一系列被稱為丟番圖問題的數論未解難題可以追溯到 3700 年前。多年來，數學家們一直在努力解決這些問題，最近的工作在其中一些問題上取得了重大進展，並表明其他一些問題仍然像以往一樣無法破解。
研究人員一直在使用幾何學工具來解決這些問題，這些問題以三世紀希臘數學家丟番圖的名字命名。它們涉及確定多項式方程（例如 xn + yn = zn）存在哪些解。數學家的目標是找出方程是否存在整數或有理數解。例如，對於 x2 + y2 = z2，存在無數個這樣的解。
丟番圖幾何學是數學領域，專注於數論方程的性質（例如其有理數或整數解）與“幾何性質，例如方程複數解集的拓撲結構”之間的關係，以色列內蓋夫本-古裡安大學的數學家大衛·科溫說。
馬薩諸塞理工學院的數學家比約恩·波恩說，令人驚訝的是，“與數學的其他領域相比，我們對丟番圖幾何學的瞭解是如此之少”。例如，他指出，儘管數學家知道數字 20 可以寫成三個立方體的和，如 33 + 13 + (–2)3 = 20，但數字 114 是否可以表示為三個立方體的和仍然是一個懸而未決的問題。
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“陰暗面”
對於某些丟番圖問題，數學家的關注可能顯得過於狹隘。為什麼要花費大量精力來確定 114 是否可以寫成三個立方體的和？加州大學聖地亞哥分校的數學家基蘭·凱德拉亞說，對於許多容易陳述的丟番圖難題，“問題本身並不是那麼核心……但解決它所需的技術非常核心。”
這種性質在數學中並不少見。例如，著名的難題費馬最後定理之所以更重要，也是因為解決它所開發的技術，而不是問題本身，凱德拉亞說，“這個問題對數論沒有太多直接的後果。” 然而，用於解決它的工具包括 19 世紀後期代數數論的關鍵進展以及 20 世紀早期模形式的關鍵進展。“這些[發展]對於解決現代數論中的許多問題都非常重要，”他說，包括與密碼學相關的問題。
“最簡單的問題往往是激勵我們開發技術的動力，然後我們可以使用這些技術來解決真正告訴我們很多資訊的問題，”他說。例如，與凱德拉亞的研究相關的塞爾均勻性問題涉及一種稱為模曲線的特殊型別的數學曲線。然而，“它的後果非常深刻，我們正在使用的技術將其應用於不同的案例，這些技術都根植於早期關於費馬問題的研究，”凱德拉亞指出。
儘管如此，一些丟番圖問題比其他問題更難解決。“該領域的許多研究人員試圖開發解決丟番圖方程的新方法，”波恩說，“但我也在‘陰暗面’工作，試圖證明某些型別的問題是無法解決的。”
解決舊問題的新工具
與其使用幾何學和其他領域的工具來解決特定的丟番圖問題，不如開發計算機程式來解決這些問題的一般情況。但數學家馬丁·戴維斯、尤里·馬蒂亞謝維奇、希拉里·普特南和朱莉婭·羅賓遜表明，找到這些問題的完整解決方案並不像讓計算機搜尋它們那麼簡單。他們的工作最終在 1970 年得出了一個定理，該定理回答了德國數學家大衛·希爾伯特著名的第十問題。凱德拉亞指出，該問題側重於尋找一種演算法，用於確定對於某些具有整數係數的多項式方程組，是否存在整數解。凱德拉亞說，在認為可以找到這樣一種演算法時，“希爾伯特是一個樂觀主義者”。“希爾伯特熱衷於解決一般型別的問題。”
但是馬蒂亞謝維奇定理，也稱為 DPRM 定理或 MRDP 定理，表明這種演算法不存在。這一發現意味著“這種型別的一般問題當然是棘手的”，並且這些問題的個別例項可能“非常難以解決”，凱德拉亞說。
有趣的是，科溫指出，對於多個變數的多項式方程（或此類方程組），沒有人知道是否可以找到一種演算法來確定是否存在有理數解。“這完全是猜測，”他說。波恩一直在努力證明，找到有理數解的通用方法是不可能的。
對於其中一些古老的問題，包括丟番圖本人提出的問題，“我們現在才剛剛開發出可以幫助回答它們的方法，”波士頓大學的數學家詹妮弗·巴拉克裡什南說。例如，丟番圖的著作《算術》中的一個問題是關於是否存在正有理數解 x 和 y 使得方程 y2 = x8 + x4 + x2 成立。儘管丟番圖提供了一個解，即 x = ½ 和 y = 9 ⁄ 16，但巴拉克裡什南說，直到 1998 年，人們還不知道存在多少其他解。在加州大學伯克利分校的博士論文中，約瑟夫·韋瑟雷爾提出了回答這個問題的方法。
最近，巴拉克裡什南和她的合作者一直在開發新技術來尋找類似的解決方案。她說，最近一個有影響力的成果是布賴恩·勞倫斯和阿克謝·文卡特什對稱為莫德爾猜想的新證明。儘管格爾德·法爾廷斯在 1983 年首次證明了莫德爾猜想，但勞倫斯和文卡特什的工作“為一個近 100 年曆史的問題提供了另一種視角”，巴拉克裡什南說。科溫說，這些和其他進展表明，近年來人們對丟番圖幾何學的興趣日益濃厚，“尤其是在新方法興起的情況下”。