廣義相對論始於一個突如其來的想法。那是1907年末，距離阿爾伯特·愛因斯坦提出狹義相對論和光量子理論的“奇蹟年”已經過去兩年，但他仍然是瑞士專利局的一名審查員。物理學界尚未趕上他的天才。他回憶說，在伯爾尼的辦公室裡坐著時，一個想法“震驚”了他：“如果一個人自由下落，他就不會感覺到自己的體重。”他後來稱之為“我一生中最快樂的想法”。
墜落的人的故事已成為一個標誌性的故事，在某些說法中，它實際上涉及一位從專利局附近公寓樓屋頂墜落的油漆匠。就像其他關於引力發現的偉大故事——伽利略從比薩斜塔上扔下物體，蘋果落在艾薩克·牛頓的頭上——它在民間傳說中被潤色了。儘管愛因斯坦傾向於關注科學而不是“純粹的個人”，但他也不太可能看到真人從屋頂墜落並想到引力理論，更不用說稱之為他一生中最快樂的想法了。
愛因斯坦很快完善了他的思想實驗，使墜落的人處於一個封閉的房間裡，例如自由落體的電梯。在房間裡，他會感到失重。他扔下的任何物體都會在他身邊漂浮。他將無法分辨——他無法做任何實驗來確定——房間是在加速墜落還是漂浮在外太空的無重力區域。
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然後愛因斯坦想象這個人身處太空深處的同一個房間裡，那裡沒有可察覺的引力，並且有一個恆定的力以加速度向上拉動房間。他會感覺到腳被壓在地板上。如果他扔下一個物體，它會以加速度落到地板上——就像他站在地球上一樣。無法區分重力效應和加速效應。
愛因斯坦將此稱為“等效原理”。重力和加速度的區域性效應是等效的。因此，它們必定是同一現象的表現，某種宇宙場解釋了加速度和引力。
愛因斯坦又花了八年時間才將他關於墜落的人的思想實驗變成物理學史上最美麗的理論。他將從在瑞士專利局工作的已婚父親的平靜生活，轉變為獨自一人在柏林擔任教授，與家人疏遠，並因反猶太主義的興起而日益疏遠他在普魯士科學院的同事。加州理工學院和普林斯頓大學去年決定將愛因斯坦論文的檔案免費線上公開，讓我們得以一窺他在整個時期如何在宇宙和個人之間周旋。我們可以體會到他在 1907 年末寫下他所謂的“基於相對論原理，關於加速度和引力的新穎考慮”時的興奮之情。然後，我們可以感受到他一週後拒絕一家電力公司關於交流發電機的專利申請時的壞脾氣，稱該申請“準備不正確、不精確且不清楚”。未來的幾年將充滿人間戲劇，愛因斯坦與競爭對手競相用數學表達相對論，同時與疏遠的妻子就金錢和他探望兩個年幼兒子的權利爭吵。但到 1915 年，他的工作達到了頂峰，完成了一個將永遠改變我們對宇宙理解的理論。
彎曲的光線
在提出重力和加速度是等效的之後的近四年裡，愛因斯坦幾乎沒有對這個想法做任何事情。相反，他專注於量子理論。但在 1911 年，當他最終突破學術界的圍牆，成為布拉格德國查爾斯-斐迪南大學的教授時，他將注意力轉回提出一個引力理論，這將幫助他推廣狹義相對論——他在 1905 年定義的空間和時間之間的關係。
隨著愛因斯坦發展了他的等效原理，他意識到它有一些令人驚訝的推論。例如，他的房間思想實驗表明引力會彎曲光線。想象一下，房間正在向上加速。一道光束從一面牆上的一個小孔射入。當光束到達對面牆時，光線會稍微靠近地板，因為房間已經向上射出。如果您可以繪製光束穿過房間的軌跡，由於向上加速，它將是彎曲的。等效原理表明，無論房間是向上加速還是靜止在引力場中，這種效應都應該是相同的。換句話說，光在穿過引力場時應該彎曲。
1912 年，愛因斯坦請一位老同學幫助他解決可能描述彎曲和扭曲的四維時空的複雜數學問題。在此之前，他的成功是基於他發現自然界潛在物理原理的天賦。他將尋找這些原理的最佳數學表示式的任務留給了別人。但現在愛因斯坦意識到，數學可以成為發現——而不僅僅是描述——自然規律的工具。
愛因斯坦在追求他的廣義相對論時的目標是找到描述兩個相互交織的過程的數學方程：引力場如何作用於物質，告訴它如何運動，以及物質如何在時空中產生引力場，告訴時空如何彎曲。
