三十年前，數學家威廉·瑟斯頓闡明瞭一個宏偉的願景：對所有可能的三維有限形狀進行分類。
瑟斯頓是一位菲爾茲獎章獲得者，他職業生涯的大部分時間都在普林斯頓大學和康奈爾大學度過，他擁有不可思議的想象能力：不僅能想象到存在於我們普通三維空間內的形狀，還能想象到更廣闊的、涉及複雜扭曲和轉動的形狀，這些形狀只能容納在更高維度的空間中。當其他數學家看到混沌的團塊時，瑟斯頓看到了結構：對稱性、表面以及不同形狀之間的關係。
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“許多人基於多年的學校教育，對數學的印象是嚴謹和正式的學科，涉及複雜且最終令人困惑的規則，”他於2009年寫道。“好的數學恰恰相反。數學是一門關於人類理解的藝術。……當我們用整個大腦感受它時，數學會歌唱。”
瑟斯頓願景的核心是將兩種看似不同的研究三維形狀的方法結合起來：幾何學，即我們熟悉的角度、長度、面積和體積領域；以及拓撲學，它研究形狀的所有不依賴於精確幾何測量的性質——如果形狀像橡皮泥一樣被拉伸和扭曲，這些性質保持不變。
對於拓撲學家來說，煎鍋的表面等同於桌子、鉛筆或足球的表面；咖啡杯的表面等同於甜甜圈表面或環面。從拓撲學家的角度來看，二維形狀（即表面）的多樣性本質上可以歸結為簡單的類別列表：球狀表面、環形表面以及類似於環面但具有多個孔的表面。（我們大多數人認為球體和環面是三維的，但由於數學家將其視為空心表面，因此他們將其視為二維物體，以表面積而不是體積來衡量。）
瑟斯頓的關鍵見解是，在幾何學和拓撲學的結合中，可以理解三維形狀或“三維流形”。正如包含煎鍋和鉛筆表面的“二維流形”拓撲類別也包含一個完美的球體一樣，瑟斯頓推測，許多三維流形類別包含一個範例，即一個幾何形狀非常完美、非常均勻、非常漂亮的三維流形，正如哥倫比亞大學的沃爾特·諾伊曼（Walter Neumann）喜歡說的那樣，它“像鍾一樣鳴響”。更重要的是，瑟斯頓推測，沒有這種範例的形狀可以被分割成有這種範例的塊。
在1982年的一篇論文中，瑟斯頓提出了這個“幾何化猜想”，作為關於三維流形的23個問題組的一部分，這些問題為數學家提供了深入理解三維形狀的路線圖。（他的列表有24個問題，但其中一個尚未解決的問題更像是一個有趣的旁路，而不是一條主要道路。）
“瑟斯頓在提出正確的問題方面擁有巨大的天賦，”加州理工學院的數學家弗拉基米爾·馬爾科維奇（Vladimir Markovic）說。“任何人都可以提出問題，但一個問題能夠像瑟斯頓的問題那樣總是帶來洞察力和美感，這非常罕見。”
這些問題激勵了新一代的數學家，其中數十人選擇在瑟斯頓的指導下攻讀研究生。瑟斯頓的數學“孩子”體現了他的風格，約翰·霍普金斯大學的理查德·布朗（Richard Brown）寫道。“他們似乎以孩子看待嘉年華的方式看待數學：充滿驚奇和喜悅，對每一個新發現都著迷，併為成為整體場景的一部分而感到高興。”
在瑟斯頓的開創性論文發表後的幾十年裡，數學家們遵循了他的路線圖，他們的動力與其說是來自可能的應用，不如說是認識到三維流形在形狀研究中佔據著一個甜蜜的位置。二維形狀有點平淡無奇，易於視覺化和分類。四維、五維和更高維的形狀本質上是無法馴服的：可能性的範圍如此之大，以至於數學家們將他們的雄心限制在理解它們的特殊子類上。相比之下，對於三維形狀，它們的結構神秘而令人難以置信，但最終是可知的。
今年，當瑟斯頓的文章即將迎來30週年時，除了23個主要問題中的4個外，所有問題都已得到解決，包括幾何化猜想，俄羅斯數學家格里戈裡·佩雷爾曼（Grigori Perelman）於2002年證明了該猜想，這是現代數學的標誌性成就之一。然而，這四個未解決的問題頑固地抵制著證明。
“我們長期無法解決它們這一事實意味著正在發生一些深刻的事情，”耶魯大學的亞伊爾·明斯基（Yair Minsky）說。
最終，在三月份，加州大學伯克利分校的伊恩·阿戈爾（Ian Agol）宣佈了對“懷斯猜想”的證明，這在一次性解決了瑟斯頓的最後四個問題，令數學界震驚。
數學家稱這個結果為一個時代的結束。
“瑟斯頓在他的論文中闡明的三維流形願景，在當時看來一定非常奇特，現在已經完全實現，”加州理工學院的丹尼·卡萊加里（Danny Calegari）說。“他的願景在各個方面都得到了顯著的證明：每一個細節都證明是正確的。”
“我曾經覺得有些知識和某些思維方式是我獨有的，”瑟斯頓在今年獲得斯蒂爾數學獎時寫道，就在他於8月去世，享年65歲的幾個月前。“現在已經到了不再是這樣的時候，這令人非常滿意——很多人已經接受了我的思維方式，並且許多人已經證明了我曾經嘗試過但未能證明的定理。”
阿戈爾的結果意味著，存在一個簡單的配方來構建所有緊緻的雙曲三維流形——這是尚未得到充分解釋的一種三維形狀。
