100年來，數學家們一直在嘗試證明亨利·龐加萊首次提出的一個猜想，該猜想與一個被稱為三維球體或3-球體的物體有關。該猜想將3-球體從所有三維物體或流形中 выделяет 出來，認為是獨一無二的。年輕的俄羅斯數學家格里戈裡·佩雷爾曼的工作最終證明了龐加萊猜想。他有可能贏得克萊數學研究所提供的100萬美元獎金——龐加萊猜想是該研究所七個“千禧年難題”之一。佩雷爾曼的分析也完成了一個主要的科研專案，該專案對所有可能的三維流形進行了分類。我們的宇宙可能具有3-球體的形狀。該數學還與其他有趣的粒子物理學和愛因斯坦的引力理論有關聯。
所有這些都在2004年7月印刷版的《大眾科學》中進行了更詳細的探討。在這裡，我重點介紹龐加萊本人和他猜想的早期，特別是二十世紀後半葉證明了更高維度猜想的驚人成果。
龐加萊
亨利·龐加萊是20世紀之交兩位最重要的數學家之一（另一位是大衛·希爾伯特）。他被稱為最後一位通才——一位在純粹數學和應用數學的所有分支中都遊刃有餘的人。除了推進數學的許多分支外，龐加萊還對天體力學和電磁理論以及科學哲學做出了貢獻（關於科學哲學，他寫了幾本廣為流傳的科普書籍；年輕的阿爾伯特·愛因斯坦和他的朋友們對其中一本印象深刻）。在進行這些高度理論性的研究的同時，龐加萊還擔任工程師，檢查煤礦。他晉升為礦業總工程師和法國經度局局長，在那裡他負責監督使用海底電纜和電報的時間同步新技術對全球進行精確測繪。
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龐加萊在愛因斯坦之前和與愛因斯坦同時獨立發現了相對論的幾個關鍵方面。1904年，在愛因斯坦發表關於相對論的里程碑式論文的前一年，龐加萊在一次國際會議上預言性地說道：“也許我們必須構建一種新的力學，我們只能瞥見它的輪廓……在其中，光速將成為一個不可逾越的極限。”相對論中關聯兩個不同觀察者所見事物的變換群現在被稱為龐加萊群。
龐加萊在很大程度上建立了稱為代數拓撲學的數學分支。1900年，龐加萊利用該領域的技巧分析了各種維度球體的性質。對於拓撲學家來說，圓（圓盤的邊緣，而不是圓盤本身）是“一維球體”，或1-球體。圓是1維的，因為只需要一個數字就可以指定圓上的位置。“2-球體”是球形氣球的形狀。需要兩個座標——緯度和經度——來指定氣球上的位置。3-球體是這些的三維類似物，並在印刷版中詳細描述。類似地，每個維度n都有一個n-球體。數學家將任何維度的物體或空間稱為流形。對流形的研究稱為拓撲學。
2-球體在所有可能的有限二維流形中是獨一無二的：每個其他這樣的流形都更復雜，並且可以透過對2-球體執行以下三種操作的某種組合來製成：切出碎片、附加“把手”（形狀就像杯子上的把手），或結合奇怪的扭曲，例如莫比烏斯帶中的扭曲。數學家們非常想知道維度為3及以上的n-球體是否也同樣是獨一無二的。
為了解決這個問題，龐加萊使用了一種新的拓撲復雜性度量，稱為同調。粗略地說，同調檢測流形包圍的不同維度空腔的數量。但您只需要知道的是，流形的同調指定了它具有的某些拓撲性質。龐加萊證明，在每個維度n中，唯一具有n-球體同調的流形是n-球體本身。
這個證明在一維和二維中很容易驗證，在這些維度中，所有可能的流形都已分類（龐加萊對二維流形的分類做出了貢獻）。不幸的是，龐加萊很快設計出第二個與3-球體具有相同同調的3-維流形。他的“證明”是錯誤的。
