Pi (π) 可能是數學中最著名的數字。專家們不僅對其進行了廣泛研究，而且它也吸引了業餘愛好者：書籍、電影和歌曲都獻給了這個數字。它之所以吸引人，部分原因可能是，即使它描述了圓這個最簡單、最對稱的幾何物體之一，但它的十進位制表示形式卻沒有任何對稱性。pi 的十進位制值沒有盡頭，永不重複。
人們研究數字 pi 已經有數千年曆史了。因此，您可能會認為關於它的一切幾乎都已經為人所知。但事實遠非如此：圓仍然蘊藏著許多謎團。其中一個謎團圍繞著反覆將 pi 自乘會發生什麼的問題：π 的 π 次方的 π 次方的 π 次方是否有可能得到一個自然數？
將一個無理數多次乘方可能會得到一個小數點後沒有數字的數，這個概念乍一看可能有些牽強。但也有其他例子。例如，(√2 的 √2 次方) 的 √2 次方可以簡化為 √2√2 x √2，因此結果為 √22 = 2。* 然而，要看出這種計算如何適用於 π 並不容易。
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一條推文挑戰了數學界
2013 年 5 月 3 日，現任 Epic Games 首席數學家的丹·皮波尼在 Twitter（現為 X）上釋出了一條帖子，要求人們證明π 的 π 次方的 π 次方的 π 次方不是整數。這條訊息引起了一些評論，但沒有引起太多關注。
計算機科學家丹尼爾·斯皮瓦克很快看穿了皮波尼：“所以基本上，您是要求您的 Twitter 粉絲解決關於四次冪運算的重大未解問題之一？”他回覆道。（四次冪運算是指重複執行的乘方。）實際上，即使是數學家也不知道當您將 π 連續乘方四次時會得到什麼樣的數字。
這難以置信嗎？牛津大學數學家托馬斯·布魯姆也這麼認為。他在 2021 年在 Twitter 上重新提出了這個問題。這次這個話題引起了更多興趣：他的帖子被分享了 90 次，點贊超過 500 次。數學家和菲爾茲獎章獲得者蒂莫西·高爾斯評論道：“哇！我的第一個想法是：‘為什麼我們不能只計算到小數點後幾位？’然後我就明白了。（但這適用於 pi^pi^pi。）”
老實說，那也是我的第一個想法。當我們能夠簡單地計算結果時，為什麼要討論這個問題呢？我實際上應該更清楚——事實上，我自己也寫過關於大數的文章。即使 π 的 π 次方的 π 次方的 π 次方看起來無害，但它也是一個難以想象的巨大數字。
讓我們做數學運算！
假設您想自己嘗試計算。首先，您需要知道多次乘方運算是從右到左進行的。這意味著您首先計算 π 的 π 次方，大約為 36.46。
然後您將 π 乘方到 36.46... 次方，得到一個 18 位數的數字作為結果：1.34... x 1018。這個非常長的數字僅僅是三次乘方運算的結果。還缺少一次運算：π 的 π 次方的 π 次方的 π 次方等於 π 的 1.34... x 1018 次方。
結果將是巨大的——難以置信的巨大。這是一個擁有近 1018（十億億）位數字的數字。為了比較，在 2022 年，計算出的 pi 位數的記錄為 62 x 1012。要計算 π 的 π 次方的 π 次方的 π 次方的整數結果，您將不得不確定多一百萬倍的位數。而這僅僅是小數點前的數字。
我們實際上感興趣的是小數點後的數字。畢竟，斷言是 π 的 π 次方的 π 次方的 π 次方是一個整數——也就是說，它的小數點後沒有數字。這意味著我們可以忽略計算中小數點前幾乎 1018 位數字。這可以簡化計算。
您可以從一個更簡單的例子開始。假設您想計算一個整數的重複乘方——例如，4 的 4 次方的 4 次方——並且只對最後兩位數字感興趣。您很快就會意識到 4 的 4 次方的 4 次方與 4256 相同。
但是精確計算後者非常耗時，並且因為我們只對結果的最後兩位數字感興趣，所以您可以走捷徑。首先，計算 41 = 4，然後將其乘以 4 得到 42 = 16。再次將其乘以 4，您得到 43 = 64。重複此操作，您將得到結果：44 = 256。現在簡化來了：在下一步中，不必將整個三位數字結果乘以 4，只需檢視最後兩位數字（即 56）就足夠了。畢竟，我們只對結果的最後兩位數字感興趣。這意味著 45 = ...56 x 4 = ...224。在下一步中，您再次忽略百位數並繼續：46 = ...24 x 4 ...96，依此類推。如果您這樣做 256 次，您將最終得到您要查詢的數字的最後兩位數字。
您可能已經猜到為什麼這不適用於 π：圓周率是無理數，因此它有無限個小數位。因此，在乘方時，沒有可以考慮的“最小數字”。
當然，您可以研究在計算中必須包含多少位小數的 π，才能在乘方後獲得最精確的結果。透過這種方式，可能可以大致識別 π 的 π 次方的 π 次方的 π 次方是否可能取整數值。
澳大利亞數學家馬特·帕克實際上在 YouTube 影片中做出了這種努力。如果您將 π 在小數點後五位截斷，並將此數字乘方到 6 次方，則只有結果的前兩位小數位是正確的。帕克無法精確計算出必須考慮多少位數字才能至少獲得 π 的 1.34... x 1018 次方（對應於 π 的 π 次方的 π 次方）的幾個正確的小數位。但根據他的計算，帕克懷疑您至少需要指數的兩倍（即 2 x 1.34... x 1018）的小數位數才能獲得小數點後至少一位正確的數字。“簡而言之，在可預見的未來，我們無法計算出這一點，”帕克在他的影片中總結了他的論點。
抽象數學來救援
幸運的是，數學也提供了其他方法來辨別一個數字是整數、無理數還是甚至是超越數。後者指的是不能表示為簡單方程解的數字。例如，√2 不是超越數，因為 √2 是 x2 = 2 的解。另一方面，π 是超越數。找出這一點通常很複雜。然而，已故的美國數學家斯蒂芬·霍爾·沙努爾在 20 世紀 60 年代提出了一個猜想，可以用來評估一個值是否是超越數（因此是無理數）。這個猜想本身非常抽象，需要高等數學。
一些專家已經使用沙努爾猜想來研究 π 的 π 次方的 π 次方的 π 次方。正如他們發現的那樣，結果必須是超越數——因此不可能是一個整數。但沙努爾猜想仍然只是一個猜想；目前還沒有人能夠證明它。因此，關於該數字是超越數的結論仍然有待商榷。
最後，要解決 π 的四次乘方之謎，只有兩種方法。“我們要麼必須在數學方面變得更好並證明沙努爾猜想，”帕克在他的 YouTube 影片中說，“要麼我們需要在計算方面變得更好。在那之前，我們不知道 π 的 π 次方的 π 次方的 π 次方是否是整數。”
本文最初發表在《明鏡週刊》(Spektrum der Wissenschaft)上，經許可轉載。
*編者注（2024 年 1 月 31 日）：此句子在釋出後經過編輯，以更正括號的位置。