鋪設二維浴室地板是一項簡單的家居裝修，但研究人員發現，在更高維度中，它可能會演變成令人困惑的非重複性混亂。新的研究結果推翻了一個長期存在的瓷磚猜想，展示了混亂必須從結構化的數學領域中出現的另一種方式。
一般來說，平鋪是一種用許多小塊（瓷磚）覆蓋某些空間的方式這些小塊無需間隙或重疊地拼合在一起。永無止境的浴室地板或為公路旅行裝載的無限大的汽車後備箱是二維或三維空間的自然例子。如果單個形狀的副本以在每個方向重複自身的模式拼合在一起以填充空間，則平鋪是“週期性的”——類似於用以圖案排列的相同尺寸的行李裝載無盡的汽車後備箱的艱鉅任務。這項研究著手的週期性平鋪猜想認為，每個可以在不旋轉或翻轉的情況下平鋪空間的形狀都必須能夠以重複的、規則的方式做到這一點。
該研究的作者發表在《數學年刊》上，透過構建嚴格的非週期性瓷磚——一種完全覆蓋空間而沒有任何規則圖案的瓷磚——反駁了這一猜想。為此，他們將幾何平鋪問題轉化為由方程組定義的代數問題。每個方程都捕獲了平鋪必須遵守的約束——例如沒有旋轉和瓷磚之間沒有間隙——形成一種“平鋪語言”，研究合著者、西北大學數學家雷切爾·格林菲爾德說。
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透過在這種語言中新增更多約束，潛在解決方案的數量會減少，就像隨著拼圖的填充，您可以放入數獨方格的可能數字越來越少一樣。最終的解決方案，一個非重複的數字序列，然後可以轉換回嚴格的非週期性瓷磚，從而反駁了該猜想。“平鋪就是不夠簡單，無法永遠表現良好，但它[也]不夠複雜，無法永遠瘋狂，”格林菲爾德說。
滑鐵盧大學計算機科學家克雷格·卡普蘭說，在反駁這一結果時，研究人員“幾乎找到了一種將瓷磚的形狀轉化為程式語言的方法”。由於該結果來自新增越來越多的約束，這些約束轉化為額外的維度，因此反例最終在極高維空間中執行——類似於 10100,000 維度（這是一個有 100,000 位數字的數字）。
加州大學洛杉磯分校菲爾茲獎獲得者數學家陶哲軒說：“高維平鋪非常複雜。” “在低維[空間]中，情況似乎要好得多，三維是當前的研究前沿。” 他說，將這個直觀的空間與高維結果進行比較，我們“處於有序和完全混亂之間的邊界”。