在1995年的電影《玩具總動員》中，幹勁十足的太空動作人偶巴斯光年不知疲倦地念著他的口頭禪：“飛向宇宙，浩瀚無垠！” 當然，這個笑話的根源在於人們理所當然地認為無窮大是不可逾越的絕對——不存在超越無窮大的事物。然而，這種假設並非完全站得住腳。正如德國數學家格奧爾格·康托爾在19世紀後期證明的那樣，存在各種各樣的無窮大——而且可以根據它們相對的大小進行分類。
自然邏輯
以所謂的自然數為例：1、2、3，以此類推。這些數字是無界的，因此，所有自然數的集合在大小上是無限的。但是它到底有多無限呢？康托爾用一個巧妙的論證表明，自然數雖然是無限多的，但實際上比另一類常見的數字——實數——要少。實數集包括所有可以表示為小數的數字，即使小數表示是無限長的。因此，pi (3.14159...) 是一個實數，27 也是實數（它既是自然數又是實數）。
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康托爾的論證使用了反證法的邏輯：他首先假設這兩個集合的大小相同；接下來，他遵循一系列邏輯步驟，找到了一個可以推翻這一假設的缺陷。他推斷，如果自然數和實數具有相同數量的成員，那麼這兩個集合就可以建立一一對應關係。也就是說，它們可以配對，以便每個集合中的每個元素在另一個集合中都有一個——且只有一個——“夥伴”。
這樣想：即使在沒有數字計數的情況下，也可以使用一一對應關係來衡量相對數量。想象一下兩個大小未知的箱子，一個裝蘋果，一個裝橙子。一次取出一個蘋果和一個橙子，從而將這兩個集合配對成蘋果-橙子對。如果兩個箱子的內容物同時清空，則這兩個箱子包含相同數量的水果；如果一個箱子在另一個箱子之前耗盡，則剩餘食物的箱子數量更多。
巧妙的數學
因此，康托爾首先假設自然數和實數之間存在這樣的一一對應關係。因此，每個自然數n都有一個實數夥伴rn。然後，實數可以按照它們對應的自然數的順序排列：r1、r2、r3，依此類推。
然後康托爾狡猾的一面就顯現出來了。他建立了一個實數，稱為p，其規則如下：使p的小數點後第n位數字與rn中相同小數位上的數字不同。一個簡單的方法是：當有問題的數字是4時，選擇3；否則，選擇4。
為了演示，假設自然數1的實數夥伴是27（或27.00000...），2的夥伴是pi (3.14159...)，3的夥伴是喬治·W·布什總統在2000年獲得的普選票份額 (0.47868...)。現在按照康托爾的構造建立p：p的小數點後第一位數字應該不等於r1 (27) 的小數點後第一位數字，即0。因此，選擇4，p以 0.4.... 開頭。（小數點前的數字可以是任何數字；這裡為了簡單起見使用 0。）然後選擇p的小數點後第二位數字，使其不等於r2 (pi) 的小數點後第二位數字，即 4。選擇 3，現在 p = 0.43.... 最後，選擇p的小數點後第三位數字，使其不等於r3（布什總統的百分比）的相應小數位上的數字，即 8。再次寫下 4，使 p = 0.434.... 因此，您得到
這種數學方法（稱為對角化）在列表中無限延續下去，生成了一個實數 (p)，根據其構造規則，該實數與列表中的每個實數在至少一位小數位上都不同。因此，它不可能在列表上。
換句話說，對於自然數和實數的任何配對，都存在一個沒有自然數夥伴的實數p——一個沒有橙子的蘋果。因此，實數與自然數之間的任何一一對應關係都失敗了，這意味著實數的無窮大在某種程度上大於自然數的無窮大。