在接下來的三年裡，愛因斯坦與最終被證明有缺陷的草稿和提綱作鬥爭。然後，從 1915 年夏天開始，數學和物理學開始結合在一起。
個人瓦解
那時，他已移居柏林，成為教授和普魯士科學院院士。但他發現自己幾乎在沒有任何支援的情況下工作。反猶太主義正在興起，他沒有在他周圍形成同事圈子。他與妻子米列娃·馬里奇分手，米列娃·馬里奇是一位物理學家同事，曾在 1905 年制定狹義相對論時擔任他的智囊團，她帶著他們兩個兒子（10 歲和 4 歲）搬回蘇黎世。他與表妹埃爾莎有染，他後來會與埃爾莎結婚，但他獨自一人住在柏林市中心一套陳設簡陋的公寓裡，在那裡他斷斷續續地吃飯、隨意睡覺、拉小提琴並進行孤獨的鬥爭。
在 1915 年全年，他的個人生活開始瓦解。一些朋友催促他離婚並娶埃爾莎；另一些人則警告說他不應該與她在一起，也不要讓她靠近他的兩個兒子。馬里奇多次發信要求錢，有一次愛因斯坦以肆無忌憚的痛苦回覆。“我認為這樣的要求超出了討論範圍，”他回應道。“我發現你不斷試圖抓住我所擁有的一切絕對是可恥的。”他努力與兒子們保持通訊，但他們很少回信，他指責馬里奇沒有將他的信件交給他們。
然而，在如此個人動盪之中，愛因斯坦能夠在 1915 年 6 月底之前構思出廣義相對論的許多要素。在該月底，他在德國哥廷根大學（當時世界領先的數學中心）就他不斷發展的思想進行了一系列為期一週的講座。其中最傑出的天才人物是大衛·希爾伯特，愛因斯坦特別渴望——也許是太渴望了，結果會證明——向他解釋相對論的所有複雜性。
競爭
哥廷根之行取得了巨大的成功。幾周後，愛因斯坦向一位科學家朋友報告說，他“能夠讓希爾伯特相信廣義相對論”。在給另一位同事的信中，他甚至更加熱情：“我非常迷戀希爾伯特！”
希爾伯特同樣迷戀愛因斯坦和他的理論，以至於他很快就開始研究他是否可以做愛因斯坦迄今為止尚未完成的事情：產生可以完成廣義相對論公式化的數學方程。
愛因斯坦在 1915 年 10 月初開始聽到希爾伯特的腳步聲，正如他意識到他當前的理論版本——該版本基於他已經完善了兩年的Entwurf（或提綱）——存在嚴重缺陷。他的方程沒有正確地解釋旋轉運動。此外，他意識到他的方程不是普遍協變的，這意味著它們並沒有真正使所有形式的加速和非均勻運動相對化，也沒有完全解釋天文學家在水星軌道上觀察到的異常現象。水星的近日點——它離太陽最近的點——一直在逐漸移動，牛頓物理學或愛因斯坦當時版本的他自己的理論都無法解釋這種移動。
愛因斯坦面臨著兩個滴答作響的時鐘：他可以感覺到希爾伯特正在逼近正確的方程，並且他已同意在 11 月向普魯士科學院院士做一系列四次正式的星期四講座，介紹他的理論。結果是為期一個月精疲力竭的旋風，在此期間，愛因斯坦與一系列方程、修正和更新作鬥爭，他急於完成這些方程、修正和更新。
即使當他於 11 月 4 日到達普魯士國家圖書館大廳發表他的第一次講座時，愛因斯坦仍在與他的理論作鬥爭。“在過去的四年裡，”他開始說，“我一直試圖建立一個廣義相對論。”他非常坦誠地詳細描述了他遇到的問題，並承認他仍然沒有提出完全有效的方程。
愛因斯坦正處於歷史上最集中的科學創造力狂潮之一中。與此同時，他正在處理家庭內部的個人危機。來自他疏遠的妻子的信件不斷寄來，催促他要錢，並討論他與兩個兒子聯絡的準則。透過一位共同的朋友，她要求他不要要求他的孩子們來柏林看他，因為他們可能會發現他的婚外情。愛因斯坦向這位朋友保證，他在柏林獨自生活，他的“荒涼”公寓具有“幾乎像教堂般的氣氛”。這位朋友回覆說，指的是愛因斯坦關於廣義相對論的工作，“理所當然，因為那裡有非凡的神力在運作。”
就在他提交第一篇論文的當天，他給住在瑞士的長子漢斯·阿爾伯特寫了一封令人心酸的信
昨天我收到了你親愛的小信，我很高興。我已經害怕你根本不想再給我寫信了……。我將爭取每年有一個月的時間在一起，這樣你就會看到你有一個依戀你並愛你的父親。你也可以從我這裡學到很多美好和有益的東西，而其他人無法如此輕易地提供給你……。在過去的幾天裡，我完成了一生中最精彩的論文之一；當你長大後，我會告訴你它.