“從精確的意義上講，我們現在瞭解了所有三維流形的樣子，”倫敦大學學院的亨利·威爾頓（Henry Wilton）說。“這是數學領域一個巨大成功故事的頂點。”
表面研究
瑟斯頓的計劃試圖為三維流形做數學家們在一個多世紀前為二維流形成功做過的事情。作為理解三維流形的預熱，讓我們深入瞭解一下“緊緻的、可定向的”表面（沒有穿孔或裂縫並且具有一致方向感的有限表面）的分類。
為了解決這個分類問題，數學家證明，給定任意表面，可以透過沿著曲線切割將其逐漸簡化，直到表面完全展開成一個平坦的多邊形。
圖 1. 沿著環 A 切開一個環面會產生一個圓柱體。進一步沿著環 B 切割，將圓柱體展開成一個正方形。
圖片：西蒙斯基金會提供
圖 2. 沿著環 A、B、C 和 D 切割雙環面會產生一個八邊形。
圖片：西蒙斯基金會提供
很容易看到如何處理環面：首先沿著圖1中的環 A 切開，產生一個圓柱體。接下來，沿著環 B 切割，將圓柱體展開成一個正方形。這有點難以看清，但是沿著圖2中的四個曲線切割會將雙環面（具有兩個孔的環面）轉換為八邊形。同樣，對於任何n個孔的環面，我們可以沿著2n個環切割，將表面展開成一個4n邊形。
給定一個任意的、未識別的表面，我們可以嘗試透過以類似的方式解剖它來簡化它（並最終識別它）。拓撲學家已經證明，只要表面不是球體，它就必須包含一些嵌入的環（不與自身相交的環），這些環不能被拉到單個點，類似於環面上的環 A 和 B。沿著其中一個環解剖表面會消除表面的一些有趣的拓撲特徵。數學家已經證明，我們只能以這種方式切割有限次數，之後我們將表面簡化為一個平坦的多邊形。
一旦我們將表面簡化為多邊形，就很清楚地看到，當我們重新粘合各邊以恢復原始表面時，我們必須產生一個環面，或者一個雙環面，或者一個三環面，等等。畢竟，第一次粘合會將多邊形變成隧道狀的表面，然後每次後續粘合要麼在表面上引入新的隧道狀把手，要麼只是縫合一些開放的接縫。當我們完成時，結果是一個具有一定數量孔的環面表面。
這種方法不僅僅表明表面在拓撲上等同於球體或某種型別的環面：它還提供了一種賦予表面簡單、均勻幾何結構的方法。
球體顯然已經具有均勻的幾何結構：無論您站在表面的哪個位置，其幾何形狀看起來都相同。相比之下，甜甜圈表面絕不是均勻的：甜甜圈外邊緣的區域以類似於球體的方式彎曲，而甜甜圈內環的區域更像馬鞍的表面一樣彎曲。
無論您如何嘗試將環面放置在空間中——無論您進行多少拉伸和扭曲——都無法使其幾何形狀在每個點看起來都相同。有些部分會像球體一樣彎曲，有些部分會像馬鞍一樣彎曲，有些部分可能是平坦的。
儘管如此，我們仍然可以為環面賦予一個在每個點都相同的抽象幾何結構：只需宣告在環面的每個小區域上，距離和角度的測量是透過取構建環面的正方形上的相應測量值來進行的。正如我們所見，環面可以用正方形構建。在普通空間中，不可能構建一個長度和角度與此抽象規則匹配的物理環面，但是這種長度和角度的定義在內部是連貫的。由於正方形具有普通的平面（歐幾里得）幾何，我們說環面可以被賦予歐幾里得結構。具有這種幾何結構的環面類似於一個影片遊戲，其中，當一個生物從螢幕右側退出時，它會重新出現在左側，而當它從螢幕頂部退出時，它會重新出現在底部。
但是，如果我們嘗試對雙環面做同樣的事情，就會遇到障礙。回想一下，我們可以透過粘合八邊形的邊緣來構建雙環面。如果我們宣告雙環面上的幾何結構應模仿八邊形上的幾何結構，則會在八邊形的角上遇到問題。將八邊形粘合成雙環面後，所有的角點都被粘合在一起，在雙環面上形成一個單點。八個八邊形的角點在該點匯合，每個角點貢獻 135 度的角度，總共 1080 度，而不是通常的 360 度。
因此，如果我們嘗試給雙環面賦予與八邊形相同的幾何結構，那麼我們將最終得到一個雙環面，該雙環面除了在一個點（該點表面像一頂帶有尖峰的軟盤帽一樣彎曲）之外，其他地方都具有普通的歐幾里得幾何形狀。（當我們粘合一個正方形來製作環面時，角點不是問題：我們粘合四個 90 度的角來獲得完美的 360 度。）
為了在雙環面的角點獲得平滑的幾何結構，我們需要八邊形的八個角中的每一個角都貢獻 45 度而不是 135 度。值得注意的是，這樣的八邊形確實存在，但它不是存在於普通的歐幾里得平面中，而是存在於另一種稱為雙曲盤的幾何結構中：第三種幾何結構，它與球面或歐幾里得幾何一樣均勻和內部連貫，但是由於它更難視覺化，直到 19 世紀初才被數學家發現。
粗略地說，雙曲幾何是如果您宣告圖 3 中的所有魚大小相同而得到的。好像圖 3 實際上是透過扭曲的鏡頭拍攝的雙曲盤的影像，該鏡頭使靠近邊界的魚看起來比中間的魚小得多。在理論上位於鏡頭另一側的真實雙曲盤中，所有魚的大小都相同。
沒有辦法在普通空間中製作一個漂亮、平滑的雙曲盤，以便魚的大小確實相同。但是，從抽象的角度來看，魚的大小調整規則再次產生一種內部連貫並且在每個點看起來都相同的幾何結構——不是從外部透過扭曲的鏡頭觀察的人，而是從生活在雙曲盤中的人的角度來看。
