天文學中最優美的格言之一，由天文學家卡爾·薩根普及，是宇宙中的星星比地球上所有海灘上的沙粒都多。
這很難理解，而這正是重點。當你站在海灘上時，你可以看到很多沙子。將此推及整個地球，這個總數會呈指數級增長。然而，根據這句格言，宇宙中星星的數量甚至更大——真正是一個難以想象的量。
多年來，我聽過許多次這種說法，以各種方式表達。但像許多這樣令人腦洞大開的說法一樣，值得問一個非常基本的問題：這是真的嗎？
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答案有點令人惱火：可能不是，但這取決於你必須做出的許多假設，其中一些假設很難確定。
這種巨大但可量化的問題被稱為費米問題——可以將其視為草稿式的粗略計算——以物理學家恩里科·費米的名字命名，他因（在許多許多其他事情中）尋找估計近乎無法計算的問題中大數字的方法而聞名，這種估計要足夠準確，以便在正確答案的範圍內。一般來說，當天文學家大致估計事物時，我們希望精確到10倍以內——這意味著我們得到的數字在真實答案的十分之一到10倍之間。這就是天文學家所說的數量級。不要為例如兩倍或三倍的係數而煩惱；對於這種理智檢查來說，這已經足夠接近了。
考慮到我們答案中存在的模糊性，讓我們轉向沙子和星星。
首先，讓我們看看天文學。我們的銀河系，作為一個例子，是一個由數千億顆恆星組成的大型星系。實際上很難確定這個數字，因為我們身處銀河系內部，而且我們的大部分視野都被氣體和不透明的塵埃所阻擋——而且恆星的亮度範圍可能非常廣。讓我們保守地稱之為2000億。
現在我們只需乘以可觀測宇宙中星系的數量，就知道有多少顆恆星了。一個天文學家團隊研究了這個問題，並在2016年發表了他們的結果，指出宇宙中大約有兩萬億個星系。
所以我們可以將2000億乘以兩萬億得到答案，對嗎？稍等一下，冷靜一下。這比那要複雜一點。計算這個估計值的天文學家實際上考慮了任何恆星總質量超過太陽質量一百萬倍的星系。
與銀河系相比，質量小了20萬倍！所以我們不能僅僅使用銀河系作為我們的模板。這裡的好訊息是，像恆星一樣，低質量星系的數量可能遠遠超過質量更大的星系，因此它們更大的數量彌補了它們較小的恆星數量。使用每個星系一百萬個太陽質量可能已經足夠接近了——記住，我們不擔心這裡和那裡的幾個係數。
但還有另一個問題。一百萬個太陽質量並不意味著每個星系有一百萬顆恆星！與大多數恆星相比，太陽異常巨大，大多數恆星實際上是較小的紅矮星。像太陽一樣重或更重的恆星僅佔所有恆星的10%左右，因此在宇宙中，每太陽質量大約有10顆恆星。我們需要將星系的一百萬個太陽質量乘以10，結果是平均每個星系1000萬顆恆星。
因此，我們可以估計恆星總數為 1000萬 x 2萬億 = 2000萬萬億 = 2000京，即 2 x 1019 顆恆星。宇宙中不乏恆星。
但這與沙子相比如何呢？現在是時候轉向更腳踏實地的估計了。
估計世界所有海灘上沙粒數量的最簡單方法是確定這些海灘上沙子的體積，例如，以立方米為單位，然後將其乘以每立方米沙粒的數量。這些數字不太難找到。
一立方米中有多少沙子？這取決於沙粒的大小，範圍從小於0.1毫米到約2毫米。讓我們平均稱之為1毫米。那麼一立方米將包含 1,000 x 1,000 x 1,000 = 10億粒沙子。
哇！真多啊。僅需幾百立方米的沙子——大約是一棟普通房屋的體積——就相當於銀河系中所有恆星的總數！即使是像我們銀河系這樣的大星系，也不需要多少海灘沙子就能與之匹敵。
但是，從那裡開始，數字就變得更加模糊了。例如，海灘有多大？好吧，我們可以丟擲一些合理的猜測：假設從海洋邊緣到高地的海灘暴露面積為50米，深度為10米。現在我們只需要所有海灘的總長度。
令我驚訝的是，這個數字已經被計算出來了：所有大陸海岸線的總長度約為250萬公里。並非所有海岸線都是沙質的，但事實證明，這個比例也已經確定：全球（非冰凍）海岸線中約有30%是沙質的。我們可以吹毛求疵地將南極洲排除在第一個數字之外，但是，嗯，這已經足夠接近了。
這給了我們75萬公里的沙灘，或7.5億米。
為了找到沙子的總體積，我們可以計算出 50米寬 x 10米深 x 7.5億米長 = 3750億立方米。如果我們以每立方米10億粒沙子計算，這意味著有3750億 x 10億 = 37500京粒沙子。稱之為 4000京——我們這裡只是粗略估計——所以是 4 x 1020 粒沙子。
嗯。事實上，這大約是可觀測宇宙中恆星數量的20倍。這非常接近——比我想象的要接近得多！這也意味著，從表面上看，這句格言是錯誤的。
然而，我的假設非常粗略，這可能會大大改變數字。以沙粒大小為例：較小端的沙粒為0.1毫米，數量可能超過較大的1毫米沙粒。如果是這樣，這意味著每立方米有萬億粒沙子，沙粒數量乘以一千倍。即使我高估或低估了海灘上沙子的長度和深度幾個係數，沙子的數量也遠遠超過恆星，倍數達到數千倍。
另一方面，每個星系1000萬顆恆星可能有點太少了；大多數星系可能擁有比這多得多的恆星。儘管如此，這不太可能抵消沙子擁有的巨大優勢。如果我必須打賭，我會賭沙子而不是星星。
請注意，這僅僅是海灘上的沙子。看看海底和地表沙漠，這個數字會大大增加。僅撒哈拉沙漠中的沙子可能就比地球上所有其他海灘上的沙子加起來還要多數百倍。（我將把這個數學題留給你們作為有趣的練習。）
我承認這個結果讓我感到驚訝。這就是費米問題的魅力所在；你可以很快得到大致的數字，並檢查你的直覺是否正確——或者至少了解它偏離了多遠。
對於任何給定的問題，它都可能存在偏差；我們的大腦並沒有進化到處理如此巨大的數字，因此很容易出錯。但這就是數學和科學的目的：防止我們自欺欺人。