我們常常以一種冷峻的敬畏之心看待數學。這門學科由永恆而冷靜的規則和原理驅動。例如，質數的數量永遠是無限的，圓周率的位數也將永遠延續下去。*
然而，在這種確定性之下，隱藏著一種崇高的吸引力。一個證明或方程可以產生優雅的美學效果。例如，研究群論的數學家分析支配旋轉或反射的規則。在視覺上，這些變換可以呈現出極其美麗的對稱性，例如雪花的放射狀圖案。
一些數學家和藝術家認為在數學和藝術之間做出選擇是一種錯誤的選擇。他們選擇不選擇。他們使用數字和群論的語言提出問題，並在金屬、塑膠、木材和電腦螢幕中找到答案。他們編織、素描和建造。他們中的許多人每年都會在關於數學和藝術的國際橋樑會議上交流思想，或者在以馬丁·加德納命名的兩年一度的“加德納聚會”上會面，馬丁·加德納曾在這本雜誌上撰寫了25年備受讚譽的“數學遊戲”專欄。
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現在，人們對數學藝術的興趣似乎正在蓬勃發展，展覽甚至學術期刊的數量都在增加。當前浪潮的根源可以追溯到20世紀末，但今天的藝術家們借鑑了更廣泛的數學繆斯，並使用了更現代的工具。以下是一些最引人注目的作品。
*編者注：（9/10/18）：印刷版文章中的這句話在釋出後進行了編輯，以更正一個錯誤。原文宣告質數的數量永遠是不可數的。
曼徹斯特發光通用圖靈機，#23 (1998)
羅曼·韋羅斯科
韋羅斯科在20世紀40年代接受過藝術家的培訓，成為一名牧師，離開神職，結了婚，解剖了計算機，並學會了用BASIC語言編碼。他是演算法藝術的先驅，演算法藝術使用計算機程式生成新的視覺效果，他使用演算法來引導筆式繪圖儀的繪圖臂。
他在1998年閱讀了羅傑·彭羅斯1989年的著作《皇帝新腦》後創作了這件作品，該書介紹了通用圖靈機（UTM）。這臺機器以計算先驅艾倫·圖靈的名字命名，通用版本是一種可以模擬每臺專用圖靈機功能的機器，這意味著它理論上可以計算任何可以計算的東西。當韋羅斯科瞭解到UTM時，他認為它是我們這個時代的某種基礎文字，一種將永遠改變文化的創造。透過他的宗教研究，他長期以來一直迷戀於泥金裝飾手抄本——用金色或銀色的精美插圖裝飾的手寫中世紀文字——並認為UTM是值得照明的當代作品。
這個UTM“文字”（上圖）是二進位制程式碼，一長串0和1，計算機的語言。作為喚起中世紀抄寫員作品的照明，韋羅斯科分別創作了抽象人物（左圖），用繪圖儀筆製作。
玻羅米環曲面 (2008)
芭絲謝巴·格羅斯曼
十多年來，格羅斯曼一直住在波士頓附近，她一直在使用3D列印技術，用金屬鍛造數學雕塑。她陶醉於對稱性、不可能性和空間的劃分。這裡的三個外環互不接觸，但仍然密不可分地相互連線。如果移除其中一個，另外兩個就可以分開。這是一種古老的形式，稱為玻羅米環，今天在國際數學聯盟的標誌中可以看到。
這些環是連結形式的數學家族的成員，每個成員的特徵是三個閉合曲線，沒有兩個物理連線。它們的相互作用對研究紐結理論的數學家特別感興趣。以玻羅米環為界的曲面稱為賽弗特曲面。
格羅斯曼的雕塑一部分是紐結理論，一部分是謎題。為了突出曲面奇特的彎曲，她使用了穿孔紋理，既能與光線互動，又能吸引人們注意奇特的地形。
佛陀曼德勃羅 (1993)
梅琳達·格林
在20世紀後期，一種名為曼德勃羅集的模式席捲了數學和藝術界。這是一個分形集，以已故的法裔美國數學家本華·B·曼德勃羅的名字命名，他是第一個將分形組織成值得研究的領域的數學家。他1982年的著作《大自然的分形幾何》仍然是經典之作。
該集合從複平面上的一個點開始，用二維圖表示，該點用作特定方程的初始值。在進行適當的計算後，取新的答案並將其代入方程。重複。如果答案不會變得太大——稍微增加一點，稍微減少一點——那麼初始點就在集合中。
此類集合的圖顯示了隨著放大或縮小而重複出現的明顯形狀。但在20世紀90年代之前，曼德勃羅集有一個標準外觀，使其看起來像一隻大蟲子，邊緣散佈著小蟲子，而更小的蟲子又附著在這些蟲子上。
計算機程式設計師格林不喜歡“蟲身”的外觀。因此，她編寫了一個程式，顯示了某些點在平面上跳躍的更多細節。她的顯示器上出現的東西令人毛骨悚然。“我不知道我是否真的掐了自己，”她說。影像是一個令人信服的佛陀的摹本，格林修改了程式碼以突出不同的顏色。許多數學家將數學的抽象性比作精神體驗，格林的“佛陀曼德勃羅”明確地喚起了這座橋樑。
