每個人都喜歡未解之謎。例如，1937年艾米莉亞·埃爾哈特在太平洋上空失蹤，以及1962年囚犯弗蘭克·莫里斯、約翰和克拉倫斯·安格林從加利福尼亞州惡魔島的膽大妄為的越獄。此外，即使謎題是基於一個笑話，我們的興趣也仍然存在。以道格拉斯·亞當斯在1979年流行的科幻小說《銀河系漫遊指南》為例，這是五部系列小說中的第一部。在書的結尾，超級計算機“深思”揭示了“生命、宇宙和一切”的“終極問題”的答案是“四十二”。
“深思”花費了750萬年才計算出終極問題的答案。被賦予獲得答案任務的角色們感到失望，因為它不是很有用。然而，正如計算機指出的那樣，問題本身就含糊不清。為了找到答案是42的正確查詢語句，計算機將不得不構建一個新版本的自己。那也需要時間。新版本的計算機是地球。要了解接下來會發生什麼，您必須閱讀亞當斯的書。
作者對數字42的選擇已成為極客文化的一部分。它是無數笑話和知情者之間交流的暗示的根源。例如，如果您在搜尋引擎上詢問“一切的答案是什麼？”的變體，它很可能會回答“42”。在法語或德語中嘗試一下。無論您使用谷歌、Qwant、Wolfram Alpha（專門計算數學問題）還是聊天機器人Web應用程式Cleverbot，您通常都會得到相同的答案。
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自2013年法國建立第一所此類學校以來，“42網路”中私立計算機培訓機構激增，其名稱顯然暗示了亞當斯的小說。今天，創始公司在全球網路中擁有超過15個校區。數字42也以不同的形式出現在電影《蜘蛛俠：平行宇宙》中。許多其他關於它的參考文獻和暗示可以在維基百科的“42 (數字)”條目中找到。
數字42也出現在一系列奇怪的巧合中，其意義可能不值得費力去弄清楚。例如
在古埃及神話中，在靈魂審判期間，死者必須在42位法官面前宣告他們沒有犯下42項罪行中的任何一項。
42.195公里的馬拉松距離對應於古希臘信使斐迪庇第斯在馬拉松和雅典之間跑了這麼遠的路程，以宣佈公元前490年戰勝波斯人的勝利的傳說。（公里在那時還沒有被定義，這一事實只會使這種聯絡更加令人驚訝。）
古代西藏有42位統治者。公元前127年左右統治的聶赤贊普是第一位。而公元836年至842年統治的朗達瑪（即九世紀的第42年）是最後一位。
古騰堡聖經是歐洲印刷的第一本書，每列有42行文字，也被稱為“四十二行聖經”。
根據3月6日《經濟學人》部落格文章，為紀念小說之前的廣播節目《銀河系漫遊指南》42週年，“任何事物的42週年紀念日都很少被慶祝。”
純粹任意的選擇
一個顯而易見的問題，實際上也已被提出，是亞當斯在書中對42的使用對作者是否有任何特殊的意義。他在線上討論組alt.fan.douglas-adams上釋出的答案簡潔明瞭：“那只是個笑話。它必須是一個數字，一個普通的、較小的數字，我選擇了那個數字。二進位制表示、十三進位制、西藏僧侶都是完全的胡說八道。我坐在辦公桌前，盯著花園，心想‘42就可以了。’我把它打出來。故事結束了。”
在二進位制系統或以2為底的系統中，42被寫成101010，這非常簡單，並且順便說一句，促使一些粉絲在2010年10月10日（10/10/10）舉行派對。亞當斯答案中提到的以13為底需要更間接的解釋。在一個例子中，該系列暗示42是問題“六乘以九等於多少？”的答案。這個想法似乎很荒謬，因為6 x 9 = 54。但在以13為底的系統中，表示為“42”的數字等於 (4 x 13) + 2 = 54。
除了計算機科學家為了好玩而故意引入的關於42的暗示，以及在歷史或世界中稍微探索一下時不可避免地遇到的42之外，您可能仍然想知道從嚴格的數學角度來看，這個數字是否有任何特殊之處。
數學上獨一無二？
數字42具有一系列有趣的數學性質。以下是其中一些：
該數字是前三個2的奇數次冪之和——即 21 + 23 + 25 = 42。它是序列 a(n) 中的一個元素，該序列是 n 個 2 的奇數次冪之和，對於 n > 0。該序列對應於 整數序列線上百科全書 (OEIS) 中條目 A020988，由數學家尼爾·斯隆建立。在以2為底的系統中，第 n 個元素可以透過重複 10 n 次 (1010 ... 10) 來指定。該序列的公式為 a(n) = (2/3)(4n – 1)。隨著 n 的增加，數字的密度趨於零，這意味著屬於此列表的數字（包括42）非常罕見。
數字42是前兩個非零整數6的冪之和——即 61 + 62 = 42。序列 b(n) 是6的冪之和，對應於 OEIS 中的條目 A105281。它由公式 b(0) = 0, b(n) = 6b(n – 1) + 6 定義。這些數字的密度在無窮大時也趨於零。
