幾何學揭示不公正劃分選區的幕後伎倆

幾乎沒有人料到，高中時費力計算三角形面積或稜柱體積有一天會被用來影響選舉結果。然而，幾何學可以成為塑造選舉競爭結果的強大工具——至少在 plurality 投票制度中是如此。

即使使用數學工具，為多個政黨設計一個完美的選舉制度也是不可能的。但是，如果像美國那樣，基本上只有兩個主要政黨，事情應該相當明確。得票最多的政黨候選人獲勝，對嗎？任何關注近年來美國總統選舉的人都知道現實並非如此。一個重要因素是選區的實際形狀。如果巧妙地設計，實際上處於劣勢的政黨仍然可以獲得多數代表席位——這個問題在美國中期選舉中絕非不存在。

數學在決定選舉結果方面起著重要的作用，特別是對於眾議院的 435 個席位。透過巧妙地選擇國會選區的邊界，即使選票計數不能公平地代表選民的意願，一個政黨也可以使其候選人獲勝。

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這是一個高度簡化的示例：假設一個州由 50 名選民組成，其中 20 人投票給藍色政黨，30 人投票給紅色政黨。選民可能以網格模式居住，例如，在曼哈頓的某些區域。假設有 10 條南北走向的大道和 5 條東西走向的街道。所有紅色選民都住在最西邊的前兩條大道上。藍色選民住在其他三條大道上。現在的任務是將選民劃分為五個規模相等的選區。

可以繪製五條垂直邊界：這樣就會有兩個只有紅色選民的選區和三個只有藍色選民的選區。因此，該選區的選票將產生三名藍色政黨代表和兩名紅色政黨代表，準確地反映了選民的意見。

但是，如果藍色政黨要如願以償地<0xE2><0x80><0x89>劃定選區邊界，他們可能會傾向於水平劃定邊界。那麼所有選區看起來都一樣，每個選區都有 4 名紅色選民和 6 名藍色選民。在這種情況下，藍色政黨在每個選區都獲勝，並獲得所有五個代表席位。類似的事情發生在2012 年紐約州：那裡 58% 的人投票給了民主黨人，但該黨獲得了 27 個席位中的 21 個（如果選區是公平劃分的，則比應有的席位多出五個）。

另一方面，州立法機構和重新劃定選區界線的委員會可能會做出非常不同的（稍微複雜一些的）劃分。為此，他們可以將幾乎所有藍色選民都集中到兩個選區，讓紅色政黨在剩餘的三個選區中獲得多數席位，在這些選區中，將有三名紅色國會議員和兩名藍色女國會議員——儘管更多的選民投票給了藍色政黨。在美國國會競選中有很多這樣的例子。例如，在 2012 年的賓夕法尼亞州，民主黨人獲得了 51% 的選票，但僅獲得 18 個席位中的 5 個。

為了獲得多數席位而蓄意重新劃分選區的行為被稱為不公正劃分選區，這是一個由“格里”和“蠑螈”組合而成的混合詞。前者指的是 19 世紀早期馬薩諸塞州州長埃爾布里奇·格里，他批准了形狀極其怪異的選區，這讓他的政黨獲得了優勢。

即使在今天，在美國大多數州，立法機構大約每 10 年（隨著新人口普查的出現）決定選區的劃分。執政黨一次又一次地被懷疑利用重新劃分選區來為自己謀利。這通常可以在形狀怪異的選區中看到，類似於 19 世紀初馬薩諸塞州的選區。當時的一位漫畫家注意到其中一個選區像蠑螈，因此創造了“不公正劃分選區”的說法。

重新劃分選區引發了許多法律挑戰。1986 年，美國最高法院甚至裁定蓄意不公正劃分選區是非法的。但從那時起，它幾乎沒有觸及任何選區。事實證明，為公平劃分選區制定規則並非易事。即使是數學家也在絞盡腦汁思考這個問題——並武裝自己以強大的計算機能力來處理這個問題。

如何發現不公正劃分選區？觀察上面圖片所示的馬里蘭州選區，您可能會懷疑設計者有某些不可告人的動機。特別引人注目的是它非常鋸齒狀。一種說法是，選區邊界應該是“緊湊的”——但沒有明確定義“緊湊”到底是什麼意思。

可能存在不公正劃分選區的一個可能線索是外邊界的長度：選區越鋸齒狀，周長越大。與重新劃分選區相關的文獻有時提倡繪製儘可能小的圓圈來包含選區內的區域，並將其與現有邊界的面積進行比較。選區的邊界與圓的偏差越大，該選區為了適應黨派目的而被重新劃分的可能性就越大。一個選區居民之間的平均距離也可能表明存在不公正劃分選區。

劃分為選區絕非易事。每個州在這樣做時都遵循自己的規則。理想的目標是讓一個選區包含大致相等的選民人數，是連續的，不歧視種族群體，不跨越縣界，並遵循河流等自然邊界線。這些限制本身就會導致選區支離破碎——甚至沒有考慮居民的投票行為。