在雙曲幾何中，兩點之間的最短路徑或“測地線”是穿過最少數量的魚以從一個點到達另一個點的路徑。事實證明，這樣的路徑始終是垂直於圓盤邊界的半圓；穿過魚的脊柱的半圓是例子。從我們扭曲的外部視角來看，這樣的路徑看起來是彎曲的，但是對於內部人員來說，這些路徑是“直線”：要沿著其中一條路徑行駛，您永遠不必轉動方向盤，正如瑟斯頓經常說的那樣。與平行線總是保持相同距離的歐幾里得平面相反，在雙曲盤中，兩條不相交的線會非常迅速地彼此分開。
從雙曲幾何的角度來看，圖 4 中的形狀都是具有直線邊的正八邊形。在這些八邊形中，一個八邊形的角度均為 45 度——這正是我們對雙環面所需要的。如果我們適當地粘合此八邊形的邊，結果將是具有完美的、均勻的雙曲結構的雙環面。
圖 4。雙曲空間中的正八邊形，例如上面圖中的八邊形，可以具有大於零且小於 135 度的任何內角測量值。棕色八邊形的內角均為 45 度，可以粘合在一起形成具有平滑雙曲幾何的雙環面。
圖片來源：Silvio Levy 提供
類似地，我們可以為三環面配備雙曲結構。三環面可以透過粘合一個 12 邊形的多邊形的邊來製作，因此，如果我們構造一個內角均為 30 度的雙曲十二邊形，則其雙曲幾何結構可以平滑地傳遞到三環面。以這種方式繼續，我們可以為四孔環面、五孔環面等等配備雙曲幾何結構。我們的緊緻曲面分類變為：一個具有球面幾何結構的曲面（球體），一個具有歐幾里得幾何結構的曲面（環面），以及無限多個具有雙曲幾何結構的曲面（所有具有一個以上孔的環面）。
在過去的一個世紀中，這種分類為數學家提供了一種非常有效的方法，可以將有關曲面的拓撲問題轉化為幾何問題，反之亦然。曲面的分類是二維形狀研究中的基礎概念，所有後續研究都將其作為起點。
下一個維度
三維流形比二維流形更加多樣化，相應的問題也更加困難。即使像著名的龐加萊猜想這樣聽起來很簡單的問題——該猜想詢問三維球體是否是在其上每個環都可以拉緊到一個點而不會被孔纏住的唯一緊緻三維形狀——在亨利·龐加萊於 1904 年提出該猜想後近一個世紀仍未解決。
儘管如此，瑟斯頓大膽地推測，應該可以為三維形狀建立類似於二維形狀的分類。
二維歐幾里得、球面和雙曲幾何在三維中都有對應物。但是在三維中，這些並不是僅有的“好”幾何。例如，存在混合幾何，在某些方向上是雙曲或球面的，而在其他方向上是歐幾里得的。總共有八種不同型別的三維幾何，它們是均勻的，這意味著幾何在空間的每個點看起來都相同。
瑟斯頓推測，就像曲面一樣，三維流形也可以被賦予自然的幾何結構。具體來說，他提出，如果您以某種特定方式將任何緊湊的三維流形切成幾塊，則每塊都可以被賦予八種幾何結構之一。
明斯基說：“目標是完全統一三維拓撲和幾何。”
證明這個“幾何化猜想”的一種自然方法是嘗試做一些類似於我們為曲面所做的事情，即沿著曲線切割，直到我們切開所有有趣的拓撲特徵，並將曲面簡化為扁平的多邊形。對於三維流形，相應的方法是沿著曲面切割它，直到它簡化為多面體，其相對的邊可以粘合在一起以恢復原始形狀。然後，如果我們能夠使用正確的幾何結構來構建多面體，我們就可以將該幾何結構傳遞到原始形狀，就像我們對曲面所做的那樣。
請記住，為了使曲面有效，我們切割的每條曲線都必須滿足兩個屬性：曲線永遠不會與自身交叉（在數學術語中，它應該是“嵌入式”），並且它應該是我們稱為“拓撲有趣”的屬性，這意味著它圍繞曲面的一些拓撲特徵纏繞，並且不能收緊到一個點（此要求確保沿著曲線切割可以簡化曲面的拓撲結構）。
1962 年，數學家沃爾夫岡·哈肯證明，如果三維流形包含一個可以切割的曲面，該曲面滿足兩個條件：它必須是嵌入式的，並且必須是“不可壓縮的”，這意味著曲面上每個拓撲有趣的曲線在周圍的三維流形的較大環境中也具有拓撲意義，那麼確實有可能將三維流形簡化為多面體。
因此，例如，環面在普通三維空間中是不可壓縮的，因為穿過環面孔的環面從環面的角度來看是拓撲有趣的，但是在完整的三維空間中，它可以壓縮到一個點。相比之下，環面在您只需稍微加厚環面表面，使其不再是無限薄的三維流形內部是不可壓縮的。為了不可壓縮，曲面的每個拓撲特徵都必須真正反映三維流形的一些內在拓撲結構。具有嵌入式、不可壓縮曲面的三維流形現在被稱為哈肯流形。
如果我們的三維流形確實具有嵌入式、不可壓縮曲面，那麼沿著該曲面切割將開啟三維流形的一些有趣拓撲結構，從而留下一個更簡單的流形。更重要的是，哈肯表明，只要流形包含一個這樣的曲面，切割產生的新流形本身將是哈肯流形：它將再次具有嵌入式、不可壓縮的曲面可以切割。哈肯表明，經過有限次數的此類步驟，原始流形的所有有趣拓撲特徵都將被切除，從而留下一個多面體。
在 20 世紀 70 年代後期，瑟斯頓表明，有可能以這樣一種方式為生成的多面體賦予八種三維幾何結構之一，以使幾何結構平滑地傳遞到重新粘合的多面體，並在多面體的角和邊處完美地結合在一起。換句話說，瑟斯頓證明了他的幾何化猜想適用於其標準分解產生的所有塊都是哈肯流形的流形。
