所有自然數不是快樂數就是悲傷數。有些也是自戀數

數字有很多不同的型別，您可能還記得在學校學到的一些：自然數、有理數、無理數、虛數、可計算數和不可計算數。然而，今天，我們將要談論一些令人愉快的事情，即“快樂數”。是的，它們確實出現在數學中，而且這真的是它們的專業名稱。

快樂數沒有任何實際應用，但它們確實具有驚人的特性，這就是它們在業餘數學家中如此受歡迎的原因。例如，所有自然數都可以分為“快樂”數或“悲傷”數。“快樂”的概括導致了“自戀數”，它們非常專注於自身。

快樂數的概念最初是誰提出的尚不清楚。 它們在 20 世紀 60 年代由英國數學家雷金納德·艾倫比普及開來：取任意自然數，例如 13，將其數字平方（1² = 1；3² = 9）並將它們相加（1 + 9 = 10）。然後對結果數字重複此快樂計算（1² + 0² = 1）。如果第二次運算的總和為 1，則您已達到“不動點”。也就是說，每次進一步執行相同的過程都將始終產生結果 1。透過重複快樂計算最終產生 1 的數字稱為快樂數。

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因此，人們不得不稱所有其他數字為悲傷數。令人興奮的是，當您應用快樂計算時，悲傷數也遵循固定的模式。例如，讓我們從 4 開始：4² = 16，16 將產生 37（1² = 1 和 6² = 36 的和）。如果我們保持這種模式，我們將得到 16 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4。因為我們從 4 開始快樂計算，所以數字序列重新開始。因此，如果一個數字的重複快樂計算產生值 4、16、37、58、89、145、42 或 20，則該數字註定是悲傷的。艾倫比立即想知道自然數是否都可以分為快樂數（最終結果為 1）或悲傷數（以 4 開頭的迴圈的一部分）——或者快樂計算是否還有其他終點。

有一種快速的方法可以找出答案。為此，您首先需要檢查一個數字的平方數字之和可以變得有多大。假設您有一個一位數，例如 9。它的平方 81 大於它本身。對於兩位數（例如 99）也是如此：9² + 9² = 162。但是，對於三位數或更多位數的數字，情況並非如此。即使對於 999，其數字平方之和也小於數字本身，即 243。這意味著如果您對一個三位數重複執行快樂計算，您將只會得到三位數值。另一方面，如果您從四位數開始，則第一步的快樂計算將導致三位數結果。

悲傷數演算法

要證明每個自然數要麼是快樂數，要麼是悲傷數，您必須遍歷所有三位數。這項任務很繁瑣，但並不特別複雜。例如，您可以建立一個簡短的演算法來輔助以下步驟的過程

1. 為 i、j 和 k 選擇一個從 0 到 9 的值。
2. 計算 z = i² + j² + k²。
3. 如果 z = 1，則三位數 ijk 是快樂數。
4. 如果 z = 4、16、37、58、89、145、42 或 20，則 ijk 是悲傷數。
5. 如果兩種情況都不是真的，則使用“向下取整函式”Floor(x) 設定 i、j 和 k 的新值，該函式將每個十進位制數分配給其向下取整的整數值 (Floor(1.6) = 1)：i = Floor(^z⁄₁₀₀)，j = Floor(^{a – 100 x i}⁄₁₀)，k = a – i x 100 – j x 10。使用 i、j 和 k 的這些新值，從步驟 2 繼續該演算法。

對 i、j 和 k 的所有一位數值重複此演算法，結果將始終是快樂數或悲傷數。換句話說，所有三位數要麼是快樂數，要麼是悲傷數——所有四位數也是如此，因為它們的平方數字之和（快樂計算的第一步）將產生一個三位數。

這個論點可以一直延續到更大的自然數。結果是，每個自然數要麼是快樂數，要麼是悲傷數。當重複使用快樂計算時，沒有哪個值可以逃脫這些命運。

但專家們對這個結果並不滿意。例如，數學家們還想知道，快樂數的百分比是多少？它們是否畫素數一樣隨著大小的增加而變得稀有，或者它們是否總是以大致相同的頻率出現？

首先，快樂數有無限個。畢竟，10 的每個冪，10^x, 都必然對應一個快樂數。

但是它們的密度 ρ 呢，即快樂數與所有自然數的比率？在前 10 個自然數中，有三個快樂數（ρ = 0.3）。在前 100 箇中，有 20 個（ρ = 0.2）。在前 1,000 個自然數中，有 143 個快樂數（ρ = 0.143）。甚至在線上整數序列百科全書 (OEIS) 中 也有一個條目專門處理快樂數在 0 到 10ⁿ 區間內的頻率。因此，如果您計算不同 n 次冪的密度，您將得到以下圖片

