數學家們表示，他們已經解決了幾何學中的一個重大難題，這個難題困擾了幾十年：如何僅透過知道波在神秘物體‘X’邊界上任意兩點之間傳播的速度來重建其內部結構。
這項工作在現實世界中具有應用意義，例如地球物理學家可以使用地震波來分析地球內部的結構。
“在不破壞‘X’的情況下，我們能否弄清楚它的內部結構？”加州斯坦福大學的數學家András Vasy在上週在倫敦大學學院（UCL）的一次演講中提出這個問題時說。“一種方法是讓波穿過它，”他說，“並測量它們的特性。”
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現在，Vasy和他的兩位合作者表示，他們已經證明，僅憑這些資訊就足以揭示物體的內部結構。
向內看
這個問題被稱為邊界剛性猜想。它屬於黎曼幾何領域，這是現代的、具有任意維度彎曲空間的理論。阿爾伯特·愛因斯坦基於這個數學分支構建了他的廣義相對論——其中質量使時空幾何彎曲。
數學家們已經知道，曲率在一個“黎曼流形”（彎曲空間的數學術語）內部各處的變化方式決定了任意兩點之間的最短路徑。
這個猜想顛倒了這種關係：它表示，知道邊界上各點之間最短路徑的長度，基本上就可以確定整個區域的曲率。（因此，幾何結構被認為是“剛性的”。）因此，透過測量波在空間內部傳播的速度，人們可以計算出最短路徑，並從理論上確定整體結構。
這個猜想可以追溯到至少1981年，當時已故的數學家勒內·米歇爾1針對該猜想應該成立的空間提出了一些技術假設。（對於一般的黎曼流形，這個猜想不成立。）
Vasy的合著者，西雅圖華盛頓大學的數學家Gunther Uhlmann自1990年代末以來一直在研究這個問題，他和一位合作者已經解決了二維黎曼流形的問題，即彎曲的表面2。現在，Vasy和他的合作者已經解決了三維或更多維空間的問題。
逐層分析
在愛因斯坦的時空中，曲率會產生引力透鏡效應，天文學家對此現象很熟悉，光線路徑會圍繞恆星等巨大物體彎曲。類似的數學原理也適用於傳統透鏡或折射：當光線或聲波傳播的介質發生變化時，其傳播方向會發生偏移。
對於地震波（由地震等事件產生）而言，地球在不同深度具有不同的特性，這意味著這些波的最短路徑通常不是直線，而是曲線。自20世紀初以來，地球物理學家就利用這一事實繪製了地球的內部結構圖，他們就是這樣發現了地幔、核心和外核的。
這些發現都植根於一些經過簡化的數學處理方法。直到現在，人們還不清楚是否可以僅使用波的傳播時間來完全確定地球的結構。
但這正是Vasy和他的團隊的證明所展示的——地球物理問題是解決該猜想的關鍵動機。
他們的假設與米歇爾的假設不同，即彎曲的空間或流形是分層排列的。這使他們能夠分階段構建解決方案。“你像剝洋蔥一樣逐層分析，”Uhlmann說。對於實際應用，這意味著研究人員不僅會知道該問題存在唯一的解決方案，而且還將擁有明確計算該解決方案的步驟。
這三位數學家已經在一小部分專家中傳閱了他們長達50頁的論文，該論文目前尚未發表，但已被Nature新聞團隊看到。Vasy表示，根據他們收到的反饋，作者希望在未來兩週內將論文釋出在arXiv儲存庫上，並將其提交給期刊。
從理論到現實
Vasy說，這項工作可能對開發超聲等醫學成像技術的人以及地震學家有所幫助。
但是，德克薩斯州休斯頓萊斯大學的計算地震學家Maarten de Hoop表示，將該理論應用於真實的地球物理資料不會立即發生。一個困難是，該理論假設每個點都有資訊。但實際上，資料僅在相對稀疏的位置收集。Uhlmann說，他正在與專門從事數值分析的同事一起研究這個問題。
de Hoop說，改進後的數學方法可能不會徹底改變我們對地球結構的認識。但是，它可能會幫助我們更好地理解已知特徵，例如冰島或夏威夷下方的地幔柱，甚至可能發現新的特徵。
正如每個有意義的數學結果一樣，“需要一段時間才能掌握它”並徹底審查該證明，英國劍橋大學的數學家Gabriel Paternain說。
專家們正在認真對待這一說法，部分原因是它建立在社群已經接受為突破的線性形式問題的技術步驟之上3，UCL數學家Yaroslav Kurylev補充說。
到目前為止，Paternain說，給人的印象是“非常棒”。
本文經許可轉載，並於2017年2月10日首次發表。