不幸的是，給定任意緊湊的三維流形，並不能保證它確實具有這樣的曲面。實際上，在 20 世紀 70 年代後期和 80 年代初期，瑟斯頓使三維流形界相信，包含嵌入式、不可壓縮曲面（哈肯流形）的三維流形是例外，而不是規則。
找出如何證明非哈肯流形的幾何化猜想困擾了數學家二十多年。最終，在 2002 年，佩雷爾曼提出了他的證明，該證明借鑑了與瑟斯頓的大多數追隨者所研究的數學領域相去甚遠的數學領域。（在此過程中，佩雷爾曼的證明解決了百年曆史的龐加萊猜想，導致克萊數學研究所在 2010 年向他提供了 100 萬美元的獎金——但他出於相當複雜的原因斷然拒絕了。）
佩雷爾曼的里程碑式證明實現了瑟斯頓統一拓撲和幾何的夢想。現在，關於三維流形的每個拓撲問題都有其幾何對應物，反之亦然。但是，佩雷爾曼的定理並沒有解決許多關於可能存在哪些型別的三維流形的重要問題。
在對緊湊二維流形（曲面）進行分類時，數學家不僅能夠證明每個曲面都可以被賦予幾何結構，而且還能夠列出每個可能的二維流形的完整列表。在三維中，缺少這樣的列表。
八種三維幾何形狀中的七種——除了雙曲幾何——都相當容易理解，甚至在佩雷爾曼的工作之前，三流形拓撲學家就已經完全描述了可以容納這七種幾何形狀的流形型別。這些形狀相對簡單且數量較少。
但就像曲面一樣，在三維空間中，大多數流形實際上是雙曲的。數學家對雙曲三流形的各種可能性掌握得遠不如他們對其他七種幾何形狀的掌握。
“在這八種幾何形狀中，雙曲流形是最神秘和最豐富的，”巴黎皮埃爾和瑪麗居里大學的尼古拉斯·伯傑龍說。
佩雷爾曼的結果告訴數學家，雙曲流形確實是最後的邊界——唯一剩下需要理解的三流形。但這並沒有告訴他們這些雙曲形狀實際上是什麼樣的。
封面故事
再一次，數學家們能夠求助於瑟斯頓的開創性論文來尋求指導。在他著名的提問清單中，有許多關於雙曲三流形特徵的猜想，包括兩個直接說明這種流形外觀的猜想：“虛擬哈肯”猜想和“虛擬纖維化”猜想。
虛擬哈肯猜想提出，每個緊雙曲三流形在某種精確的意義上都幾乎是哈肯流形：可以透過以一種特定的方式將流形展開有限次，將其轉換為哈肯流形。這個新的、展開的流形被稱為原始流形的“有限覆蓋”。
數學家說，如果一個流形 N 可以圍繞另一個流形 M 纏繞一定次數（可能是無限次），使得 M 的每個部分都被覆蓋的次數與其他部分相同，則流形 N 覆蓋流形 M。為了成為覆蓋，這種纏繞還應該具有其他一些良好的屬性——例如，N 在此纏繞過程中絕不應該自身摺疊或撕裂。M 的每個小部分都被覆蓋 N 中許多相同的副本所覆蓋。
圖 5. 六瓣花透過圍繞三瓣花纏繞兩次來覆蓋三瓣花。
圖片：西蒙斯基金會提供
例如，圖 5 中的六瓣花覆蓋三瓣花：只需將六瓣花圍繞三瓣花纏繞兩次即可。三瓣花上的每個點都被六瓣花上的兩個點覆蓋；數學家稱之為雙層覆蓋。
同樣，無限長的圓柱體覆蓋一個環面：只需將圓柱體均勻地一遍又一遍地纏繞在環面上，無限多次（見圖 6）。環面上的每個點都被覆蓋：環面上的環 A 被圓柱體上無限多的均勻間隔的環覆蓋，而環 B 在圓柱體上展開成為一條貫穿圓柱體長度的線。
流形及其覆蓋的拓撲結構密切相關。要從一個n層覆蓋重建一個流形，只需將覆蓋自身摺疊n次。同樣，要從流形重建覆蓋，您可以將流形切開，製作n個副本，並將副本沿其邊界貼上在一起（您獲得的特定覆蓋可能取決於您的貼上選擇）。
覆蓋保留了流形的一些拓撲特徵，同時展開了其他特徵。例如，無限圓柱體記得環 A 是環面中的一個閉環，但它忘記了環 B 也是一個閉環。
圖 6. 無限長的圓柱體透過一遍又一遍地纏繞在環面上來覆蓋環面。環面上的環 A “提升”到圓柱體上無限多的紅色環。環 B 在圓柱體中展開成為綠線。環面上的點 P 提升到圓柱體上無限多的藍點。
圖片：西蒙斯基金會提供
這種展開過程正是促使瑟斯頓希望，給定一個三流形，有可能產生一個有限層的覆蓋，該覆蓋是哈肯的。正如我們所討論的，給定一個任意的緊雙曲三流形，沒有理由期望它是哈肯的（即，具有嵌入的、不可壓縮的曲面）。然而，在 1968 年，德國數學家弗裡德海姆·瓦爾德豪森猜想，這樣的流形至少應該包含一個不可壓縮的曲面，儘管該曲面可能會在某些地方穿過自身，而不是嵌入。
瑟斯頓認為，如果確實如此，那麼很可能存在一個有限覆蓋，其中曲面以一種消除其自身所有交叉點的方式展開。有限覆蓋通常可以實現這種簡化。例如，由於圖 7 中三瓣花中的曲線繞中心孔走了兩圈，因此無論如何拉伸和移動都無法阻止它在某個地方與自身相交。但是，如果我們從一個選定的點 P 開始在六瓣花中展開這條曲線，則產生的紅線（數學家稱之為原始曲線的“提升”）僅繞中心孔走一圈，並且永遠不會與自身相交。（還有第二個提升，即藍線，它在覆蓋三瓣花中相交點的兩個點與紅線相交。）