現在人們可能會假設密度大約等於 14%。 但正如數學家賈斯汀·吉爾默在 2011 年的一篇預印本論文中證明的那樣（該論文隨後於 2013 年發表），快樂數沒有明確定義的密度。他證明，它們的密度取決於所考慮的區間，並且不會收斂到固定極限。 儘管這個結果讓很多人感到驚訝，但快樂數遠非唯一沒有固定、明確密度的數字。

例如，在所有以 1 開頭的數字集合中也發現了這種行為。在前九個數字（1、2、3、4、5、6、7、8、9）中，只有一個以 1 開頭（數字 1），這對應於 1⁄9 的密度。在前 19 個數字（1、2、...、10、11、12、...、19）中，有 11 個以 1 開頭，密度為 11⁄19。在前 99 個數字中，仍然有 11 個以 1 開頭，因此在此數字區間內的密度為 11⁄99 = 1⁄9 。在前 199 個數字中，有 110 個以 1 開頭，因此密度為 110⁄199，依此類推。

密度在較高值和較低值之間波動，具體取決於您選擇的區間。在這種情況下，無法給出整個自然數範圍內密度的極限。快樂數也是如此。根據區間，它們的密度在低於 12% 到高於 18% 之間變化。

計算連續快樂數

數學家們關注的另一個問題是：可以有多少個連續的快樂數？前兩個是 31 和 32。要找到前三個連續的快樂數，您必須檢視四位數的值：1,880、1,881、1,882。

在 2006 年的一篇預印本論文中，數學家郝潘證明 存在任意數量的連續快樂數。（該論文隨後於 2008 年發表。）關鍵是您可能必須搜尋很長時間。在 7,839 可以找到一個包含四個連續數字的序列，在 44,488 可以找到一個包含五個數字的序列，在 7,899,999,999,999,959,999,999,996 可以找到一個包含六個數字的序列。

另一個謎題是考慮將快樂數變為 1 需要多少次快樂計算。 這個量可以用來定義一個數的整體快樂程度。迭代次數越少，數字越快樂。因此 1、10、100 等非常快樂，而 13 則略遜一籌。

哪個數是最不快樂但不是悲傷的數？在兩位數中，它是 7。從 7 到 1 需要五次迭代。接下來是 356，您需要六次快樂計算才能得到它。

在那之後，事情變得瘋狂起來。如果您想要一個更不快樂的數字，您最終會得到一個 977 位數的值：378899999...999。迭代九次的快樂數有 10⁹⁷⁷ 位數——而且從外觀上看，迭代次數沒有限制。可以為任意數字 n 找到一個快樂數，它僅在重複 n 次快樂計算後才產生 1。因此，不快樂的程度沒有限制。

當人們概括快樂數的概念時，事情變得非常令人興奮。除了對數字平方求和之外，您還可以加上三次方。在這種情況下，自然數不再分為兩個陣營，而是分為九個陣營。迭代要麼在 1 處結束（“快樂立方體”），要麼在其他四個不動點之一處結束（153、370、371、407），要麼在四個迴圈之一中結束：55 → 250 → 133 → 55；160 → 217 → 352 → 160；136 → 244 → 136；或 919 → 1,459 → 919。

迴歸自身的數字

這種概括引出了數論中的另一個概念。當一個數字由 n 位數字組成時，您可以計算其數字的 n 次冪之和。例如，對於 243，結果是：2³ + 4³ + 3³ = 8 + 64 + 27 = 99。對於某些數字，此計算的結果會使其自身迴歸。例如 153，因為 1³ + 5³ + 3³ = 153。這樣的數字稱為自戀數。

所有個位數都是自戀數。事實上，自戀數總共只有 89 個：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、153、370、371、407、1,634、8,208、9,474、54,748、92,727、93,084、548,834，...，最大的是 115,132,219,018,763,992,565,095,597,973,971,522,401。

可以證明，透過估算，沒有比這更大的自戀數。假設一個數字有 n 位數字。如果所有數字的值都為 9，則數字的 n 次冪之和的最大大小為：n x 9ⁿ。但是，當 n 超過一定大小時，此結果始終小於由 n 位數字組成的最小數字 (10^n–1)。因此，這樣的數字不可能成為自戀數。

過渡發生在 60 位數時：雖然 60 x 9⁶⁰= 1.08 x 10⁵⁹ 並且因此大於 10⁵⁹，但 61 x 9⁶¹= 0.99 x 10⁶⁰ 並且小於 10⁶⁰。對於所有 n > 60 都是如此。因此，不可能存在由超過 60 位數字組成的自戀數。透過遍歷從 0 到 60 位數字的所有數字，可以測試它們的自戀性。事實證明，只有 89 個。

由於自戀數的數量有限，因此與快樂數相比，它們持有的未解決問題要少得多。但是這兩個類別都非常適合有趣的消遣。

本文最初發表於 Spektrum der Wissenschaft 並經許可轉載。