摘自《X 的樂趣：從 1 到無窮大的數學導覽》，作者：史蒂文·斯特羅加茨。版權所有 ©2012 史蒂文·斯特羅加茨。經霍頓·米夫林·哈考特許可轉載。
每隔十年左右，就會出現一種新的數學教學方法，為家長們帶來新的感覺，覺得自己不夠格。回到 20 世紀 60 年代，我的父母因無力幫助我完成二年級的家庭作業而大驚失色。他們從未聽說過 3 進位制或維恩圖。
現在風水輪流轉。“爸爸，你能教我做這些乘法題嗎？”我當然可以，我想，直到搖頭開始。“不，爸爸，我們不是這樣做的。那是老派的方法。你不知道格點法嗎？不知道？那部分乘積呢？”
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這些令人感到慚愧的經歷促使我從頭開始重新審視乘法。一旦你開始思考它，它實際上是非常微妙的。
以術語為例。“七乘以三”是指“七加到自身三次”嗎？還是“三加到自身七次”？在某些文化中，語言不那麼模稜兩可。我一位來自貝里斯的朋友過去常常這樣背誦他的乘法表：“七個一是七，七個二是十四，七個三是二十一”，等等。這種措辭清楚地表明第一個數字是乘數；第二個數字是被乘數。這與萊昂內爾·裡奇不朽的歌詞“她一次、兩次、三次是位女士”中的慣例相同。（“她是一位女士乘以三”永遠不會成為熱門歌曲。）
也許所有這些語義上的大驚小怪讓你覺得很傻，因為數字相乘的順序並不重要：7 × 3 = 3 × 7。這說的有道理，但這引出了我在這裡想深入探討的問題：乘法的交換律，a × b = b × a，真的那麼明顯嗎？我記得小時候對此感到驚訝；也許你也是。
為了重溫這種神奇的感覺，想象一下你不知道 7 × 3 等於多少。所以你試著按七個計數：7、14、21。現在把它反過來，改為按三個計數：3、6、9……你感覺到懸念在上升嗎？到目前為止，這些數字中沒有一個與七的列表中的數字匹配，但繼續下去……12、15、18，然後，砰的一聲，21！
我的意思是，如果你認為乘法等同於按某個數字重複計數（或者換句話說，等同於重複加法），那麼交換律就不是那麼透明。
但是，如果你以視覺方式理解乘法，它就會變得更加直觀。將 7 × 3 想象為具有七行三列的矩形陣列中的點數。
如果你將陣列側放，它就會變成三行七列，而且由於旋轉圖片不會改變點的數量，所以 7 × 3 = 3 × 7 肯定是正確的。
然而，奇怪的是，在許多現實世界的情況下，尤其是在涉及到錢的情況下，人們似乎忘記了交換律，或者沒有意識到它適用。讓我舉兩個例子。
假設你正在購買一條新牛仔褲。它們的價格是標價 50 美元的 20% 折扣，這聽起來像是便宜貨，但請記住，你還必須支付 8% 的銷售稅。店員在恭維你身材很棒之後，她開始掃描商品，然後停頓了一下，並用一種陰謀的語氣低聲說道：“嘿，讓我幫你省點錢。我先收稅，然後從總額中扣除 20%，這樣你就可以獲得更多的退款。好嗎？”
但是，你覺得有點不對勁。“不，謝謝，”你說。“你可以先扣除 20% 的折扣，然後對銷售價格應用稅嗎？那樣的話，我交的稅會少一些。”
哪種方式對你來說更划算？（假設兩種方式都是合法的。）當面對這樣的問題時，很多人都會以累加的方式來處理。他們會計算出兩種情況下的稅收和折扣，然後進行必要的加法或減法來找到最終價格。按照店員的方式，你會算出，你需要支付 4 美元的稅（標價 50 美元的 8%）。這會使你的總額達到 54 美元。然後對 54 美元應用 20% 的折扣會使你獲得 10.80 美元的退款，因此你最終支付 54 美元減去 10.80 美元，等於 43.20 美元。而在你的情況下，會首先應用 20% 的折扣，為你節省 10 美元的 50 美元標價。然後，對降至 40 美元的價格徵收 8% 的稅將是 3.20 美元，因此你最終仍將支付 43.20 美元。太神奇了！
但這僅僅是交換律在起作用。要了解原因，請以乘法而非累加的方式思考。先應用 8% 的稅，然後應用 20% 的折扣，相當於將標價乘以 1.08，然後將結果乘以 0.80。交換稅收和折扣的順序會顛倒乘法，但由於 1.08 × 0.80 = 0.80 × 1.08，最終價格是相同的。
在更大的財務決策中也會出現類似的考慮。羅斯 401(k) 比傳統的退休計劃更好還是更差？更普遍地說，如果你有一筆錢要投資，而且你必須在某個時候對其納稅，那麼最好是在投資期開始時繳納稅款，還是在結束時繳納稅款？
再次強調，交換律表明這都是一樣的，其他所有因素都相等（可悲的是，它們通常不是這樣）。如果在這兩種情況下，你的錢都以相同的係數增長，並且以相同的稅率徵稅，那麼你是在前期還是在後期繳納稅款都無關緊要。
請不要將這個數學上的評論誤解為財務建議。任何在現實生活中面臨這些決策的人都需要意識到許多使情況複雜化的因素：你預計退休時會處於更高還是更低的稅級？你會達到你的繳款限額嗎？你認為政府會在你準備取出這筆錢時改變其關於免稅提款的政策嗎？撇開所有這些不談（不要誤會我的意思，這都很重要；我只是想在這裡專注於一個更簡單的數學問題），我的基本觀點是，交換律與對此類決策的分析相關。
你可以在網際網路上的個人理財網站上找到關於此的激烈辯論。即使在指出交換律的相關性之後，一些博主也不接受它。這太違反直覺了。
也許我們天生就懷疑交換律，因為在日常生活中，你先做什麼通常很重要。你不能魚和熊掌兼得。當脫下鞋襪時，你必須正確排序。
物理學家默裡·蓋爾曼在一天擔心自己的未來時也有類似的認識。作為耶魯大學的本科生，他非常想留在常春藤聯盟讀研究生。不幸的是，普林斯頓大學拒絕了他的申請。哈佛大學同意了，但似乎在為他提供所需的經濟支援方面進展緩慢。他最好的選擇，儘管他覺得這令人沮喪，是麻省理工學院。在蓋爾曼看來，麻省理工學院是一個骯髒的技術學院，不符合他高雅的品味。儘管如此，他還是接受了這個提議。多年後，他會解釋說，他當時曾考慮過自殺，但在他意識到就讀麻省理工學院和自殺並不交換時，他放棄了自殺的念頭。他總是可以在以後去麻省理工學院，如果必須的話，可以自殺，但反過來就不行。
蓋爾曼可能已經對非交換性的重要性非常敏感。作為一名量子物理學家，他會敏銳地意識到，在最深層次上，自然不遵守交換律。這也是一件好事。因為交換律的失敗才使世界變成現在的樣子。這就是為什麼物質是固體，以及為什麼原子不會內爆。
具體來說，在量子力學發展的早期，維爾納·海森堡和保羅·狄拉克發現，自然遵循一種奇怪的邏輯，其中 p × q ≠ q × p，其中 p 和 q 代表量子粒子的動量和位置。如果沒有交換律的這種崩潰，就不會有海森堡不確定性原理，原子會崩潰，而且什麼都不會存在。
這就是為什麼你最好注意你的 p 和 q。並告訴你的孩子們也這樣做。