從洋蔥圈到土星環，所有圓都具有一個奇妙的特性：它們的周長大約是直徑的三倍。更精確地說（儘管仍然不完全精確），周長是直徑的 3.14159 倍，即 圓周率 倍。
圓是如此基本的形狀，以至於圓周率這個支配它們的數字，在數學世界中留下了它的印記。圓周率是一個無理數，這意味著它的十進位制展開既不終止（如四分之一：0.25），也不重複（如三分之一：0.33333…）。對於這樣一個完美對稱——曾經被認為是神聖的——形狀，圓竟然服從像圓周率這樣無序、異常的數字，這似乎令人驚訝。宇宙為什麼不為它最簡單的形狀選擇像 3 這樣的正常比率，讓 圓周率愛好者 感到懊惱呢？
實際上，數學家們相信圓周率是正規的——無論是在通俗意義上還是在技術意義上。正如我們將看到的，正規數既是奇異的又是平凡的。如果圓周率是正規的，那就意味著這個常數包含的遠不止莎士比亞的作品，而且它也可能解開為什麼這樣一個看似隨機的數字存在於簡單圓的中心這個謎團。
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正規數的十進位制表示形式包含從 0 到 9 的每個數字的頻率均等，並且包含從 00 到 99 的每個兩位數序列的頻率均等。對於三位數序列以及更長的序列，情況也是如此。從長遠來看，十進位制展開不會偏愛任何特定的數字或它們的模式。直觀地說，如果您從一個正規數中隨機選擇一個數字，那麼它有十分之一的機率是 7，也有十分之一的機率是 0。如果您選擇兩個連續的數字，那麼它應該有百分之一的機率是 63 或任何其他兩位數序列。
為了理解正規數有多麼奇異，讓我們想象一下，用正規數的數字來編碼文字：01 代表 “a”，02 代表 “b”，依此類推，為每個字母和標點符號指定唯一的兩位數。一個連續的數字串可以編碼一個單詞，例如 160905 轉換為 “pie”。透過這種設定，正規數包含了所有已經寫出或可能被寫出的文字。在無限小數的遙遠之處，你會找到碧昂絲的所有歌詞、本文的精確副本、關於你明天會發生什麼事情的詳細描述、你曾經有過的每一次對話的逐字記錄，以及，是的，莎士比亞的每一部作品。你還會找到這些文字的每一個變體，包括克勞狄斯只說豬拉丁語的哈姆雷特，以及關於你明天會發生什麼事情的無數虛假敘述，所有這些都夾雜在大量的亂碼之中。
文字越長，你可能需要搜尋的小數點後的位數就越遠。單詞 “bard”，在我們的方案中編碼為 02011804，在圓周率中超過 8200 萬位數字之後首次出現。你必須深入難以想象的深度，才能偶然發現一首十四行詩，更不用說整部戲劇了。但是無限是不會耗盡空間的。
僅僅因為一個小數是無限且不迴圈的（即，無理數），並不意味著這個數字就一定會被歸類為正規數。例如，考慮數字 0.01001000100001…，其中越來越多的零分隔開一。這個小數永遠延續下去，永遠不會陷入重複迴圈，但即使是簡單的數字 “7” 和 “11” 也永遠不會出現。
數學家們尚未能夠證明圓周率是正規的。從技術上講，一個數字可以包含所有文字，而無需像正規性要求的那樣，每個字串都以相同的頻率出現。這種較弱的條件被稱為析取性，我們也不知道圓周率是否具有析取性。事實上，任何單個數字都可能不會在圓周率中無限次出現。就我們所知，在萬億位數字之後，數字 5 可能永遠不會在圓周率中再次出現。對數萬億位圓周率數字的統計測試確實與正規性相符，但是測試任何有限數量的數字永遠不足以作為證明。
數學家們認為圓周率、尤拉數 (e)、二的平方根以及您最喜歡的其他大多數無理數都是正規的。然而，證明任何特定數字是正規的都非常困難。我們只知道少數幾個具體的例子，最簡單的是Champernowne 常數。要構造這個數字，您只需在小數點後按升序連線所有整數
.12345678910111213…
儘管 Champernowne 常數可能看起來很傻，但它是最早被證明為正規數的特定數字的例子之一，而且證明過程並不簡單。
鑑於正規數的奇怪特性以及我們所知的具體例子如此之少，為什麼我們會懷疑圓周率是正規的呢？這裡有一個平凡（但也令人驚奇）的部分：幾乎所有數字都是正規數。如果您閉上眼睛，在數軸上隨機選擇一個點，那麼您選擇一個正規數（因此也是一個編碼了莎士比亞全部作品的數字）的機率，嗯，是 100%。通常我們認為 100% 的機率是“保證會發生”，但是當處理無限集合時，這種含義就失效了。當然，可能您碰巧選擇了一個像 743 這樣的整數或像 ⅘ 這樣的分數，它們都不是正規數，但是正規數的密度如此徹底地使這些可能性相形見絀，以至於將機率稱為 100% 是合適的。我們將暫且擱置細節，但是在無限附近，機率變得很奇怪。
所有這一切都類似於著名的思想實驗，該實驗表明，猴子在打字機上隨機敲擊最終會產生莎士比亞的全部作品。同樣，你可能不得不等待億萬年，它們才能敲出《麥克白》的第一幕，但與無限相比，億萬年只是小菜一碟。當然，這個思想實驗忽略了地球上的擔憂，例如宇宙最終的死亡，或者給真猴子配備真鍵盤的猴子往往會在鍵盤上排洩，而不是盡職盡責地輸入一連串隨機字元。
這兩個類比——在數軸上選擇一個點，以及打字的猴子——都暗示了正規數的另一種表徵：它們的行為類似於隨機的數字字串。如果您無限次地擲一個包含數字 0 到 9 的 10 面骰子並記錄結果，您將產生一個正規數。大多數數字連續統都充滿了這種靜態噪聲——混沌的正規數，它們只是偶然地不時包含連貫秩序的片段。我們習以為常的數字，例如 743 這樣的整數和 ⅘ 這樣的分數，是特殊的異常值。
我們以一個哲學問題開始：為什麼簡單而對稱的圓受像圓周率這樣無序的常數支配？對這個謎團的一種可能的解釋是，它實際上根本不應該讓我們感到驚訝。圓周率很可能是正規數，而在自然界中找到正規數就像在乾草堆中找到乾草一樣不足為奇。