圖 7. 三瓣花中的綠線與自身相交，但其在六瓣花中的兩個提升，即紅線和藍線，永遠不會與自身相交（儘管它們彼此相交）。
圖片：西蒙斯基金會提供
瑟斯頓在 1982 年的論文中提出，給定一個緊雙曲三流形，應該可以進行類似的展開，從而在某個有限覆蓋中產生嵌入的曲面——換句話說，三流形應該是“虛擬”哈肯的。
正如我們所討論的，哈肯流形可以透過以特定的方式貼上多面體的邊界牆來構建。因此，虛擬哈肯猜想意味著，任何緊雙曲三流形都可以透過首先很好地貼上一個多面體，然後將生成的形狀自身纏繞有限次來構建。
瑟斯頓接著提出了更強烈的觀點：任何緊雙曲三流形都可能是虛擬纖維化的，這意味著它有一個有限覆蓋是“纖維化的”。一個“在圓上纖維化”（正如數學家所說）的流形是透過稍微加厚一個曲面使其成為三維，然後根據任何將兩個曲面平滑地逐點匹配的排列，將內部和外部邊界曲面貼上在一起而構建的。（這種貼上在普通空間中無法實現，而不會使所得流形的部分穿過自身，但它仍然可以抽象地進行研究。）之所以說該流形是纖維化的，是因為如果您想象將加厚的曲面拉伸開來，使邊界曲面彼此遠離，然後在將它們貼上在一起之前將邊界拉過來面對彼此，您可以想象所得的流形就像一個手鐲，該手鐲在手鐲的每一條線上都有一個無限薄的曲面形狀的珠子；這些珠子就是“纖維”。
每個纖維化流形都是哈肯的，但反之則不成立。因此，虛擬纖維化猜想比虛擬哈肯猜想更強，瑟斯頓對它是否確實成立持觀望態度。“這個聽起來令人懷疑的問題似乎有很確定的機會得到肯定的答案，”這是他在 1982 年的論文中願意達到的程度。
瑟斯頓最初提出虛擬哈肯猜想是為了早期嘗試解決他的幾何化猜想，他已經證明了該猜想對於哈肯三流形成立。瑟斯頓希望，如果虛擬哈肯猜想成立，使得每個緊三流形都有一個哈肯有限覆蓋，那麼可以使用覆蓋上的幾何結構在原始流形上構建幾何結構。
三十年後，在佩雷爾曼透過非常不同的手段證明了幾何化猜想之後，虛擬哈肯猜想和虛擬纖維化猜想仍然沒有解決。這些以及其他兩個相關的猜想是瑟斯頓提出的 23 個問題中唯一未解決的問題。計算機資料強烈表明虛擬哈肯猜想是正確的：在超過 10,000 個雙曲三流形的計算機列表中，瑟斯頓和伊利諾伊大學厄巴納-香檳分校的內森·鄧菲爾德已經為每一個都找到了一個哈肯有限覆蓋。但是計算證據不是證明。
明斯基說：“當瑟斯頓提出虛擬哈肯猜想時，它看起來像一個小問題，但它頑固地懸而未決，突顯了我們對該領域知之甚少。” “事實證明，我們在這方面的無知是深刻的。”
構建曲面
2009 年，圍繞虛擬哈肯猜想的渾濁水域開始變得清澈。
那一年，當時在石溪大學，現在在布朗大學的馬爾科維奇和傑里米·卡恩宣佈了證明虛擬哈肯猜想的關鍵一步。該結果，我們稱之為“不可壓縮曲面定理”，指出每個緊雙曲三流形確實包含一個不可壓縮曲面（該曲面可能穿過自身而不是嵌入）。
卡恩和馬爾科維奇的證明是三維拓撲和幾何之間相互作用的一個典型例子：不可壓縮曲面定理是一個純粹的拓撲陳述，但是為了證明它，卡恩和馬爾科維奇大量借鑑了雙曲幾何提供的豐富的附加結構。
為了在三流形內部構建曲面，卡恩和馬爾科維奇使用了雙曲形狀的一種稱為“指數混合”的屬性。這意味著，如果您從流形內部的任何小鄰域開始，選擇一個方向，並想象您的鄰域開始沿著大致朝該方向移動的河流流動，那麼您的鄰域將逐漸擴散並纏繞在三流形周圍，從每個可能的方向到達每個可能的位置。更重要的是，它將以精確的“指數”意義上的速度非常快地擴散。
這種混合特性是雙曲三流形所獨有的，並且大致源於這樣一個事實，即與歐幾里得空間不同，在雙曲空間中，“直線”或測地線彼此彎曲遠離。如果您在雙曲圓盤中選擇一個小鄰域並讓它朝特定方向流動，則該鄰域將以指數級的速度快速增長。在一個緊湊的三流形內部，一個流動的鄰域也會以指數級的速度快速增長，但是由於整個流形具有有限的範圍，因此該鄰域最終將一遍又一遍地纏繞在流形周圍，多次重疊自身。此外——而且這更難證明——鄰域將均勻地纏繞在流形周圍，以大致相同的頻率流經流形中的所有點。
數學家們已經理解這種指數混合特性超過 25 年了，並且徹底分析了這種“測地線流”的統計資料，弄清楚了當鄰域沿流動時，給定鄰域大致何時以及多久會經過特定點。但是在卡恩和馬爾科維奇解決不可壓縮曲面定理之前，數學家們從未成功地利用這種混合特性在流形中構建拓撲結構。（另一位數學家，德克薩斯 A&M 大學的劉易斯·鮑文，之前曾嘗試使用指數混合在三流形中構建不可壓縮曲面，但他的工作遇到了技術障礙。）
為了瞭解指數混合特性如何幫助構建拓撲和幾何結構，讓我們將其應用於一個比構建曲面更簡單的任務：構建一個長度接近我們喜歡的某個大數（稱之為 R）的閉合測地線環。
