烘焙不是我的強項。所以當有客人來訪時，我會衝到麵包店買甜點，而且常常有太多的選擇而眼花繚亂。面對琳琅滿目的美味蛋糕和餡餅，我發現很難決定。我的策略是說：“哦，為什麼不每樣給我打包一塊呢？”
這種做法實際上與數學中一個著名的辯論有關。並非是我缺乏決斷力會激怒數學家（除非他們排在我後面）。不，真正引起麻煩的是這個想法，即我實際上可以從任意數量的不同蛋糕和餡餅中選擇正好一塊或一片，然後把它們帶回家。這個想法與一個未經證實的根本真理有關，即所謂的選擇公理。
起初，人們不會期望這種做法會違反任何數學原理。但是，一旦選擇公理被採用，隨之而來的結論卻引發了數學界最大的爭議。這是因為這個公理導致了明顯的矛盾結果：例如，它可以“神奇地”將一個球體加倍，或者暗示存在無法測量的有限物體。
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因此，一些專家在證明中專門指出何時使用了選擇公理——而且有些數學家希望在沒有這個公理的情況下徹底改革這門學科。然而，一個沒有選擇公理的世界甚至更加奇怪。
數學的基礎
為了理解這場辯論，我們首先需要考慮是什麼將數學與其他自然科學區分開來。在19世紀末，數學家們意識到他們必須就一個共同的基礎達成一致——也就是說，一些基本的真理——包括一套規則。其想法是，所有數學結果——無論是1 + 1 = 2還是複雜的積分——都可以從一個共同的基礎推匯出來。每個陳述和每個證明都可以使用同一套規則進行明確的檢查。
在數學家們制定這些共同法則的時候，集合論似乎是一個很好的起點。然後，專家們不得不就作為真理而被接受的基本真理或公理達成一致，即使這些真理無法被證明。例如，“存在一個空集”就是這些真理之一。它滿足公理的所有要求：它簡短、精確，定義了一個明確的物件，並且是毋庸置疑的真理。
數學家們尋求其他的公理，希望能找到最簡單、最短的規則集，從中可以最終構建整個學科。他們成功了。他們的努力產生了所謂的策梅洛-弗蘭克爾公理系統，由八個基本真理組成。所有這些公理都宣告存在某些集合：例如，空集或集合的冪集（所有子集的集合）。而這些總是由公理明確定義的。
然而，數學家恩斯特·策梅洛很快意識到，這八個基本真理是不夠的。因此，他在1904年引入了選擇公理。衝突由此開始。
你總是有選擇
選擇公理允許你從一系列非空集合中一次選擇一個元素——就像我可以在麵包店裡要幾塊蛋糕一樣。起初，這似乎是很自然的。然而，選擇公理不限於有限的情況：即使有無限數量的蛋糕，選擇公理也允許你一次挑選一塊。
這個公理本質上宣告存在一個規則，允許你提出這樣的請求。例如，一個這樣的規則可能是：“請給我每塊蛋糕的邊緣部分。” 這給了麵包店櫃檯後面的人一個具體的指示，他們可以遵循。但是，對於矩形蛋糕來說，找到“邊緣部分”顯然比圓形蛋糕更容易指示。我只能說我想要每塊蛋糕的一片——但我無法具體說明我想要哪一片。
缺乏精確性正是許多專家所困擾的。其他的公理預測了一個明確定義的集合。但是在選擇公理中，“選擇函式”（或者我給麵包師的指示）將導致我收到一些我無法事先完全描述的東西。
然後在1904年晚些時候，引入選擇公理的策梅洛發現了一個極其違反直覺的結果，他只能在選擇公理的幫助下證明這一點。他證明了任何量都可以被良序化。從這個所謂的良序定理，可以得出結論，其中包括，每個集合根據該排序都有一個最小元素。
但這與數學的通常原則相矛盾。例如，如果你考慮集合 (0, 1)，它包含所有大於 0 且小於 1 的實數。你在數學中不斷地使用這樣的集合進行計算。重要的是要注意，0 和 1 不屬於 (0, 1)。良序定理暗示這個集合根據給定的排序有一個最小元素。但這在典型的數字排序方法中是不可能的：根據標準數學，這個集合中沒有最小元素。事實上，對於哪個排序給出 (0,1) 中最小的數字這個問題，沒有達成一致的答案。
策梅洛的結果引發了一場幾乎是哲學性質的世界性辯論：數學物件（例如選擇函式或集合的最小元素）何時存在？我們是否總是必須能夠明確說明如何構造一個物件——還是間接證明它的存在就足夠了？ “從1905年到1908年，英國、法國、德國、荷蘭、匈牙利、義大利和美國的著名數學家們就[策梅洛的證明]的有效性進行了辯論。在近代，數學家們從未如此公開和如此激烈地爭論過一個證明，” 數學史學家格雷戈裡·摩爾在他的1982年著作《策梅洛的選擇公理》中寫道。
