正如伽利略曾經宣稱的那樣，如果自然之書是用數學語言寫成的，那麼新冠肺炎疫情已經讓全世界的數學家們切身體會到了這一真理，他們被冠狀病毒的迅速傳播所激勵。
今年到目前為止，他們參與了所有事情，從揭示新型冠狀病毒的傳染性有多強，我們應該彼此保持多遠距離，感染者可能傳播病毒多久，單一毒株如何從歐洲傳播到紐約，然後在美國各地爆發，以及如何“拉平曲線”以拯救數十萬人的生命。建模還有助於說服疾病控制和預防中心，病毒可以透過空氣傳播，並透過懸浮在空中的氣溶膠傳播數小時。
目前，許多人正在努力解決一個特別緊迫且棘手的研究領域：模擬疫苗的最佳推出方案。由於疫苗供應最初將受到限制，因此關於誰應該首先接種這些疫苗的決定可能會挽救數萬人的生命。現在這一點至關重要，因為關於兩種候選疫苗的早期結果令人鼓舞——一種來自輝瑞和 BioNTech，另一種來自Moderna——這兩種疫苗可能非常有效，並且這些公司可能會向食品和藥物管理局申請緊急授權。
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但是，佐治亞理工學院醫學與醫療保健運籌學中心主任李慧敏說，弄清楚如何在正確的時間將疫苗（目前有近 50 種疫苗正在人體臨床試驗中）分配給正確的群體是“一個非常複雜的問題”。李慧敏曾模擬過寨卡病毒、埃博拉病毒和流感的疫苗和醫療用品的分配策略，現在正在研究新冠病毒。她說，冠狀病毒“具有極強的傳染性，而且比流感致命得多”。“我們從未受到過病毒如此嚴峻的挑戰。”
耶魯大學公共衛生教授霍華德·福爾曼說，“我們上次使用全新疫苗進行大規模疫苗接種”是在天花和小兒麻痺症時期。“我們正在步入一個我們不熟悉的領域。”他說，過去幾十年來的所有其他疫苗要麼已經過多年的測試，要麼就是非常緩慢地推出的。
由於新冠肺炎對於 65 歲以上的人以及患有肥胖症、糖尿病或哮喘等其他健康問題的人尤其致命，但健康年輕人更容易康復，因此健康年輕人迅速而廣泛地傳播了新冠肺炎，數學家在為疫苗建模時面臨兩個相互衝突的優先事項：他們應該預防死亡還是減緩傳播？
大多數建模者的共識是，如果主要目標是大幅降低死亡率，官員必須優先為老年人接種疫苗；如果他們想減緩傳播，他們必須針對年輕人。
哈佛大學流行病學家馬克·利普西奇說：“幾乎無論如何，你都會得到相同的答案。”他說，首先為老年人接種疫苗以預防死亡，然後再轉向其他更健康的群體或普通人群。最近一項研究模擬了新冠肺炎可能在六個國家（美國、印度、西班牙、辛巴威、巴西和比利時）的傳播方式，並得出結論，如果主要目標是降低死亡率，則應優先為 60 歲以上的成年人直接接種疫苗。這項研究由科羅拉多大學博爾德分校的丹尼爾·拉雷莫爾和凱特·布巴爾、利普西奇及其同事進行，已作為預印本發表，這意味著尚未經過同行評審。當然，在考慮新冠肺炎對少數族裔（尤其是黑人和拉丁裔社群）的巨大影響時，還需要考慮其他優先事項。
正如應用數學家、西雅圖弗雷德·哈欽森癌症研究中心的副研究員勞拉·馬特拉伊特在一封電子郵件中寫道的那樣，大多數建模者都認為“關於冠狀病毒的一切都在以光速變化”。這包括我們對病毒如何傳播、如何攻擊人體、同時患有其他疾病可能會增加風險以及導致超級傳播事件的因素的理解。
到目前為止，這項研究已經產生了一些令人驚訝的結果。例如，雖然兒童通常是流感疫苗的優先接種物件，但專家表示，在美國，幼兒應該是新冠疫苗的較低優先順序，因為到目前為止，年輕人一直是傳播的主要驅動力。（在全球範圍內情況並非一定如此；例如，在印度，多代人經常居住在較小的空間裡，新的研究表明，兒童和年輕人都在所研究的兩個邦傳播了大部分病毒。）
此外，一些模型表明，即使疫苗的部署率較低且僅部分有效，也可以在對抗疫情方面取得重大進展。其他一些模型則強調了當地感染率和傳播率的重要性。李慧敏對疫情起源、毒性和可能的全球軌跡的早期評估被證明非常準確，她表示，如果大約 40% 的人口接種疫苗，紐約可能會控制住病毒，因為當地病毒傳播率相當低（截至 11 月 16 日，陽性率略低於 3%），並且大約 20% 的人已經感染。