為了構建我們的環，讓我們在流形中選擇任意起點和任意起始方向，然後想象在圍繞該點的一個小鄰域中開啟一個花園水管，並大致朝向該方向。水滴將沿著測地線路徑流出，只要 R 足夠大，流動混合就意味著當水滴行進距離 R 時，它們將相當均勻地分佈在整個流形中。特別地，至少有一個水滴（實際上是許多）將回到起點附近和起始方向。然後，我們可以簡單地構建一個小橋，將該水滴的測地線連線到起點，以產生一個幾乎完全測地的環，其長度非常接近 R。不難證明，透過在流形中將這個環稍微拉緊一點，我們可以產生一個完全測地的環。
請注意，這種方法不僅給了我們一個長度接近 R 的測地線環。此過程可以使用任何起點和起始方向，並且許多水滴將返回到起點附近，因此實際上我們可以生成許多這樣的環。這是使用指數混合構建結構的一般原則。
卡萊加里說，指數混合“表明你在流形中發現的任何結構，你都會大量地發現它們”。
圖 8. 一條褲子（頂部）；將兩條褲子粘在一起（左下方）產生一個雙環面（右下方）。
圖片：西蒙斯基金會提供
卡恩和馬爾科維奇使用類似於我們構建環的練習方法來構建“褲子”——在拓撲上等同於帶有三個孔的球面的曲面（一個腰孔和兩個腿孔，可以這麼說）。褲子是除球面和環面之外的所有緊湊曲面的構建塊——例如，將兩條褲子粘在一起會產生一個雙環面（參見圖 8）。
給定任何足夠大的數字 R，卡恩和馬爾科維奇表明，可以在流形內部構建許多褲子，其三個袖口各自的長度都接近 R，並且幾乎完全是測地的，這意味著從雙曲幾何的角度來看，褲子表面的每一部分看起來都非常平坦。
他們還表明，在褲子的每個袖口處，都有另一條褲子從袖口大致朝相反的方向發出。透過在袖口處縫合這些匹配的褲子，卡恩和馬爾科維奇產生了一個大型的緊湊曲面家族，這些曲面幾乎完全是測地的，在接縫處有一些輕微的彎曲。已知幾乎是測地的曲面在其三維流形內是不可壓縮的，因此卡恩和馬爾科維奇的構造證明了不可壓縮曲面定理。
卡萊加里說，他們的方法還表明，一個三維流形不僅有一個不可壓縮曲面，而且“到處都有幾乎測地曲面的豐富結構”。
卡恩和馬爾科維奇的工作為他們贏得了 2012 年克萊研究獎，該獎項由克萊數學研究所每年頒發，以表彰重大的數學突破。
布朗大學的傑弗裡·布洛克在 2011 年末一篇關於卡恩和馬爾科維奇工作的文章中預測說：“卡恩和馬爾科維奇的技術與其結果一樣引人入勝，而且這項工作無疑將激發比它結束的更多的研究線索。”
隱藏的結構
對於試圖證明虛擬哈肯猜想的數學家來說，卡恩和馬爾科維奇的工作創造了一個起點。
他們表明，每個流形都保證包含一個不可壓縮曲面。但是，這個曲面可能會穿過自身，也許在許多地方，而不是被嵌入。要從卡恩和馬爾科維奇的結果推匯出虛擬哈肯猜想，數學家必須找到流形的有限覆蓋，其中，就像六瓣和三瓣花的例子一樣，曲面提升為永不相交的曲面集合（儘管它們可能會彼此相交）。如果可以做到這一點，那麼每一個都將是覆蓋中的嵌入式不可壓縮曲面，這意味著該覆蓋將是哈肯的。
但是，如何準確地找到這樣的覆蓋呢？
鄧菲爾德說：“卡恩和馬爾科維奇的結果與虛擬哈肯猜想之間存在很大的差距。“他們的發現很重要，但當時尚不清楚這是否對獲得嵌入式曲面有所幫助。”
卡恩和馬爾科維奇的結果引起了蒙特利爾麥吉爾大學的丹尼爾·懷斯的注意。從某種意義上說，懷斯一直在研究有限覆蓋何時消除拓撲物件的自相交，但他是在“立方體復形”的背景下工作的，立方體復形看起來與三維流形非常不同。卡恩和馬爾科維奇的發現使懷斯能夠向其他數學家表明，這兩個背景並非相差甚遠。
立方體復形正如其名稱所示：立方體的集合，只是“立方體”一詞不僅指通常的三維立方體，而且指任何維度中由所有座標介於 -1 和 +1 之間的點組成的形狀。例如，正方形被認為是二維立方體，而線段是一維立方體。立方體復形中的立方體沿著角、邊、面和更高維的側面彼此連線。
圖 9. 一個正方形（左）有兩個超平面（紅色和綠色線）。一個立方體有三個超平面（紅色、藍色和綠色正方形）。
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立方體復形與三維流形是非常不同的生物——它們甚至不是流形，首先，因為兩個不同維度的立方體之間的連線不像任何維度的普通空間。然而，立方體復形是研究位於三維流形內的曲面的一個關鍵方面的簡化設定：即這樣的曲面，至少在區域性上，將其周圍環境分為兩個面。
如果你的目標是研究將形狀劃分為兩個面的物件，那麼立方體是自然的起點，因為在所有可能的形狀中，它們具有一些最簡單的此類物件：穿過立方體中間的“超平面”。一個正方形有兩個超平面——將正方形一分為二的垂直線和水平線——一個立方體有三個超平面（參見圖 9）。一個 n 維立方體有 n 個超平面，它們都相交於立方體的中心點。
懷斯說：“超平面就像三維流形中的曲面，但你可以立即看到它們。“找到曲面很難，但超平面從一開始就可用。”
如果我們從立方體復形中立方體內的超平面開始，那麼恰好有一種方法可以將超平面擴充套件到相鄰立方體中的超平面；在那之後，恰好有一種方法可以將那些超平面擴充套件到它們的相鄰立方體；等等。因此，給定立方體復形中的起始超平面，有一種獨特的方法將其擴充套件到整個立方體復形中的超平面（參見圖 10）。
