誰會想到上帝會成為一篇關於數學文章的合適主題？別擔心，接下來的討論仍然牢牢紮根於可理解的科學框架內。但是，上帝是否可以用數學證明這個問題非常有趣。事實上，幾個世紀以來，一些數學家不斷嘗試證明神的存在。他們包括布萊斯·帕斯卡和勒內·笛卡爾（17世紀）、戈特弗裡德·威廉·萊布尼茨（18世紀）以及庫爾特·哥德爾（20世紀），後者關於這個主題的著作最近在1987年才出版。最令人驚奇的是：在2013年首次釋出的預印本研究中，一位演算法證明嚮導檢查了哥德爾的邏輯推理鏈——並發現它無疑是正確的。現在數學終於反駁了所有無神論者的主張嗎？
正如您可能已經懷疑的那樣，並沒有。哥德爾確實能夠證明，某種他定義為神聖的事物的存在，必然是從某些假設中推匯出來的。但是，這些假設是否合理值得懷疑。例如，如果我假設所有的貓都是三色的，並且知道三色貓幾乎總是雌性的，那麼我可以得出結論：幾乎所有的貓都是雌性的。即使邏輯推理是正確的，但這當然不成立。因為所有貓都是三色的這個假設是錯誤的。如果一個人對我們環境中可觀察到的事物（例如貓）做出陳述，可以透過科學調查來驗證它們。但如果是關於神聖存在的證明，事情就變得有點複雜了。
萊布尼茨、笛卡爾和哥德爾都依賴於上帝的本體論證明，他們透過邏輯推理從神聖存在的可能性中推匯出其存在，而帕斯卡（1623-1662）則選擇了略有不同的方法：他從今天可能被認為是博弈論的角度分析了這個問題，並發展了所謂的帕斯卡賭注。
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為了做到這一點，他考慮了兩種可能性。第一，上帝存在。第二，上帝不存在。然後他考察了死後相信或不相信上帝的後果。如果存在神聖的存在，並且一個人相信它，那麼他最終會進入天堂；否則就會下地獄。另一方面，如果沒有上帝，那麼什麼也不會發生——無論你是否信教。帕斯卡認為，最好的策略是相信上帝。最好的情況是，你最終會進入天堂；最壞的情況是，什麼也不會發生。另一方面，如果你不相信，那麼在最壞的情況下，你可能會下地獄。
帕斯卡的思想是可以理解的——但它們指的是宗教著作中的場景，並不代表對至上存在者的存在證明。它們只是說，一個人應該基於機會主義加入信仰。
處理存在本質的本體論方法更具說服力，即使它們很可能不會改變無神論者的想法。神學家和哲學家坎特伯雷的安瑟爾姆（1033-1109）在上個千年初提出了他的想法。他將上帝描述為無法想象出比之更偉大的存在。但是，如果上帝不存在，那麼人們可以想象出更偉大的事物：即，一個無法想象出比之更偉大的存在。但與上帝一樣，這個存在也存在，並展現出終極偉大的屬性。這當然是荒謬的：沒有什麼可以比一個人可以想象的最偉大的事物更偉大的。因此，上帝不存在的假設一定是錯誤的。
這個想法經過了幾個世紀才被重新審視——由笛卡爾（1596-1650
）完成。據推測，他不瞭解安瑟爾姆的著作，但他為完美的神聖存在提供了幾乎相同的論證。萊布尼茨（1646-1716）在幾十年後繼續這項工作，並發現了其中的缺陷：他認為，笛卡爾沒有證明從三角形到上帝的某些實體的“完美屬性”是相容的。萊布尼茨繼續論證說，完美性無法得到適當的考察。因此，永遠無法反駁完美屬性在一個存在中結合的可能性。因此，神聖存在的可能性一定是真實的。因此，基於安瑟爾姆和笛卡爾的論證，必然得出上帝存在的結論。
然而，從數學的角度來看，這些思想實驗只有透過哥德爾的努力才真正變得嚴肅起來。這並不太令人驚訝：這位科學家在25歲時就透過表明數學總是包含無法證明的真命題，從而顛覆了該學科。在這樣做時，他使用了邏輯。同樣的邏輯也使他能夠證明上帝的存在。看看這12個步驟，它們由一組公理（Ax）、定理（Th）和定義（Df）組成。