拉雷莫爾說：“人群中已經擁有抗體的人的比例越高，你的投入就越划算，因為你可以優先為那些沒有抗體的人接種疫苗。”
李慧敏說，所有這些發現都很重要，因為“歸根結底，你永遠不會有足夠的疫苗供全體人口使用”，而且並非所有美國人都會接種疫苗。事實上，世界衛生組織最近預測，健康的年輕人甚至可能要到 2022 年才能接種疫苗，在此之前，老年人、醫護人員和其他高危人群將優先接種。
為了模擬疫苗的推出，數學家必須建立反映人類生活和我們複雜互動的公式，使用住房和社會經濟地位、日常習慣、年齡和健康風險等資料。但他們首先要確定病毒的傳染性——其繁殖率，或“R-naught”。這表示一個感染者預計會傳染給多少人。
當一部分人（取決於 R-naught）獲得免疫力（透過從自然感染中康復（如果自然感染賦予免疫力）或透過疫苗接種）時，就實現了群體免疫。這意味著，雖然可能仍然會發生小規模爆發，但疫情不會再次在全球範圍內爆發。鑑於導致新冠肺炎的病毒 SARS-CoV-2 的 R-naught 值，世界衛生組織估計，需要 65% 到 70% 的人口獲得免疫力才能實現這一目標。
模擬疫苗的推出需要複雜的技巧，雖然去年春天令公眾著迷的拉平曲線模型花了數週時間才製作完成，但疫苗分配模型卻需要數月時間。建模者面臨著無數實際挑戰。首先，目前正在研發中的許多疫苗（包括來自輝瑞和 BioNTech以及Moderna的兩種候選疫苗）需要注射兩劑，間隔數週，這涉及到登記和後續跟蹤，以確保人們獲得第二次關鍵的加強針。正如《紐約時報》在 9 月下旬指出的那樣，“公司可能必須將微小的玻璃瓶運輸數千英里，同時保持它們像隆冬南極一樣寒冷。”
還存在疫苗效力的問題。給定的疫苗是否會提供強大的免疫力，並且在所有人群中都有效？或者它是否主要縮短感染持續時間並減輕症狀，但這仍然對降低死亡率和傳播率具有重要價值？如果疫苗在老年人中的效果較差，又該怎麼辦？馬里蘭大學醫學院疫苗開發和全球健康中心主任凱瑟琳·紐齊爾表示，目前，使用信使 RNA 的疫苗（包括 Moderna、輝瑞和 BioNTech 生產的疫苗）“在老年人中看起來相當不錯”。對兩種候選疫苗的初步分析表明，它們的有效率可能超過 90%。
最後，還存在一個令人煩惱的問題，即感染後免疫力可能持續多久。對於某些病毒，例如引起水痘的帶狀皰疹病毒，免疫力可以持續數十年。對於其他病毒，例如包括 SARS-CoV-2 和普通感冒在內的冠狀病毒家族，該病毒具有相對較高的突變率，這可能會保護新型毒株免受我們抗體的侵害。這種不確定性很難精確建模，因此許多建模者暫時假設，至少目前，那些已被感染的人具有免疫力。
西雅圖弗雷德·哈欽森癌症中心的馬特拉伊特生動地回憶起，當她去年四月開始與同事合作開發疫苗接種模型時，從零開始構建模型是多麼困難。“有太多的不確定性，”她回憶道。研究人員共同開發了基於大約 440 種引數組合的演算法，從傳播到免疫力再到年齡組和死亡率。他們的計算機花了近 9,000 個小時執行方程式，他們的模型於 8 月作為預印本發表，結果表明，如果最初疫苗供應量很少，如果目標是減少死亡人數，則應優先考慮老年人。
但是，對於有效率至少為 60% 的疫苗，一旦有足夠的疫苗覆蓋至少一半人口，轉向以 20 至 50 歲的健康個體以及兒童為目標，將最大限度地減少死亡人數。該模型還預測了不同疫苗覆蓋率可以避免多少死亡。例如，如果 20% 的人口已經感染並具有免疫力，如果疫苗的有效率至少為 50%，那麼只需為剩餘人口的 35% 接種疫苗，死亡人數就可能減半。