正如2013 年的一項研究發現的那樣，緊湊的選區不一定能帶來公平的代表性。該研究特別關注了 2000 年佛羅里達州總統選舉，其中投票給民主黨人和共和黨人的人數大致相同，但後者佔佛羅里達州國會選區選票的 68%。研究人員使用了一種旨在繪製最“緊湊”選區的非黨派演算法，同時遵守該州已確立的規則。

令人驚訝的是，計算機也產生了有偏差的結果，其中共和黨人大多會佔優勢。專家們很快意識到原因：大多數民主黨人住在佛羅里達州的城市裡。這意味著他們在城市選區以壓倒性優勢獲勝，而在每個案例中，在農村地區則以微弱劣勢落敗。由於這種“自然的不公正劃分選區”，不可避免地會有更多的共和黨人在眾議院中獲得席位。

正如政治學家喬納森·A·羅登指出的那樣，佛羅里達州並非孤例。主要問題不是選區缺乏“緊湊性”。如果您想證明邊界是故意劃定以使一方獲得優勢，則您需要比選區的形狀更多的證據。公正系統的目標是找到選區，以便每個政黨都有平等的機會將其選票轉化為選舉席位。但是我們如何衡量這一點呢？2014 年，芝加哥大學法學學者尼古拉斯·斯特凡諾普洛斯和加利福尼亞州公共政策研究所政治學家埃裡克·麥吉開發了一個衡量該問題的指標——效率差距。它的計算方法是從彼此的“浪費”選票中減去兩個政黨的“浪費”選票，然後除以所有選票的總數。在任何政黨中，浪費的選票是指最終進入輸給對方政黨的選區或高於獲勝所需票數幅度的選票。效率差距越小，結果就越公正。

為了視覺化這一點，我們可以再次使用最初的示例，即 50 名選民（20 名紅色，30 名藍色），並計算不同劃分的效率差距。在第一種情況下，當所有邊界都垂直繪製時，第一個和第二個選區（從左側開始）各有 10 張紅色選票，每個選區浪費 4 張。另一方面，第三、第四和第五個選區各有 10 張藍色選票，其中也有 4 張被浪費。因此，效率差距如下（豎線表示絕對值）：|(2 x 4) – (3 x 4)|/50 = 2/25 = 0.08。

在第二種劃分中，每個選區都是相等的：藍色總是以 10 票中的 6 票獲勝。因此，藍色選票沒有浪費——而紅色選票都被浪費了。效率差距為 20/50 = 0.4，這明顯高於第一種劃分。

第三個例子最有趣：藍色以 9 比 1 獲勝的兩個選區每個選區都有 3 個藍色盈餘。在紅色獲勝的三個選區中，每個選區浪費了 4 張藍色選票——因此總共有 (2 x 3) + (3 x 4) = 18 張藍色選票是盈餘選票。相比之下，只有兩張紅色選票被浪費。這導致效率差距為 (18 – 2)/50 = 8/25 = 0.32。

效率差距可用作確定選區中黨派偏見的指標。但有時自然條件，例如當一個政黨的幾乎所有選民都住在同一個城市時，使得很難找到更好的可能性。為了研究這些可能性，統計學家 Wendy Cho 與伊利諾伊大學厄巴納-香檳分校的計算機科學家 Yan Liu 和地理學家 Shaowen Wang 設計了一種演算法，該演算法根據相關州設定的規則將地圖劃分為選區。

找到選區的最佳劃分，使每個政黨都有相同的機率將選票轉化為席位，這極其困難。這項任務屬於所謂的 NP 問題類別，計算機科學家和數學家幾十年來一直懷疑，普通計算機無法有效地解決這些問題。這並不意味著您找不到解決方案——只是它可能需要非常非常長的時間。因此，Cho 和她的合著者決定讓計算機構建大量不一定完美的分割。

例如，當他們將他們的程式應用於 2011 年的馬里蘭州時，他們意識到幾乎所有 2.5 億個結果都對民主黨有利。顯然，自然條件以及對選區的要求是這樣的，共和黨人自動處於不利地位。Cho 和她的同事將馬里蘭州的實際分配與計算機的輸出進行了比較，並能夠證明官方選區在超過 99.79% 的 2.5 億個計算機生成的結果中偏袒民主黨人。

與此同時，一些美國州（主要是民主黨佔多數的州）使用獨立的委員會來重新劃分選區。這些委員會通常求助於計算機程式來找到最公平的分配。總的來說，今年選區的分配似乎是 40 年來最公平的，正如《紐約時報》報道的那樣。當美國所有州對兩黨有利或不利的選區劃分決策相互抵消時，不公正劃分選區應該只會為共和黨人帶來額外的三個席位——低於 2012 年的 23 個席位。但即使是三個席位也可能在勢均力敵的選舉中起決定性作用。中期選舉前的新聞報道描繪了不公正劃分選區仍然是一個備受公眾關注的問題：阿拉巴馬州立法機構重新劃分了選區，將該州的大多數黑人選民劃入一個選區，從而降低了他們的選舉權，並導致了一起目前正在美國最高法院審理的案件。