今晚，突破獎基金會將第二屆年度數學突破獎授予加州大學伯克利分校的伊恩·阿戈爾，以表彰他在幾何拓撲學領域的工作。他的工作完成了 30 多年前開始的該領域的一場革命。突破獎在生命科學、物理學和數學類別中分別頒發 300 萬美元的獎金，是世界上獎金最高的科學獎項。
阿戈爾的領域——拓撲學，是數學的一個分支，它假設所有形狀都是由油灰或彈性橡膠製成的。它研究當空間被擠壓或拉伸時保持不變的屬性，只要沒有撕裂或粘合。你可以將拓撲屬性視為空間的大尺度屬性。另一方面，幾何學著眼於更精細的屬性，即那些取決於空間如何精確組合在一起的屬性。拓撲學家長期以來對二維表面或 2 維流形的拓撲和幾何如何相互作用有了相當完整的理解。三維流形則完全是另一回事。
理解 2 維流形和 3 維流形的一種有趣方法是想象一個甜甜圈。釉料——二維甜甜圈形狀的表面——是 2 維流形。3 維流形是整個甜甜圈，包括餡料。我們在日常生活中始終與 3 維流形互動，但數學家也研究更抽象的 3 維流形，這些流形無法在現實世界中以視覺方式呈現。
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阿戈爾的工作是數學家威廉·瑟斯頓發起的一項研究計劃的頂峰。1982 年，瑟斯頓發表了一篇具有里程碑意義的論文，闡述瞭如何構建和使用 3 維流形的所有關鍵問題以及一些可能的答案。這篇論文成為該領域研究的路線圖，直到 2012 年，阿戈爾提供了答案，解答了瑟斯頓關於 3 維流形的最後幾個主要遺留問題。
瑟斯頓工作中最引人注目的猜想被稱為幾何化猜想。（它現在是幾何化定理，因為俄羅斯數學家格里戈裡·佩雷爾曼在 2000 年代初證明了它。他因其工作而聞名地拒絕了著名的菲爾茲獎和價值百萬美元的千禧年大獎。）該定理指出，所有 3 維流形，無論它們在拓撲結構上多麼複雜，都只有幾種不同的幾何描述。這些描述中的大多數允許數學家透過理解二維幾何來理解三維幾何，而二維幾何在根本上更簡單。但是，一種稱為雙曲幾何的幾何型別抵抗這種簡化。阿戈爾的工作為研究人員提供了一種使用表面研究這些雙曲 3 維流形的方法。
具體來說，阿戈爾證明了虛擬哈肯猜想和虛擬纖維化猜想。拓撲學家說，如果一個空間可以被具有該屬性的空間“覆蓋”，那麼它就“虛擬地”具有該屬性。“覆蓋”在這裡是一個技術術語，它與日常包裝禮物的行為密切相關，但不完全相同。理解這個想法的一種方法是想象將花園軟管盤繞在圓形卷軸上。在那個圖中，我們可以說軟管是圓的覆蓋物，或者圓是虛擬軟管。“虛擬”的力量在於，它允許你透過理解行為更好的覆蓋物來理解被覆蓋的物件。回到花園軟管，圓和軟管並不完全相同，但它們有一些相似之處，並且對軟管的深刻而禪宗般的理解將有助於理解圓。
哈肯流形以德國數學家沃爾夫岡·哈肯的名字命名，可以透過迭代過程切割成更小的塊。如果流形屈服於這種型別的分解，那麼透過理解最後剩下的碎片就很容易理解它。虛擬哈肯猜想指出，許多不是哈肯的流形實際上是哈肯流形——換句話說，研究哈肯覆蓋可以幫助研究人員理解潛伏在其下的流形。
虛擬纖維化猜想將幾何學與動力學聯絡起來，動力學是對空間如何隨時間變化的研究。如果你沿著線段拖動一個圓，你會得到一個圓柱體。然後你可以將頂部的圓粘合到底部以獲得一個環面——數學上用來表示看起來像內胎的形狀的術語。你可以將環面看作是一個圖表，追蹤圓在空間中隨時間移動的情況。跳到一個維度，你可以透過沿著線段拖動一個表面並將頂部表面粘合到底部以獲得一個稱為表面束的 3 維流形來做類似的事情。虛擬纖維化猜想指出，很大一部分流形並不是真正的表面束，但考慮到“虛擬”一詞的活動空間，它們也可能就是表面束。“3 維流形有很多不同的生命，”芝加哥大學數學家丹尼·卡萊加里說。它可以從幾何、動力學、組合等方面進行描述。“你想協調不同的觀點。”阿戈爾協調幾種不同觀點的研究是其獲獎的基礎。
儘管突破獎是個人獎項，但阿戈爾的成功說明了數學中合作的重要性。“我覺得我只配獲得其中一小部分，因為我非常依賴其他人的工作，並且在很大程度上依賴於合作者和在我之前工作的人，”阿戈爾說。他的定理最直接地建立在麥吉爾大學數學家丹尼爾·懷斯的工作之上，他與阿戈爾分享了2013 年的奧斯瓦爾德·韋布倫幾何獎。阿戈爾還依賴於傑里米·卡恩和弗拉德·馬爾科維奇的工作，並且虛擬哈肯猜想的證明的一部分是由丹尼爾·格羅夫斯和傑森·曼寧共同撰寫的；許多其他人在這一過程中做出了重要貢獻。“我發現當你和別人交談時，它會把你的思想置於不同的參考框架中，你會在其中做出直覺的飛躍，”阿戈爾說。“你處於口頭模式，而不是沉思模式。”
高等研究院的理查德·泰勒是去年數學突破獎的獲得者之一，他擔任今年的評選委員會主席。“阿戈爾的工作體現了我們正在尋找的這兩個要素，”泰勒說。“他顯然處於巔峰狀態，而且這不僅僅是一個結果。這不是一個定理的獎項。這是對做出了一系列貢獻的人的獎勵。”
阿戈爾對虛擬哈肯猜想的證明在某種程度上標誌著一個時代的結束，但正如泰勒所說，“三維流形拓撲可能並未就此結束。”阿戈爾說，關於 3 維流形仍然有許多有趣的問題需要提出。“對我來說，主要計劃之一是嘗試將雙曲幾何中已完成的工作——幾何化猜想和我們已經掌握的圖景——與 3 維流形拓撲的其他領域聯絡起來。”還有計算複雜性的問題：如果有人給你一個 3 維流形，找到覆蓋它的哈肯流形，然後將其分解成更小的塊需要多長時間？此外，相對完整的 3 維流形圖景可以幫助研究人員理解四維空間的令人興奮的世界，就像表面幫助他們理解 3 維流形一樣。
阿戈爾說，他希望利用他的 300 萬美元獎金回饋數學界，也許是透過支援發展中國家的數學家，正如過去的獲獎者所做的那樣。他說，獲得這個獎項是一種榮譽，但他進入數學領域並不是為了贏得獎項。“發現這個獎項從來沒有像我想到我解決了虛擬哈肯問題的那一刻那麼激動人心。”