南極光 (2010)
卡洛·H·塞金
在數學藝術界，加州大學伯克利分校的計算機科學家塞金以創作數百件作品而聞名，這些作品賦予了關於曲面、扭曲和維度的深刻想法以實體。他用木材、金屬和塑膠製作了一個名副其實的作品動物園。
他說，這件作品的靈感來自南半球天空上演的天體燈光秀：南極光，或稱南方極光。雕塑的扭曲帶狀物喚起了光線的旋轉帶狀物。在雕塑中，帶狀物從扁平變為彎曲，再變為扁平，並與自身連線。如果您用手指追蹤雕塑的蜿蜒路徑，您將訪問它的每個部分，並在不抬起手指的情況下回到起點。內表面也是外表面，這使其成為莫比烏斯帶，這是已知的最簡單的不可定向曲面，這意味著您不能對其使用“正面”或“背面”或“內外顛倒”等概念。
塞金認為，這樣的視覺效果不僅引人入勝；它們還提供了接觸深奧數學思想的途徑。“這是一種讓討厭數學的人重新關注的方法，”他說。“這是一種將數學視為遠不止死記硬背的方法。”
致謝：由戴娜·泰米娜設計、鉤編和拍攝
雙曲面/偽球面 (2005)
戴娜·泰米娜
泰米娜的幾何手工冒險始於20世紀90年代，當時這位現已退休的數學家在康奈爾大學教授一門關於雙曲幾何的課程，雙曲幾何是非歐幾何的一種型別。在歐幾里得幾何中，如果您有一條線和一個不在該線上的點，則只有另一條線既穿過該點又平行於您的第一條線。但在非歐幾何中，可能有很多線穿過該點並且不與第一條線相交。發生這種情況是因為雙曲面具有恆定的負曲率。（球體表面具有恆定的正曲率；負曲率更像您在馬鞍上找到的曲率。）因此，雙曲面上的三角形的角度之和小於180度。這是一種彎曲的怪異現象，就像羽衣甘藍葉子邊緣的褶邊一樣。
泰米娜想製作觸覺模型，以便她的學生可以感受到曲率。鉤編，她幾乎一生都在練習，似乎是一個不錯的選擇。她用鉤針和紗線，透過一個簡單的配方建立了一個雙曲面，指數級地增加了針數。這裡顯示的那個採用了偽球面的形式，它在任何地方都具有負曲率。
從那時起，泰米娜製作了數十個各種顏色的模型——最大的重約17磅——並且可以聲稱發明了“雙曲鉤編”。她創造令人眼花繚亂的斑點的基本方法只有一個步驟。“這很簡單，”她說。“保持恆定的曲率。”
原子樹 (2002)
約翰·西姆斯
數學家兼藝術家西姆斯住在佛羅里達州薩拉索塔，他的靈感來自一系列數學思想。這裡的中心影像描繪了生長在分形上的樹木，分形是一種自相似的模式：它在每個尺度上都相同，無論您放大還是縮小。
這種模式出現在自然界中，如茂密的西蘭花冠和鋸齒狀山脈，科學家們已將其用於研究從宇宙結構到鳥類飛航模式的各種現象。
這個圖形結合了真實樹木、繪製的樹木和樹狀分形的影像。西姆斯說，它“講述了數學、藝術和自然的交叉點”。在“原子樹”中，連線的形狀充當構建塊，大小重複並連線以形成一個大網路。
西姆斯在MathArt/ArtMath上首次展示了這件作品，這是他在2002年在林林藝術與設計學院共同策劃的展覽。他還創作了許多受圓周率數字序列啟發的作品，包括被子和連衣裙。2015年，他與數學家兼藝術家維·哈特合作製作了“圓周率日聖歌”，二人組在富有感染力的鼓和貝斯節奏中背誦圓周率的數字。
致謝：靈感來自M.C.埃舍爾的素描
聖甲蟲 (2018)
比雅內·耶斯佩森
耶斯佩森稱自己為魔法木雕師。這位丹麥藝術家渴望令人難以置信：他希望人們看到、握住和移動他的木製作品，但仍然不相信它們。“我與其說是數學家或藝術家，不如說更像是一位魔術師，”他說。
如果您將這個球握在手中，您很快就會意識到這些甲蟲中的每一個都獨立於其餘的甲蟲抖動，但它們是相互鎖定的，並且在不破壞任何東西的情況下無法從整體中移除。這個球是由一塊山毛櫸木雕刻而成的。
耶斯佩森的靈感來自荷蘭藝術家M.C.埃舍爾，他的大部分藝術作品在精神上都是數學的。埃舍爾普及了鑲嵌，鑲嵌是指以重複模式組合在一起以覆蓋或平鋪平面的幾何形狀。數學家長期以來一直在研究鑲嵌的性質——不僅是平面，還有更高維度的鑲嵌。（埃舍爾本人受到伊斯蘭藝術中鑲嵌的使用啟發；特別是，用於裝飾西班牙南部阿爾罕布拉宮牆壁的圖案。）耶斯佩森的“聖甲蟲”使用小蟲子作為其鑲嵌的基礎。