四十二是一個卡塔蘭數。這些數字非常罕見，比素數還要罕見：前者只有14個低於10億。卡塔蘭數最初由瑞士數學家萊昂哈德·尤拉以另一個名稱提及，他想知道一個 n 邊凸多邊形可以透過連線頂點和線段切割成三角形的不同方式有多少種。序列的開頭（OEIS 中的A000108）是 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132.... 序列的第 n 個元素由公式 c(n) = (2n)! / (n!(n + 1)!) 給出。與前面的兩個序列一樣，數字的密度在無窮大時為零。
卡塔蘭數以法-比數學家歐仁·查爾斯·卡塔蘭 (Eugène Charles Catalan) (1814–1894) 的名字命名，他發現 c(n) 是根據通常的書寫規則排列 n 對括號的方式的數量：括號永遠不會在開啟之前關閉，並且只有當隨後開啟的所有括號本身都已關閉時才能關閉它。
例如，c(3) = 5，因為三對括號的可能排列方式是
( ( ( ) ) ); ( ) ( ) ( ); ( ( ) ) ( ); ( ( ) ( ) ); ( ) ( ( ) )
四十二也是一個“實用”數字，這意味著 1 到 42 之間的任何整數都是其不同除數的子集之和。第一個實用數字是 1, 2, 4, 6, 8, 12, 16, 18, 20, 24, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 64, 66 和 72（OEIS 中的序列 A005153）。沒有簡單的已知公式提供此序列的第 n 個元素。
所有這些都很有趣，但說42在數學上真的有什麼特別之處是錯誤的。例如，數字41和43也是許多序列的元素。您可以在維基百科上探索各種數字的屬性。
什麼使一個數字特別有趣或無趣是數學家兼心理學家尼古拉斯·高弗裡特、計算自然科學家赫克託·澤尼爾和我研究過的問題，從分析 OEIS 中的序列開始。除了與柯爾莫哥洛夫複雜性（透過其最小描述的長度定義數字的複雜性）的理論聯絡之外，我們還表明，斯隆百科全書中所包含的數字指向一種共同的數學文化，因此，OEIS 既基於人類偏好，也基於純粹的數學客觀性。
三個立方和問題
計算機科學家和數學家認識到數字42的吸引力，但一直認為這是一個簡單的遊戲，可以用另一個數字同樣好地玩。儘管如此，最近的一則新聞引起了他們的注意。當應用於“三個立方和”問題時，42比100以下的所有其他數字都更麻煩。
該問題陳述如下：哪些整數 n 可以寫成三個整數立方和的形式（n = a3 + b3 + c3）？對於這樣的整數，您如何找到 a、b 和 c? 實際上，進行此計算的困難在於，對於給定的 n，要考慮的三元組空間涉及負整數。因此，與平方和的計算不同，這個三元組空間是無限的。對於那個特定的問題，任何解的絕對值都低於給定 n 的平方根。而且，對於平方和，我們非常清楚什麼是可能的，什麼是不可能的。
對於立方和，一些解可能出奇地大，例如 156 的解，它是在 2007 年發現的
156 = 26,577,110,807,5693 + (−18,161,093,358,005)3 + (−23,381,515,025,762)3
請注意，對於 n 的某些整數值，方程 n = a3 + b3 + c3 沒有解。對於任何整數 m（例如，4、5、13、14、22、23），所有可以表示為 9m + 4 或 9m + 5 的整數都是這種情況。證明這一斷言很簡單：我們使用“模 9”（mod 9）計算，這等效於假設 9 = 0，然後僅操作 0 到 8 之間或 −4 到 4 之間的數字。當我們這樣做時，我們看到
03 = 0 (mod 9); 13 = 1 (mod 9); 23 = 8 = –1 (mod 9); 33 = 27 = 0 (mod 9); 43 = 64 = 1 (mod 9); 53 = (–4)3 = –64 = –1 (mod 9); 63 = (–3)3 = 0 (mod 9); 73 = (–2)3 = 1 (mod 9); 83 = (–1)3 = –1 (mod 9)
換句話說，整數的立方模 9 為 –1 (= 8)、0 或 1。將這些數字中的任意三個數字相加得到
0 = 0 + 0 + 0 = 0 + 1 + (–1); 1 = 1 + 0 + 0 = 1 + 1 + (–1); 2 = 1 + 1 + 0; 3 = 1 + 1 + 1; 6 = –3 = (–1) + (–1) + (–1); 7 = –2 = (–1) + (–1) + 0; 8 = –1 = (–1) + 0 + 0 = 1 + (–1) + (–1)
您不能得到 4 或 5 (= –4) 的和。這種限制意味著三個立方和永遠不是 9m + 4 或 9m + 5 形式的數字。因此，我們說 n = 9m + 4 和 n = 9m + 5 是禁止值。
尋找解決方案