他以一句對他顯得如此心不在焉的小小道歉結束。“我常常太專注於我的工作，以至於忘記吃午飯，”他寫道。
愛因斯坦還與希爾伯特進行了尷尬的互動。他被告知哥廷根數學家發現了 Entwurf 方程中的缺陷。擔心被搶先，他給希爾伯特寫了一封信，說他自己發現了這些缺陷，並附上了他 11 月 4 日講座的副本。
在 11 月 11 日發表的第二次講座中，愛因斯坦施加了新的座標條件，使他的方程能夠普遍協變。事實證明，這一改變並沒有大大改善情況。他已經接近最終答案，但進展甚微。他再次將他的論文寄給希爾伯特，並詢問他自己的探索進展如何。“我自己的好奇心正在干擾我的工作！”他寫道。
希爾伯特給他回了一封信，這封信一定讓愛因斯坦感到不安。他說他有一個“解決你偉大問題的方法”，他邀請愛因斯坦在 11 月 16 日來到哥廷根，並懷著可疑的樂趣聆聽它。“既然你如此感興趣，我很想在本週二非常詳細地介紹我的理論，”希爾伯特寫道。“如果您和我們住在一起，我和我的妻子將非常高興。”然後，在簽下他的名字後，希爾伯特覺得有必要新增一個誘人且令人不安的附言。“就我對你的新論文的理解而言，你給出的解決方案與我的完全不同。”
走向高潮
愛因斯坦在 11 月 15 日星期一寫了四封信，這些信件讓我們得以一窺他交織在一起的個人和職業戲劇。他對漢斯·阿爾伯特表示，他想在聖誕節去瑞士拜訪他。“也許如果我們在某個地方單獨待在一起會更好，”他對他的兒子說，例如在一家僻靜的旅館。“你覺得怎麼樣？”
然後，他給疏遠的妻子寫了一封和解信，感謝她願意不“破壞我與孩子們的關係”。他向一位朋友報告說，“我已經修改了引力理論，因為我意識到我早期的證明存在漏洞……。我很高興在年底去瑞士看望我親愛的孩子。”
他還回復了希爾伯特，拒絕了他第二天訪問哥廷根的邀請。他的信沒有掩飾他的焦慮：“您在訊息中給出的暗示喚起了最大的期望。然而，我必須避免前往哥廷根……。我精疲力盡，胃痛折磨著我……。如果可能，請給我寄一份您的研究的校對稿，以減輕我的不耐煩。”
當他匆忙趕來提出他理論的精確公式時，愛因斯坦取得了一項突破，將他的焦慮變成了興高采烈。他測試了一組修訂後的方程，看看它們是否會為水星軌道的異常偏移產生正確的結果。答案是正確的：他的方程預測近日點應該每世紀漂移約 43 角秒。他非常激動，以至於心悸。“我高興和興奮了好幾天，”他告訴一位同事。他對另一位物理學家欣喜若狂地說，“水星近日點運動的結果讓我非常滿意。天文學一絲不苟的準確性對我們多麼有幫助，我過去常常暗地裡嘲笑它！”
在他第三次講座的早晨，11 月 18 日，愛因斯坦收到了希爾伯特的新論文，並對它與他自己的工作如此相似感到沮喪。他對希爾伯特的回應簡短而明確，旨在主張優先權。“您提供的系統——就我所見——與我最近幾周發現並在科學院提出的內容完全一致，”他寫道。“今天，我正在向科學院提交一篇論文，其中我定量地從廣義相對論中推匯出水星的近日點運動，沒有任何指導性假設。到目前為止，還沒有任何引力理論實現這一點。”
希爾伯特在第二天友善而慷慨地回應，聲稱自己沒有優先權。“衷心祝賀您征服近日點運動，”他寫道。“如果我能像您一樣快速計算，那麼在我的方程中，電子將不得不投降，氫原子將不得不發出道歉信，說明它為什麼不輻射。”然而，第二天，希爾伯特向哥廷根科學雜誌提交了一篇論文，描述了他自己版本的廣義相對論方程。他為自己的文章選擇的標題並不謙虛：他稱之為“物理學的基礎”。