圖 10. 最右側正方形中的紅色超平面以唯一的方式擴充套件到整個立方體復形中的超平面。
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這種特性與三維流形形成了鮮明對比，在三維流形中，一小塊曲面可以以任意多種方式擴充套件到整個曲面。立方體復形及其超平面“漂亮、晶瑩且堅硬”，阿戈爾說，沒有三維流形及其曲面的“鬆弛性”。
當我們透過立方體復形擴充套件超平面時，它可能會回到它開始的立方體，並沿著與原始超平面垂直的超平面穿過它（參見圖 11）。換句話說，擴充套件的超平面可能沒有嵌入。就像三維流形內的曲面一樣，我們可以詢問立方體復形是否具有有限覆蓋，其中這些自相交。在過去十年中，懷斯開發了一套用於找出哪些立方體復形是特殊的技巧。在 2009 年，懷斯釋出了一篇 200 頁的“傑作”，正如鄧菲爾德所說，他在其中詳細介紹了有關特殊立方體復形的一系列發現，例如他的“組合定理”，該定理展示瞭如何將特殊立方體復形拼接在一起以獲得新的保證仍然是幾乎特殊的立方體復形。在這篇論文中，懷斯提出了一個猜想，該猜想大致指出，任何幾何結構以類似於雙曲幾何的方式彎曲的立方體復形都是“幾乎”特殊的——也就是說，它有一個特殊的有限覆蓋。這個陳述後來被稱為懷斯猜想。
懷斯堅信，當給定形狀以某種方式類似於立方體復形時——也就是說，當它可以“立方化”時——立方體復形的結構是解開原始形狀許多屬性的關鍵。
他說：“立方體復形是人們甚至不知道要詢問的秘密。“它是一種基本的、隱藏的內在結構。”
立方體腳手架
懷斯說，他對立方化形狀變得“非常興奮”，但起初他的數學朋友只是嘲笑他的單相思。
然後，卡恩和馬爾科維奇證明了不可壓縮曲面定理，懷斯和伯傑龍立即發表了一篇論文，表明緊湊的雙曲三維流形中存在不可壓縮曲面提供了一種將其立方化的方法——並且以這樣一種方式，即三維流形中的曲面與所得立方體復形中的超平面精確對應。
懷斯和伯傑龍構造的關鍵在於卡恩和馬爾科維奇展示瞭如何構造多個曲面，而不是一個曲面。遵循 2003 年由現任以色列海法理工學院的米卡·薩吉夫開創的立方化方法，懷斯和伯傑龍首先選取了大量的卡恩-馬爾科維奇曲面——足以將三維流形劃分為緊湊的多面體。
現在考慮這些曲面的一個交點——假設，比如說，n 個曲面在該點相交。薩吉夫的洞察力是將這種交點視為 n 維立方體中 n 個超平面的交點的陰影，可以這麼說。與三維流形相對應的立方體復形是透過為 n 個曲面的每個交點放入一個 n 維立方體來構建的（實際構造要微妙一些，以便處理各種拓撲突發事件）。復形中的兩個立方體是相鄰的，如果它們在三維流形中對應的交點透過多面體的一個面連線。
鄧菲爾德說：“立方體復形的存在正是為了記錄曲面如何與自身和彼此相交。”
懷斯和伯傑龍表明，此立方體復形與原始流形“同倫等價”，這意味著可以將立方體復形擠壓和拉伸（可能有一些維度扁平和非扁平化）直到立方體復形變成流形，反之亦然。更重要的是，這種同倫等價性將三維流形中的每個曲面轉換為立方體復形中對應的同倫等價的超平面。
以這種方式構造的立方體復形滿足懷斯猜想的幾何要求，這意味著如果懷斯猜想是正確的，那麼這個立方體復形具有有限的覆蓋，其中所有超平面都被嵌入。
如果確實存在這樣的有限覆蓋（假設是具有 m 個薄層的覆蓋），那麼請回想一下，可以透過某種方式打開復形、製作 m 個復形副本，然後沿著切割線將副本粘合在一起來從立方體復形構建該覆蓋。不難證明，這種製作覆蓋的配方可以直接轉化為製作三維流形的相應有限覆蓋的配方，並且在這個有限覆蓋中，用於構建立方體復形的卡恩-馬爾科維奇曲面將提升為嵌入式曲面。換句話說，如果懷斯猜想是正確的，那麼虛擬哈肯猜想也是正確的。
“這種權衡很奇怪：例如，你的立方體復形可能是 10,000 維的，所以在某種程度上，看起來你好像把事情弄得更糟了，”Wise 說。“但即使立方體復形如此之大，關於它的許多特徵都非常容易理解，所以它非常有價值。我們寧願擁有一個龐大但組織良好的東西，而不是擁有一個三維流形。”
即使在 Wise 和 Bergeron 將立方體復形與虛擬 Haken 猜想聯絡起來之後，大多數三維流形拓撲學家仍然與立方體復形保持距離。也許這是因為 Wise 的 200 頁論文看起來令人生畏，或者是因為立方體復形與他們習慣研究的空間型別截然不同。
“對於那些來自雙曲幾何的人來說，這些想法相當深奧，”Bergeron 說。
但是，有一位數學家已經精通三維流形拓撲以及 Wise 方法中更抽象、組合的考慮。
“我認為 Ian Agol 是唯一一個很早就理解 Wise 的想法對三維流形拓撲有用的三維流形專家，”Bergeron 說。