在馬特拉伊特及其同事的模型中，一旦 60% 的人口獲得免疫力，就實現了群體免疫。“不同的模型給出不同的數字是完全正常的，”她說，並解釋了為什麼她的估計與世界衛生組織的 65% 的數字略有不同。
加州大學戴維斯分校的環境和資源經濟學家邁克爾·斯普林伯恩說，該模型“在檢視大量合理的案例方面做得非常出色”，他剛剛與加州大學戴維斯分校的同事傑克·巴克納以及佐治亞州立大學的數學流行病學家傑拉爾多·喬維爾完成了他自己的模型。他們的研究以預印本形式釋出，也表明了謹慎的初始目標定位在降低死亡人數方面的作用。
斯普林伯恩說，這些模型表明，即使是部分有效的疫苗只提供給部分人口，“也可以在減少感染和降低死亡人數方面取得很大進展。”
李慧敏使用她於 2003 年首次開發的軟體（與美國疾病預防控制中心合作開發，用於在自然災害和大流行期間分配物資）建立的建模分析了在感染率不同且疫苗供應最初稀缺的地區如何控制疾病。在春季遭受重創的紐約市，她的模型預測，大約需要 60% 的人口獲得免疫力才能控制住疫情。假設 20% 的人已經感染，那麼大約需要 40% 的人接種疫苗。然而，在感染率較低的聖地亞哥，李慧敏的模型表明，需要 65% 的人透過感染或接種疫苗獲得免疫力。在休斯頓，這個數字可能高達 73%，因為感染持續“緩慢蔓延”，而且該市拉丁裔和非裔美國人弱勢群體龐大，他們承擔了不成比例的風險。
李慧敏警告說，這些結果並不意味著你可以突然去休斯頓觀看足球比賽或在紐約觀看百老匯演出，但這確實意味著，在持續採取預防措施的情況下，在更多疫苗到來之前，病毒很可能會在她的模型中給出的百分比內得到控制。
雖然他們的結果各不相同，但大多數模型都認為某些因素至關重要，特別是年齡組，年齡組會改變感染、傳播和死於病毒的風險。這並非總是可以預測的：例如，豬流感在一定程度上倖免於老年人，而 SARS-CoV-2 對 65 歲以上的人造成了嚴重影響。65 歲及以上的成年人佔美國人口的 16%，但約佔 新冠肺炎死亡人數的 80%。
此外，年齡間接影響傳播模式。2009 年，耶魯大學流行病學家艾莉森·加爾瓦尼和簡·梅德洛克在《科學》雜誌上發表了一個數學模型，表明除了老年人之外，針對兒童和年輕人接種流感疫苗可以將豬流感感染人數從 5900 萬人減少到 4400 萬人；對於季節性流感，8300 萬人感染可能會驟降至 4400 萬人。事實證明，兒童在流感傳播中起著不成比例的作用，保護兒童就是保護整個社會。
這項研究以及其他類似的研究啟發了美國疾病預防控制中心改變政策，優先為兒童接種疫苗。“這是我們思考疫苗方式的一次革命，”拉雷莫爾說。疫苗接種模型現在通常會考慮透過為最負責傳播的人接種疫苗來間接保護最脆弱人群的力量。
年齡也以複雜的方式與不同地區的社會聯絡相互作用。例如，美國非裔美國人和拉丁裔社群受新冠肺炎的打擊尤其嚴重，部分原因是多代人同住的現象普遍存在：老年人更容易接觸到可能是感染最有可能攜帶者的年輕人。
建模連通性需要繪製網格來表示我們如何生活以及彼此之間的移動。2008 年，一篇里程碑式的論文構建了一個網格，流行病學家至今仍在世界各地使用。它根據年齡將人群分為從出生到 70 歲及以上的不同群體。在這項研究中，超過 7,000 人記錄了他們一天中的接觸情況（近 98,000 次）。聯絡方式按地點（家庭、學校、工作、休閒）和性質（身體接觸或非身體接觸、短暫或持久）進行分類。該模型發現，當一種新的病原體開始在完全易感人群中傳播時，5 至 19 歲的兒童往往感染率最高，這可能是因為他們與他人的接觸更頻繁且更具身體性。它還表明，一個社會的聯絡網格如何深刻地影響傳播。
該模型在 2017 年在全球範圍內擴充套件，包括 152 個國家/地區的聯絡率。“這是我們都在使用的模型，”馬特拉伊特說，“因為它是我們用來識別人們如何相互聯絡的最佳工具。”她將聯絡網格納入了她的模型。