事情變得更糟。從選擇公理可以得出 所謂的維塔利定理，根據該定理，你可以形成一個介於 0 和 1 之間的實數集合，該集合是不可測量的。選擇公理使得可以將數字分組為各個子集並從每個子集中選擇一個元素，由此產生的集合非常不規則，以至於它不再可測量。
另一個違反直覺的結果是球體的神奇加倍，更廣為人知的是 巴拿赫-塔斯基悖論。藉助選擇公理，可以將體積為 V 的球體分解為複雜的各個部分，並以這樣一種方式重新組裝，從而建立兩個體積均為 V 的球體。這些和其他結果增加了對選擇公理的不信任。
另一種數學
因此，一些專家決心拒絕選擇公理，而是隻使用策梅洛-弗蘭克爾集合論的八個基本真理。但他們並沒有取得多大進展。 事實上，策梅洛考察了一些選擇公理最激烈的批評者的工作，並能夠證明他的同事們——在沒有意識到的情況下——實際上一次又一次地使用了選擇公理。
例如，如果沒有選擇公理，就不可能確保每個向量空間都有一個基。這個性質由另一個稱為 佐恩引理 的陳述暗示，聽起來很抽象，但物理學家和數學家一次又一次地提到它。你可以藉助一張紙（從數學的角度來看，它不過是一個向量空間）來視覺化這一點。如果你在這張紙上畫兩個箭頭，一個水平指向，一個垂直指向，你可以從這些箭頭到達紙上的任何一點。例如，你可以水平移動第一個箭頭長度的 0.5 倍，然後垂直新增第二個箭頭長度的 1.65 倍，以到達特定點 x。
因此，佐恩引理使得可以在每個向量空間中繪製一個座標系，該座標系可以用於明確地描述空間中的每個點。如果你放棄選擇公理，也會存在沒有這種座標系的向量空間——這可能會導致嚴重的問題，尤其是在物理學中。
事實證明，良序定理、佐恩引理和選擇公理不僅相關，而且是等價的。從數學的角度來看，它們處於同一水平。正如 數學家傑裡·博納恰如其分地指出：“選擇公理顯然是真的；良序原則顯然是假的；誰又能說佐恩引理呢？”
選擇公理是真的還是假的？
問題在於你無法證明公理。策梅洛引入選擇公理是因為策梅洛-弗蘭克爾集合論的八個公理不夠強大，無法用於構造選擇函式。換句話說：如果你存在於一個只使用八個被接受的基本真理的宇宙中，你就無法嘗試麵包店裡的每塊蛋糕。
但是一些專家認為，也許他們可以證明將選擇公理新增到八個基本公理中將不可避免地導致矛盾。也就是說，與八個策梅洛-弗蘭克爾公理之一結合使用，可能會出現諸如 1 = 2 之類的矛盾陳述。如果是這樣，他們認為，數學的基礎將被破壞，整個學科將像紙牌屋一樣崩潰。然而，正如數學家在 1960 年代確定的那樣，情況並非如此。如果你將選擇公理新增到八個基本真理中，就不會出現此類問題。
但反過來也是如此。你可以將選擇公理的否定新增到八個策梅洛-弗蘭克爾公理中，而不會遇到任何矛盾。這意味著選擇公理可以被認為是真或假，數學家可以自由選擇兩種可能性之一。
一個沒有選擇的世界
“人們經常聽到對選擇公理的描述是，它對某些數學論證很有用，但在巴拿赫-塔斯基悖論和其他違反直覺的後果面前卻存在問題。然而，在我看來，當我們也強調當選擇公理失效時可能出現的違反直覺的情況時，會出現更加平衡的利弊討論，” 聖母大學數學家喬爾·大衛·哈姆金斯在他的著作《數學哲學講義》中寫道。
如果選擇公理被認為是錯誤的，那麼關於實數就會出現悖論性的結果。假設你想把實數分成不同的桶；數字 x 進入桶 A，數字 y 進入桶 B，等等。每個數字都可以精確地進入一個桶，並且每個桶都至少包含一個數字。
如果你拒絕選擇公理，你可以證明桶的數量超過了實數的數量。因此，存在無限多的實數（和桶），但是桶的無窮大大於實數的無窮大——至少在選擇公理為假的情況下是這樣。
更糟糕的是，如果選擇公理的否定為真，那麼不僅會存在一些（非常牽強）的不可測量集合的例子——整個測量理論都會崩潰！ “這比僅僅擁有維塔利不可測集合要糟糕得多，”哈姆金斯在他的書中寫道。
因此，選擇公理已被主流數學所接受。儘管有一個小的數學社群正在嘗試完全不使用選擇公理來改造這門學科，但大多數數學家現在已經接受它為真。這是幸運的，因為這意味著仍然可以從麵包師那裡訂購任意數量的蛋糕樣品——而且我不必開始學習烘焙。
本文最初發表於《明鏡週刊·科學版》，經許可轉載。