龐加萊沒有氣餒，而是提出了另一種度量，稱為同倫。同倫的工作原理是想象您將一個閉合環嵌入到所討論的流形中[見插圖]。環可以以任何可能的方式纏繞在流形周圍。然後我們問，環是否可以透過僅移動環周圍，而無需將環的任何部分從流形中抬起來收縮到一個點？在像甜甜圈這樣的形狀上，答案是否定的。如果環繞著甜甜圈的圓周執行，則無法將其收縮到一個點——它會被內部環卡住。同倫是衡量環可以被卡住的所有不同方式的度量。
在n-球體上，無論環採取多麼複雜的路徑，它始終可以被解開並收縮到一個點。（在這些操作過程中，環可以穿過自身。）龐加萊推測，在每個可能的環都可以收縮到一個點的唯一3-流形是3-球體本身。這一次，龐加萊知道他沒有證明，並且他沒有對高於3的維度提出任何想法。隨著時間的推移，這個提議被稱為龐加萊猜想。幾十年來，許多人宣佈證明了該猜想，但最終都被證明是錯誤的。
科帕卡巴納和更高維度
1960年，史蒂夫·斯梅爾取得了徹底出乎意料的突破，他現在是加州大學伯克利分校的榮譽退休教授。斯梅爾在1955年聽說了龐加萊猜想，當時他還是密歇根大學安娜堡分校的研究生。他很快找到了他認為是證明的東西，但那又是一個錯誤的證明。
1960年，斯梅爾在里約熱內盧的純粹與應用數學研究所做了6個月的博士後研究員。他和他的年輕家庭住在科帕卡巴納海灘附近的公寓裡。早上，斯梅爾帶著筆和紙來到海灘，在那裡他游泳、衝浪和做數學。在這個田園詩般的環境中，他提出了兩項重大進展。（“我最著名的工作，”他後來評論說，“是在里約熱內盧的海灘上完成的。”）第一項進展與表現出混沌運動的系統的動力學有關，龐加萊開創了這個主題。儘管龐加萊在世紀之交奠定了混沌理論的基礎，但直到1970年代，這個主題才獲得這個名稱，並作為（重新發現的）革命性概念而興起。斯梅爾在動力系統方面的工作（涉及從一個流形到另一個流形的對映）為攻擊龐加萊猜想提供了一個角度。這種攻擊在維度為5及更高的流形中取得了成功，證明了對於五個或更多維度，n-球體是唯一最簡單的流形。
在斯梅爾的證明公佈後不久，約翰·R·斯托林斯（現在也在伯克利）使用了一種完全不同的方法證明了維度為7及以上的猜想。克里斯托弗·澤曼（當時在劍橋大學；現已退休）將這個證明擴充套件到5維。
在四維情況下，斯梅爾、斯托林斯和澤曼使用的方法失敗了。但是，在1982年，現在在微軟研究院的邁克爾·H·弗裡德曼成功地證明了四維版本的龐加萊猜想（在三個維度以上，有微妙的不同方式來表述該猜想）。關於四維情況的許多問題今天仍然懸而未決，包括弗裡德曼猜想的變體的真實性。
4-流形具有一些驚人的複雜性，這些複雜性在更高或更低維度中都不存在。有趣的是，推測我們的時空宇宙是四維的，這是數學上最複雜的情況，這並非巧合。也許只有這種情況才能包含生命所必需的複雜性。或者，也許宇宙的物理學本質上是被驅動向最複雜的可能性。
斯梅爾及其同事的成果代表了關於空間在各種維度上最基本層面的資訊。它們告訴我們，對於四個或更多維度，最簡單的空間——n-球體——是獨一無二的。如果您採用任何n維空間，那麼您要麼擁有n-球體，要麼擁有一個空間，該空間具有一個結構，環線可以在該結構周圍“卡住”，就像甜甜圈上的孔周圍一樣。
儘管可能很想將更高維度視為就像更低維度加上一些額外的東西，但更高維度在許多方面與它們的低階對應物不同。例如，在三維中，環線可以形成一個結，如果不剪斷線就無法解開。這在一維或二維中是不可能的——你甚至無法形成一個結。在四個或更多維度中，任何“結”都可以解開：您可以使用額外的維度將線的段彼此移動過去。結的存在使得三維空間比二維空間複雜得多，並且與更高維空間截然不同，在更高維空間中，每個結都等同於一個簡單的閉合環。然而，更高維度的龐加萊猜想告訴我們，對於拓撲學家感興趣的基本性質，更高維度沒有帶來任何驚喜。
格雷厄姆·P·柯林斯是特約撰稿人和編輯。