在 NBC Learn 的“NFL 橄欖球科學”的勾股定理一集中，你會看到，在球場中線的防守隊員必須採取正確的追擊角度，才能追上沿邊線衝向端區的持球球員。
在追趕持球球員時，防守隊員基本上是沿著直角三角形的對角線奔跑的，其中邊長的平方和等於對角線的平方。你可能知道這個由公元前 5 世紀希臘數學家畢達哥拉斯發現的關係，即 a² + b² = c²。
“c”是斜邊，雖然它代表直角三角形中最長的邊，但它是兩端點之間的最短路徑。如果三角形上的點是城市中要去的地方，如果可以直接走c，你可能就不會費心沿著a和b走了。
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但斜邊並不總是最短的路線。事實上，它只是在橄欖球場和其他平面上的最短路線。在球體和其他形狀上，它可能不是。
如果您在地球儀上畫一個直角三角形，您就可以看到這種區別。首先，讓我們在赤道上選擇一個城市——為了簡單起見，假設它是南美洲太平洋沿岸的厄瓜多的基多。從基多出發，沿著經線向北極追蹤；然後向右轉 90 度，然後直接返回。在赤道上，您會注意到附近有一個名為利伯維爾的城市，它是非洲國家加彭的首都。
現在沿著地球表面畫一條從基多到利伯維爾的線。你可能向東走，經過巴西和大西洋。的確，這條橫跨地球四分之一的斜邊標誌著最短的距離。但這並不是唯一的斜邊。
從數學角度來說，如果你從基多向西走，沿著赤道環繞地球到達利伯維爾，你仍然會得到一個直角三角形。在這種情況下，斜邊是圓周的四分之三。從基多到北極，然後再到利伯維爾會更短。
勾股定理只適用於像足球場這樣的二維表面；數學家將這種表面稱為歐幾里得幾何（以公元前 3 世紀的希臘數學家歐幾里得的名字命名）。該定理不適用於非歐幾里得幾何，例如球體和更復雜的幾何，如馬鞍。事實上，你在學校學到的所有規則，比如平行線保持平行，都只適用於歐幾里得幾何。在非歐幾里得宇宙中，平行線實際上可能會發散或收斂。
雖然非歐幾里得幾何看起來可能很奇特和陌生，但它實際上在許多科學領域都很常見——也許最值得注意的是，在愛因斯坦的廣義相對論中，引力可以彎曲空間和時間的形狀。