百吉餅、椒鹽捲餅與諾貝爾物理學獎

上週二，瑞典皇家科學院宣佈了今年諾貝爾物理學獎的獲得者：一半授予了西雅圖華盛頓大學的戴維·J·索利斯，另一半授予了普林斯頓大學的F·鄧肯·M·霍爾丹和布朗大學的J·邁克爾·科斯特利茨，以表彰他們，用科學院的話說，“拓撲相變和物質拓撲相的理論發現”。他們的工作利用拓撲學領域的數學見解來描述和解釋諸如超流性和超導性等在流體薄層中的性質。

為了說明這一點，諾貝爾委員會成員托爾斯·漢斯·漢森開玩笑說：“我帶了午餐。”他打包了一份碳水化合物含量很高的午餐，包括肉桂卷、百吉餅和椒鹽捲餅。他說，拓撲學家不會根據味道來區分這些糕點；相反，他們只會關心每種糕點上的孔洞數量：肉桂卷零個，百吉餅一個，椒鹽捲餅兩個。（在美國，椒鹽捲餅有三個孔，但一些歐洲的型號更有效率。）拓撲學有時被稱為“橡皮膜幾何學”。對於拓撲學家來說，數學物件是由無限彈性的橡膠製成的。一個物體孔洞的數量是一個拓撲不變數，無論物體如何拉伸或擠壓，只要不發生撕裂或粘合，這個性質都保持不變。

相比之下，基礎幾何學關注的是數學物件更精細的性質。雖然在拓撲學中，百吉餅和咖啡杯是相同的，都只有一個孔，但幾何學可以區分它們。例如，百吉餅的形狀相當均勻，而咖啡杯的曲線在杯子的不同部分看起來不同。

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幾何性質是連續變化的：當您拉伸甜甜圈或咖啡杯時，其曲率會一點一點地變化。另一方面，拓撲性質透過突然的跳躍來改變狀態。如果您將一個真正的百吉餅拉伸到足夠程度，它最終會撕裂，產生一個沒有孔洞的物體。永遠不會出現半個孔的中間狀態。一個非凡的定理，高斯-博內定理，將幾何學和拓撲學結合在一起。它指出，雖然曲率可能在表面上分佈不同，但任何兩個具有相同孔洞數量的表面都具有相同的總曲率。隨著時間的推移，數學家，特別是陳省身，將高斯-博內定理推廣到更高維度的數學空間和其他型別的曲率，拓寬了在表面上求和以找到表面拓撲性質的潛在思想。

高斯-博內定理為拓撲學和物理學之間架起了一座橋樑。儘管諾貝爾獎獲得者研究漂浮在超薄材料中的微小百吉餅和椒鹽捲餅聽起來很可愛，但事實並非如此。相反，高斯-博內定理是薄膜材料中電子能級相關物理性質的類比。數學思想是相同的，但他們的工作不是關於曲率和孔洞，而是關於波函式如何隨薄膜中電子動量的函式變化。加上霍爾丹在單維磁性材料方面所做的工作，這就是科學院描述為“物質拓撲相”的獲獎工作的一部分。

諾貝爾獎的另一半，因“拓撲相變”而頒發，也結合了拓撲學和物理學，但伊利諾伊大學厄巴納-香檳分校的物理學家愛德華多·弗拉德金說，“拓撲學以一種稍微不同的方式進入”。

這裡相關的是拓撲性質通常不能區域性確定的事實。一隻坐在糕點上的螞蟻無法透過環顧四周來判斷它所棲息的是小圓麵包、百吉餅還是椒鹽捲餅。同樣的想法也發生在拓撲相變中。在傳統的相變過程中，比如液態到氣態，測量一個區域的密度就可以告訴你它是液態還是氣態。西雅圖華盛頓大學的物理學家馬塞爾·登·尼斯說，“你可以透過區域性測量來判斷你處於什麼相，”他是索利斯獲獎論文的合著者之一。

相比之下，拓撲相變涉及渦旋，這些渦旋出現在薄超導體、超流體或磁體的臨界溫度下。登·尼斯將這種現象比作日常拓撲學之謎：停車場。當你開車進入停車場時，“你基本上繞來繞去，不知不覺就到了上一層。”你繞著開的中間柱子是一個拓撲特徵，類似於超流體中的渦旋。“除非你繞著它走，否則你不會知道它的存在，”他說。

弗拉德金說：“這是拓撲學概念首次與凝聚態物理學相關。”“這是大多數物理學家以前沒有的工具。”

在過去的十年左右，人們對使用拓撲性質來理解和描述物理系統的興趣激增。原因之一是奈米技術革命。真實材料正在趕上理論，使實驗人員有機會觀察到奇異的物理現象。另一個引起人們熱情的原因是量子計算的潛在應用。量子計算目前主要仍是一種理論模型。如果實現，量子計算機將用量子力學的方式儲存資訊來取代現代計算機的零和一。量子計算中位元的類似物，量子位元，可以處於狀態的疊加態，而不是處於固定狀態。

由於拓撲性質即使在系統受到輕微擾動時也保持穩定，因此科學家們有興趣尋找使用拓撲學在量子計算機中編碼資訊的方法。目前，這些物質的拓撲相需要巨大的磁場和非常接近絕對零度的溫度才能實現，因此，正如弗拉德金所說，“你不會很快看到量子筆記型電腦。”無論量子筆記型電腦是否最終實現，來自拓撲學的思想已經滲透到物理學中，並繼續推動對奇異物理性質的理論和實驗研究。