Agol 深入研究了 Wise 的傑作，並確信其中所有關於 Wise 猜想的部分確實是正確的。Agol 一直在研究虛擬 Haken 猜想；他意識到 Wise 的方法，將鬆弛的曲面分解為晶體超平面，正是他所需要的。
“立方體復形提供了一個構建有限覆蓋的腳手架，”他說。
為了構建 Wise-Bergeron 立方體復形的特殊有限覆蓋，Agol 首先（抽象地）將立方體復形沿超平面切割成“樂高積木”。然後，他為積木的表面分配顏色，以便在角處相遇的任何兩個表面具有不同的顏色。接下來，Agol 大致表明，有一種方法可以沿著具有匹配顏色的表面將有限數量的樂高積木副本粘合在一起，使得這些表面側面的顏色也匹配；這樣，每個擴充套件的超平面都將是一種顏色。由此產生的立方體復形是原始立方體復形的有限覆蓋，並且其所有超平面都是嵌入式的，因為任何兩個相交的超平面都具有不同的顏色，因此不是同一個超平面與自身相交。
3 月 12 日，Agol 宣佈他已經證明了 Wise 的猜想，從而證明了虛擬 Haken 猜想。
“這是自 Perelman 證明幾何化猜想以來最激動人心的訊息，”Dunfield 說。
訊息迅速傳遍了三維流形社群，立方體復形突然成為三維流形拓撲學家之間常見的談話話題。
“直到現在，我認為數學界還沒有意識到 Wise 的工作有多麼強大，”Agol 說。“我認為我的結果會讓人們更加意識到他所取得的驚人進展。”
現在，Wise 說，數學家們開始意識到“任何時候你將某物立方化，你都會揭示各種結構秘密。”
一個時代的結束
Agol 對 Wise 猜想的證明是一項四合一的交易：它不僅證明了虛擬 Haken 猜想，還證明了 Thurston 的 23 個問題中仍然未解決的其他三個問題。在證明之前的幾年裡，Agol 和其他數學家已經表明，所有這三個問題——虛擬纖維化猜想以及另外兩個關於雙曲三維流形的更技術性的問題——也是 Wise 猜想的推論。
在虛擬纖維化猜想的情況下，回想一下，目標是證明每個緊雙曲三維流形都有一個在圓上纖維化的有限覆蓋，這意味著它是透過將加厚的曲面的相反端粘合在一起而構建的。我們從虛擬 Haken 定理中知道，該流形具有一個 Haken 的有限覆蓋——也就是說，該流形的覆蓋有一個嵌入的、不可壓縮的曲面。如果你沿著該曲面開啟 Haken 流形，你會得到一些看起來在其末端像一個加厚的曲面，但在其“內部”具有誰也不知道的拓撲特徵的東西。
2008 年，在 Calegari 稱之為“驚人的突破”中，Agol 表明，滿足特定技術條件的雙曲三維流形一定是可以虛擬纖維化的。次年，Wise 在此發現的基礎上表明，所有 Haken 流形都是可以虛擬纖維化的；也就是說，有一種方法可以展開 Haken 流形，以產生一個有限覆蓋，該覆蓋打開了內部複雜的拓撲結構，從而產生一個簡單的纖維化流形。因此，如果一個流形是虛擬 Haken 的，那麼它也必須是虛擬纖維化的。
“我認為每個人都相信虛擬 Haken 猜想最終會成立，但是虛擬纖維化猜想似乎遙不可及，”Calegari 說。“對我來說，虛擬纖維化猜想是由虛擬 Haken 猜想推匯出來的這一事實是這個故事中最令人震驚的方面之一。”
隨著虛擬纖維化猜想的證明，“你很可能認為這意味著三維流形真的很簡單，因為在圓上纖維化的流形很簡單，”Minsky 說。“但我認為這告訴我們，在圓上纖維化的流形根本不簡單——它們比我們預期的更微妙。”
與此同時，虛擬纖維化定理確實意味著存在一個簡單且資訊豐富的配方來生成所有緊雙曲三維流形：從一個加厚的曲面開始，將它的內邊界和外邊界表面相互粘合，並選擇扭曲方式，然後將該流形自身摺疊有限次數。
“如果你要我提供一個雙曲三維流形，我會問你想要哪種型別——哪種纖維化以及哪個有限覆蓋？”Calegari 說。“我們現在知道，透過這樣做，我們不會錯過任何三維流形。”
雖然數學家們需要一些時間來徹底檢查 Agol 的工作，但許多人樂觀地認為它會經得起考驗。
“Ian Agol 不是一個馬虎的人，”Minsky 說。
既然 Thurston 列表上的最後幾個問題可能已經得到解決，研究人員已經開始詢問在這個勇敢的後 Thurston 世界中，三維流形拓撲領域將會是什麼樣子。
數學家們一致認為，他們將有很多事情要做，以弄清楚 Wise 的立方體復形為可以被立方化的其他形狀提供了什麼見解。關於三維流形本身，數學家們已經到了一個時代的終點，Agol 說，但也到了一個新的開始。
“大多數數學領域都沒有一個包羅永珍的願景來指導該領域在二三十年內發展，就像我們擁有的那樣，”他說。現在，他建議，三維流形拓撲和幾何可能變得更像其他領域，數學家們在這些領域中“摸索”並在沒有對正在發生的事情的宏大猜想性圖景的幫助下設法取得進展。
“新一代數學家將弄清楚下一個重要問題是什麼，”Agol 說。
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