為了說明找到方程 n = a3 + b3 + c3 的解有多困難，讓我們看看當 n = 1 和 n = 2 時會發生什麼。
對於 n = 1，有一個明顯的解
13 + 13 + (–1)3 = 1
還有其他的嗎？是的，有
93 + (–6)3 + (–8)3 = 729 + (–216) + (–512) = 1
該計算不是唯一的其他解決方案。1936年，德國數學家庫爾特·馬勒提出了無數個解決方案。對於任何整數 p
(9p4)3 + (3p – 9p4)3 + (1 – 9p3)3 = 1
可以使用以下顯著恆等式證明此命題
(A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3
n = 2 也已知無限組解。它是由數學家 A. S. Werebrusov 在 1908 年發現的。對於任何整數 p
(6p3 + 1)3 + (1 – 6p3)3 + (–6p2)3 = 2
透過將這些方程的每一項乘以整數的立方 (r3)，我們可以推斷出對於任何整數的立方和兩倍立方，也存在無限多個解。
考慮 16 的示例，它是 2 的兩倍立方。對於 p = 1，我們得到
143 + (–10)3 + (–12)3 = 16
請注意，對於 n = 3，截至 2019 年 8 月，僅已知兩個解
13 + 13 + 13 = 3; 43 + 43 + (–5)3 = 3
自然而然地會產生一個問題：對於每個非禁止值，是否至少有一個解？
計算機在工作
為了回答這個問題，數學家們首先取了非禁止值 1、2、3、6、7、8、9、10、11、12、15、16 ...（OEIS 中的 A060464）並逐個檢查它們。如果可以為所有檢查的值找到解，那麼可以合理地推測，對於任何不是 n = 9m + 4 或 n = 9m + 5 形式的整數 n，方程 n = a3 + b3 + c3 都有解。
迄今為止進行的研究依賴於所使用的計算機或計算機網路的強大功能，已經產生了不斷擴充套件的結果體系。這項工作將我們帶回到著名且有趣的數字 42。
2009 年，德國數學家安德烈亞斯-斯特凡·埃爾森漢斯和約爾格·賈內爾使用哈佛大學諾姆·埃爾基斯在 2000 年提出的方法，探索了所有三元組a、b、c，其中整數的絕對值小於 1014，以找到 1 到 1,000 之間 n 的解。報告他們發現的論文得出結論，對於低於 1,000 的數字，只有 33、42、74、114、165、390、579、627、633、732、795、906、921 和 975 的解的存在性問題仍然懸而未決。對於小於 100 的整數，只剩下三個謎題：33、42 和 74。
在 2016 年的預印本論文中，現任荷蘭特溫特大學的桑德·惠斯曼繼續努力，並找到了 74 的解
(–284,650,292,555,885)3 + (66,229,832,190,556)3 + (283,450,105,697,727)3
2019 年，英國布里斯托爾大學的安德魯·布克解決了 33 的情況
8,866,128,975,287,528)3 + (–8,778,405,442,862,239)3 + (–2,736,111,468,807,040)3
從那時起，道格拉斯·亞當斯的數字成為低於 100 的最後一個正整數，其表示為三個整數立方和的形式未知。如果沒有解，那麼這個結論將為 42 的數學意義提供真正令人信服的理由：它將是第一個解似乎可能但尚未找到的數字。計算機嘗試過，但未能解決這個問題。
答案在 2020 年的一篇預印本中揭曉，這是布克和麻省理工學院的安德魯·薩瑟蘭協調的大規模計算努力的結果。參與 Charity Engine 個人計算機網路的計算機，相當於計算超過一百萬小時，表明
42 = (–80,538,738,812,075,974)3 + 80,435,758,145,817,5153 + 12,602,123,297,335,6313
165、795 和 906 的情況最近也得到了解決。對於低於 1,000 的整數，只有 114、390、579、627、633、732、921 和 975 仍有待解決。
對於所有不是 9m + 4 或 9m + 5 形式的整數 n，都存在解的猜想似乎得到了證實。1992 年，牛津大學的羅傑·希思-布朗提出了一個更強的猜想，即有無數種方法可以將所有可能的 n 表示為三個立方和。這項工作遠未結束。
困難似乎如此艱鉅，以至於問題“n 是三個立方和嗎？”可能是不可判定的。換句話說，任何演算法，無論多麼聰明，都可能無法處理所有可能的情況。例如，1936 年，艾倫·圖靈證明，沒有演算法可以解決每個可能的計算機程式的停機問題。但我們現在處於一個容易描述的純粹數學領域。如果我們能夠證明這種不可判定性，那將是一件新鮮事。
數字42很困難，但它不是最後一步！
本文最初發表在《科學》雜誌上，並經許可轉載。