儘管戈塞特開創了工業質量控制，併為定量研究貢獻了大量其他想法，但大多數教科書仍然稱他的偉大成就為“Student’s t-test”（學生 t 檢驗）。歷史可能忽略了他的名字，但他可以自豪的是，t 檢驗是迄今為止科學界最廣泛使用的統計工具之一。也許他的成就應該被載入《吉尼斯世界紀錄大全》（這個想法是健力士啤酒廠的總經理在 20 世紀 50 年代構想出來的）。為此乾杯。