例如，拉雷莫爾說，“如果孩子真的是社會構建的中心，那麼如果你為孩子接種疫苗，你就會破壞傳播網路，那麼這將為我們提供一種完全不同的疫苗推出方式。”
最初的網格依賴於日記。今天，我們透過即時手機和線上活動收集資料的能力可能更強。
斯普林伯恩說，當今年春天社交疏遠變得普遍時，它極大地改變了典型傳播模型的輸入。華盛頓大學健康指標與評估研究所的資料顯示了社交疏遠在減少傳播方面的力量。斯普林伯恩在一封電子郵件中寫道，先前研究中的聯絡網格“來自疫情之前”。“我們知道，在社交疏遠的情況下，聯絡率非常不同，我們希望考慮到這一點。我們預計，隨著感染人數的下降，社交疏遠會減弱。人性：隨著風險降低，降低風險的行為也會隨之降低。”
這也需要建模。它將影響對疫苗推出和成功的預期。事實上，李慧敏認為，如果我們現在有 90% 的人遵守戴口罩和保持社交距離的規定，我們就可以在沒有疫苗的情況下控制住病毒。
在斯普林伯恩、巴克納和喬維爾的研究中，社交疏遠是透過為必要行業和非必要行業的工作人員建立按年齡分層的類別來建模的。必要行業的工作人員（醫護人員、雜貨店工作人員和許多教師等）感染風險很高，因為他們無法保持社交距離。該模型發現，當優先為必要行業的工作人員接種疫苗時，死亡人數以及總的生命損失年限都會大幅減少。作者認為，如果目標是最大限度地減少死亡人數，則應首先優先為 40 至 59 歲之間的年齡較大的必要行業工作人員接種疫苗。
斯普林伯恩說，如果沒有疫苗，2021 年前六個月可能會有大約 179,000 人死亡。他的團隊的模型表明，只需逐步推出疫苗，每月為 10% 的人口接種疫苗，並在不優先考慮任何群體的情況下統一分發疫苗，死亡人數就可以降至約 88,000 人。但是，根據人們的年齡以及他們是否是必要行業的工作人員，以有針對性的方式分發疫苗可能會再挽救 7,000 至 37,000 人的生命，具體取決於具體情況。
除了日記和手機資料之外，還有其他方法可以梳理社會聯絡。人口普查和其他資料反映了年齡、職業和社會經濟地位，李慧敏將它們納入了她的模型。“郵政編碼提供了大量資訊，”她說。關於疾病流行和住院的公共衛生資料可以梳理出新冠肺炎患者患有的其他無關疾病，以及特定地區的脆弱性。即使是一個城市的住房資訊，無論是摩天大樓還是獨棟住宅，也可以提示人們居住的密集程度以及他們互動的可能性。輸入此類資料可以實現對當地情況敏感的疫苗推出。李慧敏說，她需要對美國各地約 500 個代表性城市進行建模，才能準確覆蓋全國。
儘管模型功能強大，但它們是不完善的指南。它們不可避免地與深刻而廣泛的社會問題相交織。疫情對少數族裔和低收入人群造成了不成比例的傷害和死亡。因此，世界衛生組織新冠疫苗 SAGE 工作組成員、芬蘭國家健康與福利研究所傳染病控制和疫苗接種部門副主管漢娜·諾希內克表示，各個團體正在研究應該為疫苗分配提供框架的倫理原則。
在美國，國家科學、工程和醫學院已經開始建模疫苗的公平分配。此外，還出現了另外兩個重要的模型，一個與賓夕法尼亞大學醫學院相關，另一個與約翰·霍普金斯大學相關。兩者都以對倫理、公平、最大化利益、建立信任和更大的公共利益的關注為指導。
但在實踐中，建立信任可能具有挑戰性。例如，人們普遍承認，與白人相比，黑人的住院率和死亡率高得不成比例。然而，當倫理學家開始談論優先為黑人接種疫苗時，這可能會被視為一種透過將他們推到隊伍的最前面來對他們進行實驗的意圖。醫學倫理學家、著作《醫學種族隔離》的作者哈麗雅特·華盛頓說，如果非裔美國人對此感到擔憂，這是對“非洲裔美國人在醫療領域遭受數百年虐待的漫長曆史”的合乎邏輯的反應。
最終，倫理模型和數學模型都必須面對現實世界的實用性。哈佛大學流行病學家利普西奇說：“這很困難，因為數學本質上歸結為功利主義的計算。”
儘管如此，拉雷莫爾說，這些模型將有助於指導我們度過不確定的早期。“疫苗的推出需要一段時間，”他說。“我們不能在疫苗宣佈的那一刻就放鬆警惕。”