庫爾特·哥德爾的形式證明。 來源：Spektrum der Wissenschaft（區域性）
乍一看，它們似乎很神秘，但人們可以逐步瞭解它們，從而理解哥德爾的思維。他從一個公理開始——換句話說，一個假設：如果 φ 具有屬性 P，並且從 φ 總是推出 ψ，那麼 ψ 也具有屬性 P。為簡單起見，我們可以假設 P 代表“正面的”。例如：如果一種水果是美味的（一種正面屬性），那麼吃它也是有趣的。因此，吃它的樂趣也是一種正面屬性。
第二個公理進一步為 P 設定了一個框架。如果某事物的反面是正面的，那麼“某事物”一定是負面的。因此，哥德爾將世界劃分為黑白兩色：要麼是好的，要麼是壞的。例如，如果健康是好的，那麼疾病必然是壞的。
有了這兩個前提，哥德爾可以推匯出他的第一個定理：如果 φ 是一個正面屬性，那麼存在一個具有屬性 φ 的 x 的可能性。也就是說，正面事物有可能存在。
現在，這位數學家第一次轉向對神聖存在的定義：x 是神聖的，如果它擁有所有正面屬性 φ。第二個公理確保以這種方式定義的上帝不可能具有負面特徵（否則就會產生矛盾）。
第三個公理指出，神性是一種正面特徵。這一點實際上是無可辯駁的，因為神性結合了所有正面特徵。
第二個定理現在變得更加具體：透過結合第三個公理（神性是正面的）和第一個定理（存在某種正面事物存在的可能性），一個存在物 x 可能是神聖的。
哥德爾現在的目標是在接下來的步驟中證明，在已經制定的框架內，上帝必然存在。為此，他在第二個定義中引入了物件 x 的“本質” φ，這是一種決定所有其他特徵的特徵屬性。一個說明性的例子是“小狗般的”，如果某事物具有這種屬性，那麼它必然是可愛的、毛茸茸的和笨拙的。
第四個公理乍一看似乎不太令人興奮。它只是簡單地宣告，如果某事物是正面的，那麼它永遠是正面的——無論時間、情況或地點如何。例如，小狗般的和味道好總是正面的，無論是在白天還是晚上，在德國海德堡還是在阿根廷布宜諾斯艾利斯。
哥德爾現在可以 формулировать 第三個定理：如果一個存在物 x 是神聖的，那麼神性是它的本質屬性。這是有道理的，因為如果某事物是神聖的，它就擁有所有正面特徵——因此 x 的屬性是固定的。
下一步關係到特定存在的存在。如果在某處至少存在一個存在物 y 具有屬性 φ，而 φ 是 x 的本質屬性，那麼 x 也存在。也就是說，如果有什麼東西是小狗般的，那麼小狗也一定存在。
根據第五個公理，存在是一種正面屬性。我認為大多數人都會同意這一點。
由此，人們現在可以得出結論，上帝存在，因為這個存在擁有每一個正面屬性，而存在是正面的。
事實證明，哥德爾的邏輯推論都是正確的——甚至計算機也能夠證明這一點。然而，這些推論也受到了批評。除了當然可以質疑的公理（為什麼世界應該被劃分為“善”和“惡”？）之外，哥德爾沒有更詳細地說明什麼是正面屬性。
確實，透過定義和公理，人們可以用數學方法描述集合 P
如果一個屬性屬於該集合，則其否定不包括在內。該集合是自包含的。
集合的本質僅具有集合的特徵這一事實本身就是集合的一個元素。集合始終具有相同的元素——獨立於情況。在這種情況下，情況是包含該集合的數學模型。
存在是集合的一部分。
如果 φ 是集合的一部分，那麼將 φ 作為集合本質的屬性也包含在集合中。
但是，所有這些都不能確保這個集合是唯一的。可能存在多個滿足要求的集合。例如，正如邏輯學家所表明的那樣，可以構建一些案例，在這些案例中，根據哥德爾的定義，存在超過 700 個本質不同的神聖實體。
這並不能解決一個（或多個）神聖存在最終存在的問題。數學是否真的是回答這個問題的正確方法本身就值得懷疑——即使思考它本身就非常令人興奮。
本文最初發表於《Spektrum der Wissenschaft》，並經許可轉載。