尚不清楚愛因斯坦在準備他在普魯士科學院的壓軸第四次講座時，是否仔細閱讀了希爾伯特的論文，或者它是否影響了他的想法。無論如何，他在 11 月 25 日為他的最後一次講座——題為“引力場方程”——及時製作了一組協變方程，描述了廣義相對論。
對於外行來說，它遠不如 E = mc2 那樣生動。然而，使用張量的壓縮符號，可以將龐大的數學複雜性壓縮成小的下標，最終愛因斯坦場方程的要點足夠簡潔，可以印在物理極客穿著的 T 恤上。在其眾多變體之一中，它可以寫成
Rμν- (1/2) gμνR = (8 π G/c4) Tμν
方程的左側——現在被稱為愛因斯坦張量，可以簡單地寫成 Gμν——描述了時空的幾何形狀如何被大質量物體扭曲和彎曲。右側描述了物質在引力場中的運動。兩側之間的相互作用顯示了物體如何彎曲時空，以及這種曲率反過來如何影響物體的運動。
無論是在當時還是在今天，關於廣義相對論數學方程的哪些要素是希爾伯特而不是愛因斯坦首先發現的，一直存在優先權爭議。無論如何，這些方程正在形式化的是愛因斯坦的理論，他在 1915 年夏天在哥廷根與希爾伯特在一起時向希爾伯特解釋了該理論。希爾伯特在他的論文的最終版本中優雅地指出了這一點：“由此產生的引力微分方程，在我看來，與愛因斯坦建立的宏偉的廣義相對論理論相符。”正如他後來總結的那樣，“愛因斯坦完成了這項工作，而不是數學家。”
在幾周內，愛因斯坦和希爾伯特修復了他們的關係。希爾伯特提名愛因斯坦加入哥廷根皇家科學學會，愛因斯坦回信說，兩個瞥見過超凡理論的人不應因塵世的情緒而黯然失色。“我們之間存在某種不快，其原因我不想分析，”愛因斯坦寫道。“我已經與與之相關的痛苦作鬥爭，並且完全成功。我再次以純粹的真誠想到你，並請你嘗試對我做同樣的事情。客觀地說，當兩個真正擺脫了這個破舊世界的人不互相提供快樂時，這真是一種恥辱。”
“最大膽的夢想”
愛因斯坦的驕傲是可以理解的。36 歲時，他對我們對宇宙的概念進行了戲劇性的修正。他的廣義相對論不僅僅是對某些實驗資料的解釋或對更精確的定律集的發現。這是一種看待現實的全新方式。
憑藉他的狹義相對論，愛因斯坦已經證明空間和時間並非獨立存在，而是形成了時空結構。現在，憑藉他的廣義相對論版本，這種時空結構不僅成為物體和事件的容器。相反，它具有自身的動力學，這種動力學是由其內部物體的運動決定的，反過來也有助於決定其內部物體的運動——就像保齡球和一些檯球滾過蹦床的結構時，蹦床的結構會彎曲一樣，反過來，蹦床結構的動態彎曲將決定滾動球的路徑，並導致檯球向保齡球移動。
時空結構的彎曲和漣漪解釋了引力、它與加速度的等效性以及所有運動形式的廣義相對性。量子力學的諾貝爾獎獲得者先驅保羅·狄拉克認為，這是“可能是最偉大的科學發現”。20 世紀物理學的另一位巨人馬克斯·玻恩稱之為“人類對自然界進行的最偉大的思考壯舉，是哲學洞察力、物理直覺和數學技能最驚人的結合”。
整個過程使愛因斯坦精疲力盡。他的婚姻已經破裂，戰爭正在蹂躪歐洲。但他卻像以往任何時候都快樂。“最大膽的夢想現在已經實現了，”他向他最好的朋友，工程師米歇爾·貝索興高采烈地說。“廣義協變性。水星的近日點運動非常精確。”他署名“心滿意足但非常疲憊”。
多年以後，當他的小兒子愛德華問他為什麼如此出名時，愛因斯坦用一個簡單的形象來描述他對引力是時空結構彎曲的基本見解。“當一隻盲甲蟲爬過彎曲樹枝的表面時，它不會注意到它走過的軌跡實際上是彎曲的，”他說。“我很幸運地注意到甲蟲沒有注意到的東西。”
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